U型探究思維下雙曲線單元教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：雙曲線這節(jié)在單元教學(xué)的理念下，以比較橢圓和雙曲線在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形特征和a，b，c的關(guān)系上的異同為知識(shí)層面的明線，以類比法、坐標(biāo)法、軌跡法和數(shù)形結(jié)合法等研究方法和猜想、驗(yàn)證、證明等研究思路為能力與素養(yǎng)層面的暗線，以經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)與改造、方法的類比與驗(yàn)證、問(wèn)題的遷移與反思為內(nèi)在邏輯線設(shè)計(jì)一系列自然而然的學(xué)習(xí)活動(dòng).這種思維探究模式恰似一個(gè)“U型”，培養(yǎng)學(xué)生渴求知識(shí)的感覺(jué)，使學(xué)生獲得“如何思考”的智慧.

關(guān)鍵詞：U型探究；雙曲線；單元教學(xué)

項(xiàng)目信息：廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目“新課標(biāo)背景下的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)實(shí)踐研究”，項(xiàng)目編號(hào)為2022YQJK047；2025年廣州市規(guī)劃課題（省教育成果培育項(xiàng)目）“U+4模型：高中數(shù)學(xué)建模與探究活動(dòng)的教學(xué)改進(jìn)”，立項(xiàng)編號(hào)為2024111279.

加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)以具有整體性的知識(shí)單元為載體、從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)并展開(kāi)課堂教學(xué)，是這一輪課改的顯著特點(diǎn)，也是本次課改中切實(shí)發(fā)揮數(shù)學(xué)育人功能、轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)育人方式、落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵抓手［1］.根據(jù)人教A版教材的安排，雙曲線的學(xué)習(xí)是在橢圓的基礎(chǔ)上完成的.從知識(shí)的前后聯(lián)系看，本單元是繼橢圓后坐標(biāo)法的進(jìn)一步運(yùn)用，所要解決的問(wèn)題仍然圍繞著確定曲線定義—建立曲線方程—研究曲線的幾何性質(zhì)的基本路徑開(kāi)展.故此，雙曲線單元探究教學(xué)可以類比橢圓的研究背景、研究方法和研究問(wèn)題來(lái)實(shí)施.基于以上三個(gè)方面的思考，本節(jié)以比較橢圓和雙曲線在定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形特征和a，b，c的關(guān)系上的異同為知識(shí)層面的明線，以類比法、坐標(biāo)法、軌跡法和數(shù)形結(jié)合法等研究方法和猜想、驗(yàn)證、證明等研究思路為能力與素養(yǎng)層面的暗線，以經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)與改造、方法的類比與驗(yàn)證、問(wèn)題的遷移與反思為探究的內(nèi)在邏輯線設(shè)計(jì)一系列自然而然的學(xué)習(xí)活動(dòng).這個(gè)過(guò)程正是教育家杜威所提出的，學(xué)生在整體性的世界中的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷一個(gè)“U型”的過(guò)程：還原與下沉、經(jīng)驗(yàn)與探究、反思與上浮.這種思維探究模式既強(qiáng)調(diào)學(xué)生與情境的相互作用，又注重學(xué)生的主觀選擇與價(jià)值判斷，過(guò)程中學(xué)生從“知識(shí)習(xí)得”升華到“知識(shí)遷移運(yùn)用”［2］.

1 由“和”變“差”，經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)與改造探究

研究完橢圓后，經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的一個(gè)自然問(wèn)題就是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？由“和”改為“差”，從而引發(fā)出概念的經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)與改造.

1.1 概念的經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)與改造

問(wèn)題1" 我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.根據(jù)以上定義，同學(xué)們還能提出什么問(wèn)題呢？

學(xué)生：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差（積、商）等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？

問(wèn)題2" 我們利用信息技術(shù)先來(lái)驗(yàn)證一下：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為何是橢圓？

基于教材，引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)來(lái)探究：在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn).在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓，如圖1.

問(wèn)題3" 請(qǐng)同學(xué)們?cè)贏B間移動(dòng)點(diǎn)P，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，觀察兩圓的交點(diǎn)M滿足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？

學(xué)生：|MF1|+|MF2|=|AB|，軌跡為橢圓.

問(wèn)題4" 兩圓一定相交嗎？當(dāng)滿足什么條件時(shí)，兩圓相交？同學(xué)們不妨改變一下AB的長(zhǎng)度進(jìn)行觀察.

學(xué)生：如果|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)M的軌跡是橢圓；如果|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡.

1.2 作圖的經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)與改造

通過(guò)上面的半徑之和為定值的兩圓交點(diǎn)軌跡作圖經(jīng)驗(yàn)示范，繼續(xù)引發(fā)是否可以通過(guò)半徑之差為定值的兩圓交點(diǎn)軌跡進(jìn)行曲線形狀的探究.那么，如何改造作圖的條件成為學(xué)生必須思考的關(guān)鍵.

問(wèn)題5" 如果我們要探究與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的“差”等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么，那么該如何改變條件呢？

學(xué)生：讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)（如圖2），此時(shí)|PA|-|PB|=±|AB|，則|MF1|-|MF2|就是一個(gè)常數(shù).

問(wèn)題6" 隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，觀察兩圓的交點(diǎn)M滿足什么幾何條件？其軌跡是什么形狀？

一部分學(xué)生認(rèn)為兩圓交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是雙曲線；一部分學(xué)生卻認(rèn)為兩圓不存在交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)軌跡.

問(wèn)題7" 為何有些同學(xué)認(rèn)為兩圓有交點(diǎn)，有些同學(xué)卻認(rèn)為沒(méi)有交點(diǎn)呢？

通過(guò)探究觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在|AB|lt;|F1F2|的條件下兩圓才有交點(diǎn).

問(wèn)題8" 類比橢圓的定義，請(qǐng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述以上觀察到的規(guī)律.注意兩個(gè)定義之間的差異體現(xiàn)在哪里？

問(wèn)題9" 雙曲線定義中的“絕對(duì)值”能否去掉？

問(wèn)題10" 如果去掉“絕對(duì)值”如何分析軌跡點(diǎn)所在的位置？

問(wèn)題的引領(lǐng)，能夠使探究關(guān)聯(lián)到學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)背景上.讓學(xué)生自行歸納雙曲線概念，并通過(guò)信息技術(shù)的運(yùn)用發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線在概念內(nèi)涵屬性上的異同：相同的是它們都是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離具有某種確定關(guān)系的點(diǎn)的軌跡，而且這種確定關(guān)系是通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到的；不同的是所用的運(yùn)算方法.這個(gè)過(guò)程能喚起學(xué)生的求知欲、興趣和探究需要，激發(fā)學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使其“自我卷入”并下沉到學(xué)習(xí)之中.

2 由“形”到“數(shù)”，方法的類比與驗(yàn)證探究

在橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，已經(jīng)給出了研究圓錐曲線幾何性質(zhì)的一般路徑.故此，雙曲線幾何性質(zhì)的探究可以通過(guò)類比的方法進(jìn)行共性與特性的猜想、驗(yàn)證和證明.

2.1 研究路徑出共性——范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)

問(wèn)題1" 類比橢圓幾何性質(zhì)的研究路徑，我們可以研究雙曲線的哪些性質(zhì)？怎么研究？

學(xué)生：橢圓是從“形”和“數(shù)”兩方面研究x，y的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和離心率，如圖3.所以我們也可以先從“形”上面觀察雙曲線在范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)這幾方面的幾何特征，再?gòu)摹皵?shù)”上對(duì)“形”進(jìn)行檢驗(yàn).

通過(guò)類比橢圓的研究路徑，學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面自行發(fā)現(xiàn)雙曲線與橢圓的共性.突出解析幾何用“數(shù)”解析“形”的作用，同時(shí)提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納、類比遷移、自我探究的能力.

2.2 形狀差異出特性——漸近線、張口大小、離心率關(guān)系的探究

問(wèn)題2" 對(duì)比橢圓與雙曲線的形狀，你還能發(fā)現(xiàn)雙曲線有哪些不同的特性呢？

學(xué)生：橢圓是封閉的曲線，而雙曲線是非封閉的開(kāi)口曲線.故此，猜想雙曲線還有漸近線.

問(wèn)題3" 從猜想、檢驗(yàn)到證明的思路，能否猜想出漸近線的方程并驗(yàn)證呢？（以中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線為例.）

學(xué)生小組討論后，給出以下研究思路及分析（圖4）：

問(wèn)題4" 改變漸近線斜率，觀察雙曲線的變化，分析漸近線對(duì)雙曲線的什么性質(zhì)有影響？

學(xué)生：張口大小.

問(wèn)題5" 橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，那么雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？

利用信息技術(shù)，學(xué)生通過(guò)固定a，改變c，或固定c，改變a兩方面探究驗(yàn)證e對(duì)雙曲線張口大小的影響，從而得到e的含義可以理解為焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度，是可以表示雙曲線“張口”大小的一個(gè)量.

問(wèn)題6" 用漸近線與離心率刻畫雙曲線“張口”大小有什么聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生：從“形”上面觀察，當(dāng)e增大時(shí)漸近線與實(shí)軸的夾角增大，雙曲線開(kāi)口增大；從“數(shù)”上分析，因?yàn)閑=ca=a2+b2a=1+b2a2，所以用漸近線和離心率都能刻畫雙曲線的“張口”大小.區(qū)別只在于一個(gè)反映的是a，b的關(guān)系，另一個(gè)反映的是a，c的關(guān)系，但是二者可以互相轉(zhuǎn)化.

問(wèn)題7" 兩條漸近線什么時(shí)候互相垂直呢？當(dāng)互相垂直時(shí)，雙曲線的形狀有何特征？

遵循從一般到特殊的思路，引導(dǎo)學(xué)生思考特例并通過(guò)信息技術(shù)自行歸納出等軸雙曲線的概念及幾何性質(zhì).

通過(guò)類比橢圓的研究路徑和使用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生探究走得更深入更持久，最后形成思維的總結(jié)（圖5）.在“形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系上找出雙曲線與橢圓在范圍、對(duì)稱性與頂點(diǎn)的共性，也找出了漸近線及“張口”大小影響因素的特性.最后不難發(fā)現(xiàn)離心率是溝通橢圓與雙曲線共性與特性的橋梁.

3 多“變”歸“一”，問(wèn)題的遷移與反思探究

杜威認(rèn)為，反省的思維與方法更能培養(yǎng)學(xué)生的智慧.其實(shí)教材中分別在橢圓和雙曲線部分都設(shè)置了變式例題，題目背景一樣，只是數(shù)值改變了.因此可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用例題的前后比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納規(guī)律.

問(wèn)題1" 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們斜率之積是-49，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀.（橢圓）

變式" 把以上的“積”是-49改為“積是49”，點(diǎn)M的軌跡方程又有何變化？針對(duì)以上變化，你能發(fā)現(xiàn)何規(guī)律？（雙曲線）

學(xué)生小組討論，得出兩條直線的斜率之積若是一個(gè)常數(shù)m，當(dāng)mlt;0時(shí)，則兩直線交點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其中m=-b2a2；當(dāng)mgt;0時(shí)，則兩直線交點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，其中m=b2a2.從而得到橢圓與雙曲線的統(tǒng)一定義.

問(wèn)題2" 動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和M到定直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.（橢圓）

變式1" 如果把直線方程改為x=94，常數(shù)改為43，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.你又有什么發(fā)現(xiàn)？針對(duì)以上變化，你能發(fā)現(xiàn)何規(guī)律？（雙曲線）

學(xué)生小組討論，得出平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到定值線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca.若0lt;calt;1，即agt;cgt;0，則點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）；若cagt;1，即cgt;agt;0，則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，方程為x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）.

變式2" 若常數(shù)ca=1，則點(diǎn)M的軌跡是什么呢？（拋物線）

探究出新知，針對(duì)變式內(nèi)容提出新問(wèn)題，既需要對(duì)前面橢圓和雙曲線的深度理解，又使學(xué)習(xí)有了新的起點(diǎn)，帶著問(wèn)題進(jìn)入后續(xù)學(xué)習(xí)，為拋物線的學(xué)習(xí)和圓錐曲線的統(tǒng)一定義作鋪墊，起到承上啟下、上下貫通的作用.同時(shí)讓學(xué)生感知：值在變但方法不變，結(jié)果在變但規(guī)律沒(méi)變的圓錐曲線單元體系.

總的來(lái)說(shuō)，U型探究思維可以從單元統(tǒng)整的視角出發(fā)將前后知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)與規(guī)劃，形成有聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化的探究?jī)?nèi)容體系.通過(guò)問(wèn)題與情境，將已有經(jīng)驗(yàn)與新信息建立起關(guān)聯(lián)；通過(guò)方法與驗(yàn)證，將研究的思路與思維與要學(xué)習(xí)的問(wèn)題建立關(guān)聯(lián)；通過(guò)遷移與反思，將看似不同的知識(shí)最終化歸為一致的知識(shí)體系.借助問(wèn)題的引領(lǐng)，促使學(xué)生通過(guò)自主活動(dòng)獲取理解概念所需的“事實(shí)”，從而形成對(duì)概念本質(zhì)的深刻體悟；有意識(shí)地延長(zhǎng)知識(shí)的獲得過(guò)程，給學(xué)生提供感悟知識(shí)精髓的時(shí)間和空間；培養(yǎng)學(xué)生渴求知識(shí)的感覺(jué)，使學(xué)生獲得“如何思考”的智慧［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.基于數(shù)學(xué)整體性的單元教學(xué)設(shè)計(jì)（之一）［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（Z1）：130.

［2］朱寧波，王志勇.論深度教學(xué)的理論邏輯——基于杜威經(jīng)驗(yàn)主義知識(shí)論視角［J］.當(dāng)代教育科學(xué)，2021（11）：23-30.

［3］章建躍.基于數(shù)學(xué)整體性的單元教學(xué)設(shè)計(jì)之教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（9）：66，64.