基于保持特殊性質(zhì)，探尋動點軌跡

摘要：立體幾何中的動點軌跡及其應(yīng)用問題，是高考數(shù)學(xué)命題中的重點與難點之一.在立體空間的應(yīng)用場景下，基于動點保持所對應(yīng)元素性質(zhì)如平行關(guān)系、垂直關(guān)系、等距關(guān)系及等角關(guān)系等的軌跡及其應(yīng)用問題，結(jié)合實例就一些常見的基本性質(zhì)類型加以剖析應(yīng)用，歸納總結(jié)解題技巧與策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：立體幾何；動點；軌跡；平行；垂直

立體幾何中的動點軌跡問題，是以空間圖形為基本素材，借助符合一定特殊條件的點的軌跡的探究來綜合與應(yīng)用.特別是，借助空間中動點的變化規(guī)律，保持所對應(yīng)元素的基本性質(zhì)，在此條件下探尋動點的軌跡與應(yīng)用問題，成為高考考查的一個熱點與難點，備受各方關(guān)注.本文中結(jié)合空間中動點保持元素的基本性質(zhì)的類型，就動點保持平行關(guān)系、垂直關(guān)系、等距關(guān)系及等角關(guān)系等加以剖析，拋磚引玉.

1 動點保持平行關(guān)系

動點保持平行關(guān)系的問題，往往是基于動點與定點所對應(yīng)的直線，與其他直線之間保持平行關(guān)系，或與相應(yīng)平面之間保持平行關(guān)系等，進而探尋滿足條件的對應(yīng)動點的軌跡及其應(yīng)用問題.

例1" 〔2024年湖北省八市高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（3月份）〕在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CC1的中點，N為四邊形A1D1DA內(nèi)一點（含邊界），若B1N∥平面BMD，則線段B1N長度的最小值為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用動點保持平行關(guān)系，依托條件線面平行關(guān)系——B1N∥平面BMD，借助輔助線的構(gòu)建與應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的面面平行關(guān)系——平面B1D1N1∥平面BMD，由此來確定動點N的軌跡——在線段D1N1上（含端點），實現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，給進一步求解對應(yīng)線段長度的最小值提供條件.

圖1

解析：依題，如圖1所示，分別取AA1，DD1的中點N1，E，連接D1N1，B1N1，AE，B1D1，A1N.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易得AE∥BM，B1D1∥BD，D1N1∥AE，所以D1N1∥BM.

又D1N1，B1D1平面B1D1N1，BD，BM平面BMD，且D1N1∩B1D1=D1，BD∩BM=B，所以平面B1D1N1∥平面BMD.

因為N為四邊形A1D1DA內(nèi)一點（含邊界），且B1N∥平面BMD，所以點N在線段D1N1上（含端點），所以當(dāng)B1N⊥D1N1時，線段B1N的長度最小.

因為B1N1=D1N1=5，B1D1=22，所以△B1N1D1的邊B1D1上的高為（5）2－（2）2=3，則S△B1N1D1=12×22×3=6.

當(dāng)B1N⊥D1N1時，B1N最小，求得B1Nmin=2S△B1N1D1D1N1=265=2305.

點評：在立體幾何中，常見的解決與平行關(guān)系有關(guān)的軌跡問題的策略有兩個.（1）將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；（2）平行時可利用法向量的垂直關(guān)系求軌跡.

2 動點保持垂直關(guān)系

動點保持垂直關(guān)系的問題，往往是基于動點與定點所對應(yīng)的直線，與其他直線之間保持垂直關(guān)系，或與相應(yīng)平面之間保持垂直關(guān)系等，進而探尋滿足條件的對應(yīng)動點的軌跡及其應(yīng)用問題.

圖2

例2" 〔2024年江蘇省南通市如皋市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（二）〕如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA=AB=1，M為空間中一動點，G為PC的中點，PA⊥平面ABCD.若MA·MG=0，則點M的軌跡圍成封閉圖形的體積為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用動點保持垂直關(guān)系，進而確定動點M在以AG為直徑的球面上，利用空間幾何體的性質(zhì)特征確定線段AG的長度，并利用動點M的軌跡圍成的封閉圖形為一個球，借助球的體積計算公式來分析與求解.

解析：依題，連接AC.由MA·MG=0可知MA⊥MG，則點M在以AG為直徑的球面上.

因為底面ABCD為正方形，AB=1，所以AC=2.

由PA⊥平面ABCD，得△PAC為直角三角形，所以AG=PC2=12PA2+AC2=32.

所以點M的軌跡圍成的封閉圖形是以線段AG的中點為球心，線段AG的長度為直徑的球，則其對應(yīng)的體積為43×π×343=316π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與垂直關(guān)系有關(guān)的軌跡問題的策略有三個.（1）將線線、線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)運算求軌跡；（3）將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.

3 動點保持等距關(guān)系

動點保持等距關(guān)系的問題，往往是基于動點到定點的距離、動點到定直線的距離、動點到定平面的距離等保持一致性或是相對應(yīng)的常量，進而探尋滿足條件的對應(yīng)動點的軌跡及其應(yīng)用問題.

例3" （2024年湖北省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，P為正方體表面上的一個動點，A1P=23，則點P的軌跡長度為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用動點保持等距關(guān)系，結(jié)合動點到定點的等距性轉(zhuǎn)化，可分為兩個部分，一個部分是動點P在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1上的軌跡，另一個部分是動點P在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD上的軌跡，確定對應(yīng)扇形的圓心角大小與半徑，進而確定動點的軌跡長度.

圖3

解析：依題，如圖3所示，點P的軌跡一部分是在平面ABB1A1，A1B1C1D1，ADD1A1內(nèi)以23為半徑，圓心角為π6的三段圓弧，另一部分是在平面BCC1B1，CDD1C1，ABCD內(nèi)以3為半徑，圓心角為π2的三段圓弧.

故點P的軌跡的長度為112×2π×23×3+14×2π×3×3=532π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與等距關(guān)系有關(guān)的軌跡問題的策略有兩個.（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助球和圓的定義等知識求解軌跡；（2）利用空間坐標(biāo)計算求軌跡.

4 動點保持等角關(guān)系

動點保持等角關(guān)系的問題，往往是基于動點與定點所對應(yīng)的直線，與其他直線之間保持等角關(guān)系，或與相應(yīng)平面之間保持等角關(guān)系等，進而探尋滿足條件的對應(yīng)動點的軌跡及其應(yīng)用問題.

圖4

例4" （2024年吉林省吉林市高考數(shù)學(xué)第二次調(diào)研試卷）如圖4，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，動點P滿足AP=aAC+bAA1，且a，b∈（0，1）.若直線BP與BD所成的角為π4，則動點P的軌跡長為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，先確定動點P在矩形A1ACC1內(nèi)，再利用動點保持等角關(guān)系，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，進而確定動點P的軌跡是以B為頂點的圓錐與矩形A1ACC1的交線部分，進而結(jié)合空間圖形的確定與直觀想象，合理求解對應(yīng)的軌跡長度.

圖5

解析：由題意可知，BA，BC與BD所成角都為π4.由AP=aAC+bAA1可知，點P在矩形A1ACC1內(nèi).

若直線BP與BD所成的角為π4，在線段OO1（O，O1分別為AC，A1C1的中點）上取點P1，使OP1=OB，則直線BP1與BD所成的角為π4，故點P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑r=22，且在矩形A1ACC1內(nèi)的半圓弧AP1C.

所以動點P的軌跡長為πr=22π.

點評：在立體幾何中，常見的解決與等角關(guān)系有關(guān)的軌跡問題的策略有3個.（1）直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面；（2）直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面；（3）利用空間坐標(biāo)系計算求軌跡.

在解決上述幾類動點保持所對應(yīng)元素的基本性質(zhì)（平行關(guān)系、垂直關(guān)系、等距關(guān)系及等角關(guān)系等）條件下，探尋相應(yīng)動點的軌跡與應(yīng)用問題時，抓住問題的本質(zhì)，經(jīng)常利用定義法、坐標(biāo)法、交軌法及平面化法等解題策略來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實現(xiàn)動點軌跡的探尋與應(yīng)用，解決空間應(yīng)用問題，實現(xiàn)問題的突破與求解，從而全面提升空間想象能力、直觀想象能力及邏輯推理能力等，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).