深度學習 鑄就活力課堂

引導學生深度學習，鑄就活力課堂，是落實新課標指向的重要路徑.深度學習是相對于淺層次學習而言的.所謂數學深度學習，是指學生在教師的引導下，圍繞具有一定難度且具有一定挑戰性的數學主題展開學習和深層次的探究，在整個過程中學生都能全身投入并體驗成功.“活力”是活力課堂的落腳點，充滿活力的課堂往往能引發笑聲，并能激發探究的欲望，探究過程中，必然會有互相交流的討論聲，當探究成功分享喜悅時，必然會引發陣陣掌聲.因此，筆者以為，笑聲、討論聲和掌聲是數學活力課堂的重要體現.基于此，本文中以“探究函數y=x+1x的圖象與性質”為例，展示引導學生深度學習、鑄就活力課堂的具體實施，與大家交流.

1 學習內容及學習目標

深度學習內容：探究函數y=x+1x的圖象與性質.

選材說明：本內容取材于現行普通高中教科書人教A版數學必修第一冊第92頁的“探究與發現”.本內容雖然不隸屬課本正文，卻是引領學生感悟函數與圖象的好素材.

深度學習目標：（1）通過對函數y=x+1x的圖象的探究與性質的研究，感悟數形結合思想，深刻領會圖象特征與函數性質的內在聯系，并能應用探究結果解決相關問題.（2）通過探究初步掌握數學研究的基本方法，提高數學素養，培養數學情感.

2 教學過程

2.1 回顧舊知，引發新知與認知沖突

師：函數圖象，能讓函數的性質一覽無遺，因此，研究函數往往先研究它的圖象.初中時，我們已經學習了函數y=x和y=1x，并且知道它們的圖象分別是直線與雙曲線，那么把它們相加后得函數y=x+1x，它的圖象還是直線或雙曲線嗎？請大家利用初中所學的描點作圖法，畫出當xgt;0時，這個函數的圖象.

教師巡視，發現學生畫圖不得要領，畫出的圖象各不相同.于是教師加以引導.

師：作函數圖象，一般要抓住幾個關鍵點.一是函數何時取得最大值或最小值；二是函數在哪些區間上單調遞增或單調遞減；三是函數圖象的變化趨勢.

圖1

一語驚醒夢中人.依據剛學過的基本不等式和函數的單調性，學生馬上找到了函數圖象的最低點（1，2）和函數的單調區間，其中（0，1）是減區間，（1，+∞）是增區間.于是得到圖1.

2.2 抓住特征，完善圖象并提升認知

師：經過探究，我們知道當xgt;0時函數y=x+1x的圖象的形狀像對勾，請問同學們，如果在同一個坐標系中畫出函數y=x的圖象，這兩個函數的圖象會相交嗎？

生1：因為當xgt;0時y=x+1x＞x，所以y=x+1x的圖象不會與y=x的圖象相交，而且它永遠位于直線y=x的上方.當自變量x趨向于無窮大時，1x趨向于0，所以函數y=x+1x的圖象的變化趨勢是無限接近于直線y=x.

師：回答得很好！（學生掌聲響起.）

師：我們把直線y=x稱為函數y=x+1x圖象的漸近線.你還能看出哪條直線是函數y=x+1x圖象的漸近線？

生2：y軸，即直線x=0也是它的漸近線.因為這個函數的定義域為{x|x≠0}，所以y=x+1x與y軸不相交，又因為當自變量x趨向于0+時，1x趨向于正無窮大，所以函數y=x+1x的圖象也無限逼近于y軸.（學生掌聲再次響起.）

師：剛才我們已經研究了當xgt;0時函數y=x+1x的圖象特征，那么當xlt;0時，它的圖象又該如何畫呢？

生3：因為函數y=x+1x的定義域為{x|x≠0}，且滿足f（x）+f（－x）=0，所以它是奇函數，于是依據對稱性，即可畫出當xlt;0時函數的圖象.

圖2

師：好！請大家畫出函數y=x+1x在定義域{x|x≠0}內的圖象，并同時畫上漸近線.

經過以上探究，學生很快畫出了函數y=x+1x在定義域{x|x≠0}內的圖象，如圖2.

2.3 改變系數，深入探究完善知識結構

師：剛才我們研究了函數y=x+1x的圖象，并結合圖象知道了它的一系列性質.如果把這個函數改為y=x+4x，你會研究它的圖象與性質嗎？請同學們分組探究.

5分鐘后，同學們交流探究結果.學生發現這個函數的圖象依舊是“兩個對勾”，奇偶性與定義域沒有改變，但值域和單調性發生了變化，這個函數的值域是（－∞，-4］∪［4，+∞），單調增區間有（－∞，－2）和（2，+∞），單調減區間有（－2，0）和（0，2）.

師：如果把這個函數改為y=2x+8x，情形又如何呢？

生4：只需把它變形為y=2x+4x就可以發現，這個函數與y=x+4x有著“驚人相似的模樣”，即值域發生了改變，其他都沒有變化.該函數的值域是（－∞，-8］∪［8，+∞）.

師：回答得很好！解決數學問題的根本在于轉化，把陌生的問題轉化為熟悉的問題.下面請同學們探究函數y=ax+bx（a，bgt;0）的圖象與性質.

學生再次合作，先把函數y=ax+bx化為y=ax+bax，進而利用幾何畫板畫出它的圖象，如圖3所示.

圖3

對于函數f（x）=ax+bx（agt;0，bgt;0），當xgt;0時，f（x）=ax+bx≥2ab（當且僅當ax=bx，即x=ba時等號成立）；當xlt;0時，f（x）=-（-ax）+-bx

≤-2ab（當且僅當ax=bx，即x=-ba時等號成立）.

所以得到圖象的頂點坐標Aba，2ab，B-ba，-2ab.

結合圖象，得到函數y=ax+bx（a，bgt;0）的如下性質：

（1）定義域：{x|x≠0};

（2）奇偶性：奇函數；

（3）單調性：單調遞增區間為－∞，－ba，ba，+∞，單調遞減區間為－ba，0，0，ba；

（4）值域：（－∞，－2ab］∪［2ab，+∞）.

2.4 變號再探，把深度學習引向課外

師：剛才經過大家的群策群力，我們從y=x+1x入手，成功研究了一類形如y=ax+bx（a，bgt;0）雙勾函數的圖象與性質，那么a與b異號時，這個函數的圖象與性質又如何呢？請大家課后探究函數y=x－1x的圖象與性質.

3 一點體會

深度學習，既是學生的學習行為，也是教師的教學行為，只有把教與學緊密聯系起來，才能實現深度學習的目的.對于這類課型，有效的問題設置十分重要，因為有效的問題才能使學生的探究有章可循，進而體現教師的主導作用和學生的主體地位，更能體現“教學相長”的教學原則.

深度學習的內容，應該靈活多變.教師應該做到尊重教材，但不拘泥于教材，一切從學生的認知出發.每一節課所學的內容，既要注重基礎性，因為它是深度學習的前提與保障，更要注重知識與方法的拓展性，因為它是深度學習的目的與歸宿.深度學習不僅僅體現在課堂上，也應該體現在課外，只有這樣，才能讓深度學習成為學生探究數學世界的習慣.

活力課堂，講究的是互動，但必須以深度學習為平臺，如果離開了這個平臺，那么活力課堂只能是一種形式，它對學生的思維發展和探究能力的培養毫無益處.因此，深度學習是鑄就活力課堂的必要條件.