追根溯源鏈接高考，開拓思維一題多解

摘要：有關(guān)曲線的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸是函數(shù)圖象中對(duì)稱性的一個(gè)重要方面，也是數(shù)與形巧妙融合的一個(gè)重要場(chǎng)景.結(jié)合一道高考模擬題中有關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱中心的確定，展開聯(lián)想，追根溯源，鏈接高考，開拓思維，一題多解，借此歸納總結(jié)解決此類問題的基本技巧方法，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；曲線；對(duì)稱中心；奇函數(shù)；定義

在高中數(shù)學(xué)中，研究函數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)一般要研究函數(shù)圖象的對(duì)稱性，而這就離不開相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸以及與之相關(guān)的其他問題.特別是，涉及一些復(fù)雜函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱中心問題，有時(shí)也是命題的一個(gè)基本點(diǎn)，在2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新高考Ⅰ卷中也有這樣的題，在高考復(fù)習(xí)過程中要加以重視.

1 問題呈現(xiàn)

問題" 已知函數(shù)f（x）=ln1x－e2，則曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為.

此題以含有絕對(duì)值形式的對(duì)數(shù)型函數(shù)為問題場(chǎng)景，借助函數(shù)解析式的給出，確定相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱中心，全面考查函數(shù)的基本概念、解析式、基本性質(zhì)及函數(shù)的圖象特征等知識(shí)點(diǎn).

剖析問題的基本類型，合理追根溯源，巧妙鏈接高考，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，從不同思維視角與應(yīng)用層面切入，結(jié)合不同的技巧方法加以分析與求解，實(shí)現(xiàn)問題的突破與綜合應(yīng)用.

2 鏈接高考

以上高考模擬題借鑒了以下高考真題中第（Ⅱ）問的命題手法，以填空題的形式來設(shè)置，考查函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)等.

高考真題" （2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（Ⅰ）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形；

（Ⅲ）若f（x）gt;－2當(dāng)且僅當(dāng)1lt;xlt;2，求b的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：該題依托雙變?cè)瘮?shù)的解析式，利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性的定義與基本性質(zhì)，確定函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線對(duì)稱中心的坐標(biāo)，為證明相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的中心對(duì)稱創(chuàng)造條件.

3 問題破解

方法1：定義域?qū)ΨQ法.

依題，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閤

x≠0且x≠2e.若曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形，結(jié)合對(duì)稱性可知曲線y=f（x）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為1e.

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在x=1e有意義，所以曲線y=f（x）的對(duì)稱中心在曲線y=f（x）上.

又f1e=ln 11e－e2=lne2，所以曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為1e，lne2.

點(diǎn)評(píng)：基于研究函數(shù)問題時(shí)“定義域先行”的思維方式，從曲線的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也必是定義域的對(duì)稱中心這一基本特點(diǎn)來切入，成為解決此類問題的首選技巧方法.此方法適用于函數(shù)在相關(guān)定義域的對(duì)稱中心處有意義，此時(shí)曲線y=f（x）的對(duì)稱中心在該曲線上.

方法2：定義法.

依題，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閤x≠0且x≠2e.

而f2e－x+f（x）=ln12e－x－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e21x－e2=lne24=2lne2.

根據(jù)曲線的對(duì)稱定義，可知曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為1e，lne2.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)曲線的中心對(duì)稱定義，在不確定曲線的對(duì)稱中心是否為曲線y=f（x）上的點(diǎn)時(shí)，可以直接利用定義法，通過求解曲線對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，是處理此類問題的一種基本思維方法.定義法是考生在實(shí)際解題過程中常用的一種技巧方法，適用于具有中心對(duì)稱性質(zhì)的所有函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線中的應(yīng)用問題.

方法3：設(shè)點(diǎn)法.

依題，設(shè)曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為（m，n）.

根據(jù)曲線的中心對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合題目條件可得f（2m－x）+f（x）=ln12m－x－e2+ln1x－e2=ln12m－x－e21x－e2=ln1－mex（2m－x）+e24.

根據(jù)對(duì)稱性，可知ln1－mex（2m－x）+e24=2n對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以1－me=0，lne24=2n，解得m=1e，n=lne2.

所以曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為1e，lne2.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)曲線的中心對(duì)稱的基本性質(zhì)，設(shè)出曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)，借助對(duì)稱中心代入加以分析與應(yīng)用，利用定義來轉(zhuǎn)化與求解，是用設(shè)點(diǎn)法處理此類問題的通性通法.設(shè)點(diǎn)法中，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，針對(duì)中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，其目的就是讓定義域內(nèi)的x的取值與變化不起作用，由此來確定對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，求解對(duì)稱中心的坐標(biāo).

方法4：平移法.

依題，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閤|x≠0且x≠2e.

將函數(shù)f（x）=ln1x－e2的圖象向左平移1e個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到fx+1e=ln1x+1e－e2=lneex+1－e2=lne－e2x2（ex+1）=lne2+ln1－exex+1，即fx+1e－lne2=ln1－ex1+ex.右側(cè)函數(shù)y=ln1－ex1+ex為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于點(diǎn)0，lne2成中心對(duì)稱.

所以曲線y=f（x）是關(guān)于點(diǎn)1e，lne2的中心對(duì)稱圖形.

所以曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為1e，lne2.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)中心對(duì)稱曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用函數(shù)圖象的平移變換，通過奇函數(shù)的變換來確定與應(yīng)用，是用平移法處理此類問題的特殊方法.平移法是基于對(duì)稱中心的確定的一種動(dòng)態(tài)解題技巧方法，通過函數(shù)圖象的平移變換與運(yùn)動(dòng)情況來尋找具有奇函數(shù)特性的函數(shù)解析式，由此來確定相應(yīng)的對(duì)稱中心.

方法5：導(dǎo)數(shù)法.

依題，設(shè)曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為（m，n），則函數(shù)f（x）的凹凸拐點(diǎn)在（m，n）處取得.

令函數(shù)h（x）=ln1x-e2，則h′x=－1x21x－e2=1e2x2－x.令函數(shù)g（x）=1e2x2－x，則有g(shù)′（x）=1－exe2x2－x2.

當(dāng)g′（x）=0時(shí)，解得x=1e，即m=1e.

將x=1e代入函數(shù)f（x）=ln1x－e2中，可得f1e=ln11e－e2=lne2，即n=lne2.

所以曲線y=f（x）的對(duì)稱中心為1e，lne2.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)曲線的中心對(duì)稱的基本性質(zhì)，曲線在在對(duì)稱中心的左右兩邊的凹凸性是相反的，即函數(shù)的凹凸拐點(diǎn)就是相應(yīng)曲線的對(duì)稱中心.此時(shí)需要滿足在對(duì)稱中心處，f′（x）的導(dǎo)數(shù)值等于0，即f″（x）=0.如果函數(shù)的解析式方便進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，有時(shí)也可采用此類導(dǎo)數(shù)法來巧妙確定曲線的對(duì)稱中心.

4 教學(xué)啟示

對(duì)于一些復(fù)雜函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱中心問題，應(yīng)抓住對(duì)稱性的概念與基本性質(zhì)，回歸函數(shù)的圖象與性質(zhì)的本質(zhì)，利用定義法、設(shè)點(diǎn)法、平移法及導(dǎo)數(shù)法等借助正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算與合理的邏輯推理加以應(yīng)用，進(jìn)而分析并確定對(duì)應(yīng)的對(duì)稱中心及與之相關(guān)的綜合應(yīng)用問題.