基于多元表征理論的高中數學教學案例分析

摘要：數學多元表征是指同一數學學習對象的多種表征形式.在高中數學學習中，單一的文字語言已經不能滿足定義闡述的需要，因此，應用數學多元表征理論指導教學是提升教學質量的必經之路.本文中深入剖析一節融入了數學多元表征理論的“函數的單調性”教學案例，體會數學多元表征理論在教學中的靈活應用.

關鍵詞：數學多元表征；單調性；教學過程

項目信息：哈爾濱師范大學高等教育教學改革研究項目“數學與應用數學專業師范生教學設計能力提升策略研究與實踐”，項目編號為XJGY2023020.

數學多元表征理論是一種在數學領域中應用廣泛的理論框架，旨在通過多種表征形式來深化對數學概念和問題的理解與解決.

數學多元表征理論的核心在于使用多種形式來表現和解決問題，這些形式包括口頭語言、文字符號、圖形圖表、物理模型、情境表征和操作性表征等.這種多維度的表征方式有助于從不同角度理解和掌握數學知識，從而促進學習者的認知發展和思維能力的提升.因此，該理論具備良好的應用價值.

1 數學多元表征理論的應用價值

1.1 幫助學生深入理解數學概念

借助多元表征的學習方法探究數學概念，能有效深化學生對數學概念的理解，通過激發學生的多元化感知體驗，使數學教育過程更富活力與實踐性.此方法蘊含科學原理，不僅拓寬了數學概念的認知范疇，還增強了理解的深入性，從而推動學生全面而深入地掌握數學概念.

1.2 幫助學生建構良好的知識結構

教育者在授課過程中采用描述性和敘述性等多種表征方法，能夠彰顯數學概念的多維度的特性，并強化不同表征形式間的內在聯系.通過多元視角的切入，有助于學生構筑穩固的知識架構，搭建起新舊數學概念的溝通橋梁，進而促進系統化數學概念認知框架的生成.

1.3 幫助學生提高解決問題的能力

借助數學概念的多元表征思路進行學習，在深刻掌握數學概念的前提下，對數學問題實施多元化解讀，全面深入地剖析、揭示問題本質，探索解題路徑，能夠有效提升學生的解題能力.

2 “函數的單調性”教學案例

2.1 內容與教材分析

本課題選自普通高中教科書數學A版（人民教育出版社）必修第一冊第三章第二節.

函數的單調性是高中階段學生接觸并研究的第一個函數性質，也是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的性質.

學生借助對函數圖象的觀察、分析、歸納，發現函數圖象“上升”“下降”變化的直觀特征，用文字語言描述為“隨著橫坐標的增大，縱坐標增大（減?。?，進一步量化，發現“隨著橫坐標的增大，縱坐標增大（減?。钡臄祵W特征，獲得數學符號語言表達，完成對數學概念的形式化、符號化抽象.通過函數單調遞增（減）、增（減）區間以及增（減）函數概念的生成，逐步完善函數的單調性的知識體系.

2.2 教學目標

（1）通過具體實例，經歷函數單調性概念的抽象過程，能說出單調遞增（增函數）、單調遞減（減函數）定義及其圖象特征；能用例子說明“任意”等關鍵詞的含義，發展數學抽象素養.

（2）能利用函數圖象判斷函數的單調性；能說出用定義判斷函數單調性的步驟，能利用定義對一些簡單函數的單調性給出形式化的證明，培養邏輯推理素養.

（3）通過對函數單調性定義的探究，滲透符號化與形式化、數形結合思想方法，總結從圖形、文字到符號語言等價轉化的研究思路，培養學生觀察、判斷、抽象、概括能力.

2.3 教學重難點

（1）教學重點

函數單調性的定義；運用定義法判斷函數的單調性.

（2）教學難點

基于單調遞增（減）的函數圖象逐步抽象函數單調性的定義.

2.4 教學理念

數學多元表征理論指出，在數學學習中，相對單一表征而言，多元表征具有無可比擬的優勢，且這種表征可以直接表現在數形結合的思想方法中.“單調性”的學習是學生首次接觸到使用多元語言描述同一數學對象，這是數形結合的深化抽象初體驗，也是數學多元表征理論呈現的優良載體.因此，本節課依照“數學多元表征”理念來設計和實施教學活動.

2.5 教學過程

（1）視覺化表征的形成

利用艾賓浩斯遺忘曲線舉例，說明函數圖象的升降可以體現變化趨勢，回顧發現許多函數圖象都具備這種“上升”“下降”的現象，請學生舉例.

問題1" 哪些函數圖象具備“上升”或“下降”的現象？

學生活動：能舉出一次函數、二次函數等例子.

在高中階段，把函數圖象從左到右上升叫做單調遞增，從左到右下降叫做單調遞減.不難發現，有的函數圖象同時包括單調遞增、單調遞減部分.

問題2" 這說明描述圖象的單調遞增（減）需要確定好什么要素？

學生活動：描述單調遞增（減）要明確圖象對應的區間.

若在某區間上，函數圖象是單調遞增或單調遞減的，就稱函數在該區間上具備單調性.

點評：經過兩個問題的引導，完善學生對單調遞增（減）定義的視覺化表征.

（2）言語化表征的形成

問題3" 能將單調性的圖形語言等價轉化為文字語言嗎？

以熟悉的函數y=x2圖象為例，從宏觀上觀察圖象，總結其變化特征.

追問1：如圖1，函數y=x2圖象的變化特征是什么？

追問2：從微觀上看，函數圖象是由什么構成的？

每個點對應有坐標，所以圖象的變化就意味著坐標的變化.

追問3：比如y=x2的圖象從左到右先下降后上升，意味著坐標是怎樣變化的？

學生活動：通過觀察幾何畫板繪制的圖象上點的變化，結合三個追問的引導，逐步抽象出單調增（減）的文字語言為“隨著橫坐標的增大，縱坐標先減小后增大”.

點評：此時已完成言語化表征中的口頭語言、數學書面語言轉化，可進一步對表征進行形式化的符號語言轉化，這有利于學生形成良好的感覺記憶.

問題4" 如何用數學符號語言描述單調性？

首先研究函數y=x2在y軸右側的變化趨勢，即“隨著橫坐標的增大，縱坐標增大”.

注意到這里兩次提到增大，思考下列問題.

追問1：至少需要研究幾個對象，才能體現出增大的過程？

學生活動：回答兩個、三個甚至更多，最后確定為至少兩個點才能體現出增大.

追問2：如何用符號語言表述點在y軸右側、橫縱坐標的增大？

追問3：如何用符號語言體現“隨著”？

學生活動：逐步嘗試、修正，最后得到形式化的符號語言表述.

顯然，由文字語言可得到符號語言，但要求進行等價轉化.

追問4：滿足該符號語言，圖象能否一定遞增？

追問5：不妨設無限個點滿足條件，此時結論是否成立？

學生活動：思考后學生可以舉出反例，如圖2.

追問6：需要多少個點滿足條件，才可以滿足單調遞增？

追問7：哪個數學符號能體現出這樣的含義？

學生活動：結合所學，得出某區間上的所有點滿足條件才可說明圖象在該區間上單調遞增，并結合所學使用全稱量詞進行符號語言表述.

點評：通過問題串引導，學生將表征“隨著橫坐標的增大，縱坐標增大”深化到形式化的符號語言表征.至此，關于單調遞增（減）的言語化、視覺化表征已經完成，意味著學生能更好地形成對知識的感覺記憶，進而有利于工作記憶中各類編碼的生成.

問題5" 你能類似地描述該函數在區間（－∞，0）上的變化規律嗎？可借助表1梳理思路.

結論函數f（x）=x2在區間（0，+∞）上單調遞增

追問：這樣的符號語言是否可以用于描述其他函數圖象單調遞增（減）？

師生活動：得到一般的單調遞增（減）函數圖象的符號語言表述.教師板書總結單調性的定義.

點評：由特殊到一般，學生歸納出函數單調性的定義，體會類比表征的過程，思維得到升華；在數形結合中體會數學語言與數學圖象的一致性，也是數學多元表征理論在教學中的直接體現.

（3）例題精講，促進表征內化

利用定義，不僅可以對具備單調性的函數進行符號化的描述，而且還能判定和證明函數的單調性，以下面例題的解題過程進行示范.

例題" 根據定義研究函數y=x+1x在區間（1，+∞）上的單調性.

類比單調性定義推進例題的解決，明確需要使用作差法.

學生活動：自主完成后續證明過程.

根據例題總結用定義法判定函數單調性的一般步驟，歸納判定單調性的兩種方法，即定義法、圖象法.

變式" 類比上述流程，你能判斷函數y=x+1x在（－∞，－1）上的單調性嗎？

追問：根據單調性的結論，能否說函數y=x+1x在（－∞，－1）∪（1，+∞）上單調遞增？

點評：利用定義法解決單調性的判定問題，并在此總結判定步驟，方便學生后續使用此方法.同時深化學生的感覺記憶，促進工作記憶中各類編碼的生成.

（4）練習鞏固，自主探索

練習1" 根據定義，研究函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性.

練習2" 物理學中的玻意耳定律p=kV（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試用函數的單調性證明.

點評：通過自主練習，進一步鞏固定義法，體會數形結合、化歸、分類討論等思想方法，借單調性解釋物理學中的定律，養成數學的應用意識和理性思維，促進學科融合.

（5）總結提升，明晰思路

問題6" 本節課是如何抽象出函數單調性定義的？

學生活動：結合本節課內容總結研究思路，回顧定義得出的過程.

點評：通過研究思路的總結，培養學生良好的學習習慣和思維習慣，內化多元表征的一般路徑，并積累函數問題的研究思路，為后續學習函數的奇偶性作先導鋪墊.

（6）布置作業，深化提升

①教材第79頁練習1～4題；

②思考題：若函數f（x）對x1，x2∈D，都有f（x2）－f（x1）x2－x1gt;0，判斷f（x）在D上的單調性.

點評：設置不同類型作業任務，作業①鞏固所學知識的同時，提高學生的探究意識和實踐能力，思考題則是為單調性等價定義的出現作鋪墊，深化學生對單調性的感覺記憶，有利于工作記憶的編碼生成.

在本案例中，學生經歷圖形語言、文字語言到符號語言的轉化，形成了言語化表征和視覺化表征，有利于感覺記憶的獲取.有了結構良好的感覺記憶，學生更易理解定義本身，同時方便對記憶進行編碼，促進工作記憶的形成和向長時記憶的轉化.