從“一題多解”到“一題多變”

項目信息：福建省中青年教師教育科研項目（基礎教育研究專項）“核心素養視域下高中數學拓展類校本課程建設研究”，項目編號為JSZJ23122.福建教育學院資助.

解三角形是高考數學必考的一個知識點，側重考查正弦定理、余弦定理與面積公式在解題中的靈活運用.由于此類問題通常以圖形為載體進行設計，且涉及到的具體運算往往較多，所以有利于較好地培養學生在直觀想象與數學運算方面的核心素養.

好題采擷" 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，D是BC邊的中點，求中線AD的長.

多解探究" 為了便于分析，如圖1所示，先畫出對應的圖形.

解法1：（多次靈活運用余弦定理）在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos A=22+32－2×2×3cos 60°=7，所以BC=7.于是，在△ABC中由余弦定理得cos B=AB2+BC2－AC22AB·BC=22+（7）2－322×2×7=714.又易知BD=72，故在△ABD中由余弦定理得AD2=AB2+BD2－2AB·BDcos B=22+722－2×2×72×714=194.因此，所求中線AD的長為192.

解法2：（利用向量恒等式）設AB=a，AC=b，則|a|=2，|b|=3，向量a，b夾角為60°.

又注意到a+b=2AD，于是根據向量恒等式（a+b）2－（a－b）2=4a·b可得（2AD）2=4a·b+（a－b）2，所以4|AD|2=2a·b+|a|2+|b|2=2×2×3cos 60°+22+32=19，則|AD|=192.故所求中線AD的長為192.

解法3：（利用平面向量的線性表示）因為D是BC邊的中點，所以AD=12（AB+AC），兩邊平方，可得到|AD|2=14（|AB|2+|AC|2+2AB·AC）

=14（22+32+2×2×3cos 60°）=194，則|AD|=192.故所求中線AD的長為192.

解法4：（巧作輔助線，靈活運用余弦定理）

如圖2所示，經過點B作AC的平行線，與線段AD的延長線交于點E.由D是BC的中點，可知BE=AC=3，AE=2AD，∠ABE=120°.于是，在△ABE中由余弦定理得AE2=AB2+BE2－2AB·BEcos∠ABE，即（2AD）2=22+32－2×2×3cos 120°，化簡得AD=192.故所求中線AD的長為192.

評注：上述解法1側重于變換三角形，靈活運用余弦定理解題；解法2、解法3側重于靈活運用平面向量知識解題；解法4側重于結合圖形先創造有利條件，再靈活求解.整體看，本題解法較多，不僅考查了學生的數形結合能力，而且也考查了學生的數學運算求解能力，其中解法3、解法4比較簡單，值得我們細細品味、研究！

多變探究nbsp; 前文中的原題實際上是已知D為線段BC的一個二等分點，現將其改為“一個三等分點”，可得如下變式題1.

變式題1" 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，點D在BC邊上，且滿足BD=13BC，求線段AD的長.

解析：由BD=13BC，得AD－AB=13（AC－AB），整理可得AD=23AB+13AC.于是，兩邊平方可得|AD|2=49|AB|2+19|AC|2+49AB·AC=49×22+19×32+49×2×3cos 60°=379，所以|AD|=373.故所求線段AD的長為373.

評注：題設條件BD=13BC，表明了D為線段BC的一個三等分點，且靠近點B.參考前述多解探究，可給出本題的其他不同解法，請讀者自行完成.

原題目標問題是求三角形的中線長，而三角形中又經常會涉及到角平分線、高線，據此可得如下變式題2和變式題3.

變式題2" 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，內角A的平分線與BC邊交于點D，求角平分線AD的長.

解法1：因為AD是角A的平分線，所以可得BDDC=ABAC=23，則3BD=2DC，從而3BD=2DC，所以3（AD－AB）=2（AC－AD），整理得AD=35AB+25AC.于是，兩邊平方得|AD|2=925|AB|2+425×|AC|2+1225AB·AC=925×22+425×32+1225×2×3cos 60°=10825，從而可知|AD|=635.故所求角平分線AD的長為635.

解法2：根據題設已知條件，易知∠BAD=∠DAC=30°.又結合圖形可得到S△ABC=S△ABD+S△ACD，所以12AB·AC·sin∠BAC=12AB·AD·sin∠BAD+12AC·AD·sin∠DAC，也即12×2×3sin 60°=12×2×ADsin 30°+12×3×ADsin 30°，解得AD=635.故所求角平分線AD的長為635.

評注：本題解法1利用了三角形內角平分線性質定理，解題關鍵是獲得向量等式AD=35AB+25AC；解法2利用了“分割與組合思想”，有利于構建關于目標量“AD”的方程，從而簡捷求解.參考前述多解探究，可得出本題的其他不同解法，請讀者自行完成.

變式題3" 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，點D在BC邊上，且滿足AD⊥BC，求高線AD的長.

解法1：在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos A

=22+32－2×2×3cos 60°=7，所以BC=7.于是，設BD=x，則CD=7－x.

又根據AD⊥BC，利用勾股定理得AD2=AB2－BD2=AC2－CD2，所以可得

22－x2=32－（7－x）2，解得x=77，即BD=77.

于是，AD2=AB2－BD2=22－772=277，故可得高線AD的長為3217.

解法2：在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos A

=22+32－2×2×3cos 60°=7，所以BC=7.又由題意及圖形得S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=12BC·AD，所以12×2×3sin 60°=12×7AD，解得AD=3217.因此所求高線AD的長為3217.

解法3：在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2－2AB·ACcos A

=22+32－2×2×3cos 60°=7，所以BC=7.于是，在△ABC中由正弦定理得BCsin A=ACsin B，即7sin 60°=3sin B，所以可得sin B=3sin 60°7=32114.在△ABD中，

根據AD⊥BC，可得AD=ABsin B=2×32114=3217.故所求高線AD的長為3217.

評注：本題解法1側重體現了余弦定理與勾股定理以及方程思想在解題中的綜合運用；解法2側重體現了余弦定理與兩個三角形面積公式在解題中的綜合運用；解法3側重體現了余弦定理與正弦定理以及解直角三角形知識在解題中的綜合運用.

以上，通過一道解三角形問題的“多解探究”與“多變探究”，不僅體現了解三角形知識在解題中的充分、靈活運用，而且也體現了利用向量知識可靈活、簡捷處理有關解三角形問題.此外，從數學思想方法角度看，需要關注數形結合思想、方程思想以及轉化思想在解三角形問題中的靈活運用；從解題技巧方面看，需要關注對平面向量的線性表示實施“平方”變形，考慮平面圖形的面積以及面積關系，巧作輔助線解決問題；等等.故通過對解三角形問題的探究，有利于拓寬解題思維，提高解題的技能與技巧.