巧用“角”，解決雙曲線離心率的問題

摘要：在近幾年的高考、模擬考試中有不少涉及雙曲線離心率的問題.學生在解決此類問題時，經常束手無策，或者由于運算量大而中途放棄.本文中主要介紹求解雙曲線的離心率問題時，考慮雙曲線的對稱性，利用漸近線的斜率、傾斜角，結合條件分析出a，b之間的關系，再計算離心率，突破重難點.

關鍵詞：雙曲線;漸近線;斜率;離心率

例1" （2023湛江二模）（多選）已知雙曲線C：y2a2－x2b2=1（agt;0，bgt;0）的上焦點為F，過焦點F作C的一條漸近線的垂線，垂足為A，并與另一條漸近線交于點B，若|FB|=4|AF|，則C的離心率可能為（" ）.

A.263

B.153

C.2105

D.253

分析：在雙曲線中，焦點到漸近線的距離恒為b.此結論可以通過點到直線的距離公式計算得到.由對稱性可知，兩焦點到漸近線的距離都相等，取上焦點F（0，c），一條漸近線y=abx，即ax－by=0，則d=|bc|a2+b2=b.

解析：當a=b時，直線FA與另一條漸近線平行，不符合題意，故a≠b.

當alt;b時，如圖1所示，由|AF|=b，得|FB|=4b，所以|AB|=3b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，則

|OA|=a.

設直線y=abx的傾斜角為α，則tan α=ab.

在△OAB中，由雙曲線的對稱性可知，∠AOB=2α，且tan∠AOB=tan 2α=|AB||OA|=3ba.

根據正切的二倍角公式tan 2α=2tan α1－tan 2α，可得3ba=2×ab1－ab2，整理得3b2=5a2，即b2a2=53.

所以雙曲線的離心率e=ca=1+53=263.

當agt;b時，如圖2所示，由|AF|=b，得|FB|=4b，所以|AB|=5b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，則

|OA|=a.

設直線y=abx的傾斜角為α，則tan α=ab.

在△OAB中，由雙曲線的對稱性可知，∠AOB=2π2－α，且

tan∠AOB=tan 2π2－α=|AB||OA|=5ba，即－tan 2α=5ba.

由二倍角正切公式可得5ba=－2×ab1－ab2，化簡整理得5b2=3a2，即b2a2=35.

所以雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=2105.

綜上可得，該雙曲線的離心率可能為263或者2105.故選：AC.

在求解此類雙曲線的離心率問題時，若涉及漸近線、焦點、過焦點的直線與漸近線垂直等條件時，通常可以借助雙曲線漸近線的斜率與傾斜角進行轉化，同時考慮焦點到漸近線的距離恒為定值b，可以化繁為簡、化難為易，從而簡化代數運算過程，根據條件，找到a與b的關系，最后計算得出雙曲線的離心率e［1］.

例2" （2023山東青島模擬）設F是雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若2AF=FB，則雙曲線C的離心率是（" ）.

A.2

B.2

C.233

D.143

解析：根據題意，可作出如圖3所示的圖形.

由條件知|AF|=b，因為2AF=FB，所以2|AF|=|FB|，

則|FB|=2b，|AB|=3b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，則|OA|=a.

設漸近線y=bax的傾斜角為α，則tan α=ba.

在Rt△OAB中，由雙曲線的對稱性及漸近線的傾斜角可知，

∠AOB=2α，且tan∠AOB=|AB||OA|=3ba.

根據正切的二倍角公式tan 2α=2tan α1－tan 2α，可得

3ba=2×ba1－ba2，整理得1－ba2=23，即b2a2=13.

所以雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=233.

故選：C.

此題若把條件中的“2AF=FB”改為“2|AF|=|FB|”，雙曲線的離心率e=233或2.可以發現此種情況下用“角”來解決離心率的問題，就十分簡便.

變式練習

（1）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），過右焦點F作C的一條漸近線的垂線l，垂足為A，l與C的另一條漸近線交于點B，若AF=25AB，則C的離心率為（" ）.

A.305

B.2

C.233

D.52

答案：A.

（2）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2作直線l垂直于雙曲線的一條漸近線，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若5AF2=F2B，則雙曲線C的離心率e為.

答案：153.

小結：以上涉及雙曲線離心率的問題，均考慮了雙曲線漸近線的斜率和傾斜角，結合正切的二倍角公式，可以簡化復雜的代數運算，得出關于ba的等式，再根據雙曲線的離心率公式即可求得該雙曲線的離心率.特別注意，條件中線段的關系是以向量還是非向量的形式給出，決定了離心率的值是一個結果還是多個結果的可能［2］.

例3" 如圖4所示，已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦點為F，過點F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（" ）.

A.324

B.233

C.305

D.52

分析：此題直接給出直線l的傾斜角與漸近線傾斜角的關系，既可以從代數方法入手，通過聯立直線l的方程與漸近線方程，得出A，B兩點的坐標，結合條件算出離心率，也可以從“角”的角度直接加以分析，在△ABO中，結合邊與角關系找出a和c的關系，從而得到離心率.

解法1：用代數方法.

因為雙曲線的漸近線方程為y=±bax，所以

由直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍可得kl=2×ba1－ba2=2aba2－b2.

所以直線l的方程為y=2aba2－b2（x－c），分別與漸近線方程y=bax，y=-bax聯立得yA=2abca2+b2，yB=－2abc3a2－b2.

將AF=2FB轉化為坐標關系，得yA=－2yB，則2abca2+b2=－2－2abc3a2－b2，

化簡為a2=3b2，從而e=ca=1+b2a2=1+13=233.

解法2：用“角”的方法.

設漸近線OA的傾斜角為α，則直線l的傾斜角為2α，

所以∠OAF=α，則OF=AF=c.

由AF=2FB，得|FB|=12|AF|=12c，因此AB=32c.

因為雙曲線的焦點F到漸近線OA的距離為b，所以在等腰三角形AOF中，不難得出OA=2a.

根據雙曲線的對稱性知，∠BOF=∠AOF=∠OAF=α，所以

△OAB∽△FOB，因此BFOF=BOAO=12，得出BO=12AO=a.

由于tan α=ba，c2=a2+b2，因此cos α=ac.

在△ABO中，利用余弦定理可得cos∠OAB=（2a）2+32c2－a22×2a×32c=ac，化簡得3c2=4a2.

所以雙曲線的離心率e=ca=233.

在具體運用雙曲線漸近線的斜率、傾斜角等求離心率時，要注意已知條件，即已知條件涉及漸近線的斜率或傾斜角、過焦點的直線與漸近線垂直等，可以用“角”進行轉換求解離心率.

參考文獻：

［1］張仙艷.一道雙曲線錯題引發的思考［J］.數學通訊，2022（3）：31-32，43.

［2］施建昌，金曉江.運用矩形性質巧解一類長度問題［J］.中學數學教學參考，2022（1）：48-49.