在例習題教學中提升學生思維品質

教材是教學之本，充分利用教材例題、習題資源，挖掘例題、習題潛在的教學價值，在這一過程中，學生的分析問題、提出問題和解決問題能力等思維品質得到提升，對提升教師理解和駕馭教材的能力也很有幫助，特別是年輕教師.

王定老師從教第5年，教過一輪高中，從高一剛進入高二.王老師從教材中一道例題入手，通過從不同角度引導學生觀察、分析、思考、研討、歸納總結，提出“三余弦定理”、求二面角的面積射影法及最小角定理.這對生源處于中等偏下的層次學生來說很不容易.

1 挖掘習題的潛在價值

要挖掘例題、習題的潛在教學價值，首先，教師自己對相關問題要有深入的研究，才能發現例題、習題的價值.一般說來，其價值主要體現在：一題多解，培養學生思維的發散度；原題引申（含變式），培養學生思維的深度和廣度.這是尊重知識的發生發展規律.

課堂教學中，王老師通過教材一道例題及追問，得到了“三余弦定理”、最小角定理及求二面角大小的面積射影法.從這個圖形中分離出來一個四面體，其四個側面都是直角三角形（我國古代稱為鱉臑）“渾身是寶”，值得挖掘！關鍵是指導學生怎么挖掘.

王老師讓學生觀察例題的基本圖形，并在此基礎上演算、推理，再綜合得到相互間的邊角關系，最終推出自己從未見過結論，學生很有成就感.不僅使學生的學習能力得到了檢驗，而且自信心也得到了極大的提升.這是尊重學生認知規律的必然結果.

如果教師對教材中例題、習題的各種解法（一題多解），教材中例題、習題的各種變式（一題多變），以及教材中相關例題、習題的統一解法（多題一解）都有深入研究，在此基礎上精選例題、習題，就會以少勝多，會有事半功倍之效.

2 深入認識這個模型

選擇教材中例7作為這節課的教學內容是因為這道題目可以引出較多有用的結論，同時這些結論的推導不復雜，全部結論在教師的指導下學生自己完成.

為了加深對這兩個結論的理解，結合圖形可以用文字語言來表述.

三余弦定理：過一點的三條射線構成三個平面，其中兩個平面互相垂直，三個平面構成三面角（銳角），互相垂直的兩個平面內的兩個角其余弦之積等于另一個面角的余弦.

二面角的面積射影定理：一個平面內面積為S的多邊形在另一個平面內的射影面積為S影，則這兩個平面所成二面角φ的余弦等于射影多邊形面積除以原多邊形面積，即cos φ=S影S.

這個四面體（鱉臑）中有一組對棱是互相垂直的，如圖1中OC和AB，BC則是它們的公垂線段，∠ACB是二面角A-OC-B的平面角，∠OBC是二面角O-AB-C的平面角.∠AOB和∠ACB分別是棱AO和AC與平面OBC所成的角.

這個基本圖形除了上述結論，還可以得到下面的三正弦關系：

sin∠AOB=sin∠AOC＼5sin∠ACB.

由于時間限制一節課不能講完，可以留給學生課后自己研究.這些結論當然不要求學生記憶，如果能記得則可在客觀題中使用.

3 課堂教學回顧與建議

利用三余弦定理證明最小角定理是不同于教材證法的另外一種證明方法，這是學以致用.但學生在回答過程中出現“cos α∈［－1，1］”有瑕疵，因為模型中的角是銳角，對鈍角情形要補充說明.其實，這里沒有必要考慮鈍角的情況.同樣，在例1中也出現了同樣的問題.

例1的變式是個好問題，承前啟后.例2也是一個好問題，很經典，多數情況下作為填空題通過畫圖即可得到答案，但在這里是為了強調三余弦定理的應用，最好通過計算解答，尤其是變式2，需要分類討論，而分類的依據在哪里，只通過圖形觀察而不通過推理計算就得到答案對解答題來說不嚴謹.這是一道高考題的推廣，從特殊到一般，三余弦定理是得力的推理論證工具.

原文例3借助于正方體一題多問，意在鞏固三余弦定理和面積射影定理，可惜最后沒有來得及講完.筆者認為這道題可再添兩問，修改為：

如圖2，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為棱AB，BC的中點.

（1）判斷△B1MN為三角形（銳角、直角、鈍角）；

（2）二面角M-B1N-B的余弦值為；

（3）平面B1MN與平面B1A1C1所成二面角的平面角大小為;

（4）直線B1B與平面B1MN所成角的大小為.

第（1）問直接利用三余弦定理得cos∠B1MN=cos∠B1MB＼5cos∠BMNgt;0，所以∠B1MN是銳角，同理可知其他兩個角也是銳角.

此問常規解法是利用余弦定理，但運算量大.需要指出的是三棱錐B-B1MN不是鱉臑.若取MN中點E，連EB和EB1，那么三棱錐B1-MEB是鱉臑，也就是說三棱錐B-B1MN中包含三棱錐M-B1EB，它是鱉臑，因此，滿足三余弦定理使用條件.三棱錐B-B1MN可以看成是鱉臑的一個變形體，以此考查學生的識圖能力.

第（2）問，△B1BN是△B1MN在平面B1BN上的射影三角形，設二面角M-B1N-B的平面角為θ，則cos θ=S△B1BNS△B1MN=112×2×32=23.其中△B1MN的底邊MN的高B1E=32.

作為填空題，這種解法比作二面角的平面角要簡單許多.

第（3）問，需要分銳二面角和鈍二面角兩種情況求解.其銳二面角的余弦為S△BMNS△B1MN=13，其銳二面角大小為arccos13，鈍二面角的大小為π－arccos13.

如果單獨解第（3）問，直接作二面角的平面角∠B1EB會更簡單，cos∠B1EB=BEB1E=13.

分子與分母同乘12MN就與面積射影定理吻合.復習了公式的推導過程.

第（4）問，要作線面角，可先證平面B1EB⊥平面B1MN，則交線B1E就是B1B在平面B1MN上的射影，即∠BB1E為直線B1B與平面B1MN所成的角，其正弦值為13.此問也可以利用三余弦公式cos∠BB1M=cos∠BB1E＼5cos∠MB1E，得

cos∠BB1E=223.

這道題涉及立體幾何中的線線角、線面角、二面角三種角，各小題解法有時利用本課講的知識來解簡單，有時利用常規方法簡單，這些常規方法也是推出本課結論的基本方法.這樣，學生就不會硬套這些“二級結論”了.日常教學不僅要關注二級結論，更要關注其形成過程，因為它是解決問題的常規方法.本例中，如果把填空題改為解答題，那么，作出截面BB1E就是關鍵的“題眼”.

如果把修改后的例3作為例1，刪去原文例1，例2不變，只不過講授要寫出推理過程，給學生作出示范，時間可能不夠，變式2可留作課后探究.

如果課堂教學語言能更精煉一些，尤其是上課開始那一段，還會省出一點時間用于例題教學.

課堂小結是提高一堂課品位的關鍵節點之一，除了知識、技能方面的陳述，還可以用學生喜聞樂見的形式，用簡潔的語言總結所學內容，比如：

一體四面都直角，

古人稱之為鱉臑.

二面射影三余弦，

實際應用價值高.

還有結論待挖掘，

課后繼續去探討.

4 作業是減負的重要抓手

目前，不少學校是買現成的資料，包括課堂教學用書和課后作業，老師上課照資料按部就班上課，學生做配套作業，批改后再評講、訂正，如此往復.由于題量大，師生被資料牽著走，教師無心也無暇去鉆研課本、研究教法，學生日復一日做不完的題、訂正不完的作業，沒有時間去思考一些“題外”的事，結果就是師生都陷入“題?！?，在較低的層次里循環往復.

本節課是從教材中“挖掘”出來的內容，自然沒有現成的配套作業，需要老師補充.王老師配置了恰當的相關習題，既能鞏固所學知識，又不至于負擔過程，值得點贊！