圓錐曲線中幾種簡化運算的處理方法

摘要：圓錐曲線問題是高考的熱點問題，也是難點問題，對學生運算能力要求較高，本文中主要例談了圓錐曲線問題的幾種簡化運算的處理方法.

關鍵詞：圓錐曲線；簡化運算

圓錐曲線問題是高考的熱點問題，也是難點問題，對學生的邏輯推理和數學運算兩大核心素養有著較高要求.如何簡化圓錐曲線問題的運算呢？筆者以近幾年高考題為例，談談一些處理策略.

1 利用“曲線與方程思想”減計算

方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0）表示一條二次曲線，包括高中涉及的圓、橢圓、雙曲線與拋物線.

方程l1：A1x+B1y+C1=0（A21+B21≠0）和l2：A2x+B2y+C2=0（A22+B22≠0）表示兩條直線，那么方程（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0可以表示l1和l2上所有點集構成的曲線方程.

設二次曲線Γ1：f1（x，y）=0和Γ2：f2（x，y）=0，則方程λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0表示所有經過Γ1與Γ2交點的曲線方程.

例1" （2023新高考II第卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）記雙曲線C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，求證：點P在定直線上.

解析：（1）易知雙曲線C的方程為x24－y162=1.

（2）證明：設kMA1=k1，kNA1=k2，kNA2=k3，則

直線MA1，NA1上所有點集構成的曲線方程可以寫成［y－k1（x+2）］·［y－k2（x+2）］=0，即

y2－（k1+k2）（x+2）y+k1k2（x+2）2=0.①

又M，N在雙曲線C上，其坐標滿足x24－y162=1，即

y2=4x2－16=4（x+2）（x－2）.

②

將②代入①，得4（x+2）（x－2）－（k1+k2）·（x+2）y+k1k2（x+2）2=0.

上式表示過M，N，A1三點的曲線方程，則MN的方程為4（x－2）－（k1+k2）y+k1k2（x+2）=0.

又直線MN過點（－4，0），所以可得k1k2=－12.

由kNA1kNA2=k2k3=e2－1=4，可得

k1k3=－3.

設直線MA1方程為y=k1（x+2），

直線NA2方程為y=k3（x－2）.

聯立兩直線方程，可得x+2x－2=－13，解得

x=－1，即交點P在定直線x=－1上.

評析：本題中，三條直線MN，MA1，NA1在雙曲線內兩兩相交構成雙曲線的內接三角形，由MA1，NA1兩直線方程相乘所得到的新的方程可以表示過M，N，A1三點的曲線方程，結合雙曲線方程，對該方程化簡，進而得到直線MN的方程.由MN過定點，可知MA1，NA1兩直線斜率關系，進而得到MA1，NA2的斜率關系.解MA1，NA2兩直線方程得到答案，非常巧妙，也減少了計算.

通過同樣的處理可以解決2020年新課標I卷理科第20題，這里不再贅述.

2 “非對稱”問題的簡化計算

如何簡化“非對稱”問題的計算，下面以2020年新課標I卷理科第20題為例來說明.

例2" （2020新課標I卷理科第20題）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（agt;1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一個交點為C，PB與E的另一個交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

對于第（1）問，易得橢圓E的方程為x29+y2=1.下面重點說明第（2）問中“非對稱”問題的簡化計算.

設C（x1，y2），D（x2，y2），P（6，n）.由P，C，A和P，B，D三點共線可得關系式y1x1+3·x2－3y2=13（此處非對稱式），有以下幾種處理方式.

（i）由y1x1+3＼5x2-3y2=13，得

3y1（x2－3）=（x1+3）y2，則3y1（x2－3）（x1－3）=（x1+3）（x1－3）y2=（x21－9）y2，又由x219+y21=1，得x21－9=－9y21，代入上式得（x2－3）（x1－3）=－3y1y2.

（ii）由

y1x1+3·x2－3y2=13，得y21（x2－3）2y22（x1+3）2=19，則可得

（3+x1）（3-x1）（x2-3）2（x2+3）（3-x2）（x1+3）2=19，

所以可得（x1－3）（x2－3）（x1+3）（x2+3）=19.

整理可以得到

4x1x2－15（x1+x2）+36=0.

（iii）由橢圓第三定義得kDAkDB=－b2a2=－19，所以y2x2+3·y2x2－3=－19，即x2－3y2=－9y2x2+3，代入y1x1+3·x2－3y2=13得9y1y2x1x2+3（x1+x2）+9=－13.

變式" 已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右頂點，長軸長是6，離心率e=223.

（1）求橢圓E的方程.

（2）過點32，0的直線l交E于點C，D，試探究直線AC和直線BD的交點是否在一條直線上.若在，求出直線方程；若不在，請說明理由.

解：（1）易求得橢圓E的方程為x29+y2=1.

（2）設C（x1，y1），D（x2，y2），則直線AC的方程為y=y1x1+3（x+3），直線BD的方程為y=y2x2－3＼5（x－3）.由對稱性知，若所探求的直線存在則一定垂直于x軸.聯立直線AC和直線BD的方程，消去y得x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）（此處出現非對稱式）.

以下是兩種處理方式：

（i）找y1+y2與y1y2的倍數關系.

由x=my+32，x29+y2=1，得（4m2+36）y2+12my－27=0，則y1+y2=－12m4m2+36，y1y2=－274m2+36.

所以my1y2=94（y1+y2）.

于是x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）=y1my2－32y2my1+92=94（y1+y2）－32y194（y1+y2）+92y2=13，解得

x=6.故存在這樣的直線.

（ii）由x－3x+3=y1（x2－3）y2（x1+3）=y1my2－32y2my1+92=my1y2－32y1my1y2+92y2=my1y2－32y1my1y2+92（y1+y2）－92y1=－27m4m2+36－32y1－81m4m2+36－92y1=13，解得x=6.故存在這樣的直線.

評析：“整式型非對稱式”由不對稱化為對稱，“分式非對稱求值型”由不對稱求比值，這兩種方法共同體現了數學是“對稱美”和“非對稱美”的有機結合，反映了數學問題的本質.2023年新高考II卷第21題也能同樣處理.

3 借用“點乘雙根法”減計算

例3" （2021新高考I卷理科第21題）在平面直角坐標系中，已知點F1（－17，0），F2（17，0），|MF1|－|MF2|=2，點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解：（1）易求得C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

（2）設T12，t，A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=k1x－12+t，聯立曲線C的方程x2－y216=1可得16x2－k1x－12k1+t2－16=0.

令f（x）=16x2－k1x－12k1+t2－16，由A（x1，y1），B（x2，y2）是直線與雙曲線的交點，可知

f（x）=（16－k21）（x－x1）（x－x2），所以

f12=16122－k1×12－12k1+t2－16=－12－t2=（16－k21）12－x112－x2.

所以x1－12x2－12=12+t2k21－16.

又由Ax1，k1x1－12k1+t，T12，t，

可得|TA|=1+k21x1－12.

同理可得|TB|=1+k21x2－12.

所以|TA||TB|=（1+k21）x1－12x2－12=（1+k21）（12+t2）k21－16.

設直線PQ的方程為y=k2x－12+t，P（x3，y3），Q（x4，y4），且x4gt;x3gt;12.

同理可得|TP||TQ|=（1+k22）（12+t2）k22－16.

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

則1+k21k21－16=1+k22k22－16，化簡可得k21=k22.又k1≠k2，則k1+k2=0，即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

評析：該方法在通性通法的基礎上優化了運算，利用雙根整體處理問題，通過賦值的方法使得運算量大大減少，依然是一種通性通法.事實上，本解法與常規解法具有異曲同工之妙，只是細節不同，方程的代換和化簡是一個難點，學生比較難想到，而學生掌握這種方法的意義在于能利用該方法處理其他題型.不難發現，“點乘雙根法”在解決解析幾何中涉及數量積（點乘）或者消參后求另一變量的乘積時，有著巨大的威力，能使問題得到有效的解決，通過合理的賦值，使計算變得極為簡單，極大地提高了解題效率.