基于量感培養(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材簡析

“圓的面積”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊教材中第五單元第三節(jié)的內(nèi)容，主要講解了圓面積的推導(dǎo)方式以及計(jì)算公式。在前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)理解了何為圓，并掌握了長方形面積以及圓周長的計(jì)算方式，實(shí)現(xiàn)了從直線圖形向曲線圖形的思維轉(zhuǎn)變。在“圓的面積”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要明白圓作為一個典型的曲線圖形，其在計(jì)算面積過程中與直線圖形的差異。此外，本節(jié)課要求學(xué)生完成數(shù)學(xué)思維的歸納與轉(zhuǎn)化，能夠依據(jù)豐富的課堂活動來深度探究圓面積的計(jì)算原理，最終完成從直觀到邏輯、從具體到抽象的躍遷。

二、學(xué)情分析

六年級學(xué)生具有較高的概括能力以及觀察能力，能夠自主探究并吸收理解較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識。但他們依然具有活潑好動的天性，因此，數(shù)學(xué)教師需采用更多元、靈活的教學(xué)方式來講解抽象知識。在“圓的面積”的教學(xué)中，教師可利用參與性強(qiáng)、互動性高的教學(xué)活動（如小組合作）來提高學(xué)生的自主探究意識，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的溝通與反思能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.數(shù)據(jù)分析：在圖形轉(zhuǎn)化與面積計(jì)算的環(huán)節(jié)中觀察、記錄相關(guān)信息，能夠巧妙運(yùn)用上述信息自主推導(dǎo)并驗(yàn)證圓的面積公式。

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：能夠熟練使用圓的面積公式來解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，正確、高效地完成相關(guān)運(yùn)算。

3.直觀想象：基于想象能力完成長方形至圓形的轉(zhuǎn)化。

4.數(shù)學(xué)建模：實(shí)現(xiàn)從直線圖形向曲線圖形的思維轉(zhuǎn)變，掌握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方式。

5.邏輯推理：自主完成圓面積的推導(dǎo)任務(wù)，能夠理解長方形至圓形的圖形轉(zhuǎn)化過程，能夠運(yùn)用所學(xué)知識來驗(yàn)證圓面積的計(jì)算公式。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

1.熟練運(yùn)用圓的面積公式來解決生活問題，能夠基于不同的現(xiàn)實(shí)情境來正確運(yùn)用圓的面積公式。

2.獨(dú)立完成圓面積公式的推導(dǎo)任務(wù)，能夠理解圓的面積公式中不同變量的含義。

教學(xué)難點(diǎn)：將已知圖形（如正方形、長方形）轉(zhuǎn)化為圓形，從而逐步推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式，不斷完善數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生的量感

師：（使用多媒體設(shè)備為學(xué)生播放關(guān)于體育器材室的短視頻）同學(xué)們，我們在體育活動中會用到很多運(yùn)動器材。今天跟隨老師的腳步一起探索體育器材室中的奧秘，看有哪些大家學(xué)過的圖形。（鼓勵學(xué)生找出之前學(xué)過的梯形、三角形以及平行四邊形等圖形。）

生：足球和毯子的底部都是圓形，瑜伽墊是長方形，畫框是正方形……

師：看來大家都擁有敏銳的觀察力。我校體育器材室中放置了大量平行四邊形、三角形形狀的物品，同學(xué)們是否能說出上述圖形的面積計(jì)算公式和周長計(jì)算公式？哪位同學(xué)還能夠想起上述圖形的面積推導(dǎo)方式？

（組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，隨后使用PPT向?qū)W生重現(xiàn)上述圖形的面積推導(dǎo)過程。）

小結(jié)：在導(dǎo)入新課時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生在多媒體設(shè)備的輔助下鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)思想，即轉(zhuǎn)化思想。通過移動、拼接、剪切的方式將三角形以及平行四邊形轉(zhuǎn)變?yōu)楦鼮楹唵蔚恼叫魏烷L方形，進(jìn)一步提高學(xué)生的圖形轉(zhuǎn)化能力。

師：某小學(xué)將舉辦籃球比賽。為了照顧到不同年級學(xué)生的感受，體育教師想要為學(xué)生購置一批大小不同的籃球。大家能否為體育教師提供采購建議呢？

（創(chuàng)設(shè)籃球比賽情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)體育教師的購買難題，進(jìn)而思考不同大小籃球的直徑有多大，面積又有多大。）

師：大家可以仔細(xì)觀察自己課桌上不同的圓形物品，并摸一摸。嘗試?yán)霉ぞ邷y量不同大小圓形物品的半徑、直徑，并利用我們之前學(xué)過的知識來探究圓面積的計(jì)算方式。

板書：圓的面積

小結(jié)：信息技術(shù)手段能夠?yàn)閷W(xué)生直觀展示梯形、平行四邊形等面積的推導(dǎo)過程，在復(fù)習(xí)與鞏固中組織學(xué)生再一次感受轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵，繼而為后續(xù)圓面積公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)，促使學(xué)生完成知識的遷移。此外，學(xué)生能夠在用眼觀察、用手觸摸、用工具測量中實(shí)現(xiàn)多感官的配合，進(jìn)而培養(yǎng)良好的量感。

（二）探索實(shí)踐，多維度分析圓的面積

師：觀察圖1能夠發(fā)現(xiàn)，ABCDEF為圓內(nèi)接正六邊形，若同學(xué)們分別取弧FA、EF、DE、CD、BC、AB的中點(diǎn)，并將其依然標(biāo)注成F1、E1、D1、C1、B1以及A1。通過將中點(diǎn)進(jìn)行連接后我們就能夠得到一個圓內(nèi)接正十二邊形。

師：請大家認(rèn)真觀察這兩個圓內(nèi)接多邊形，并思考二者存在怎樣的大小關(guān)系。

生：正十二邊形的面積一定大于正六邊形的面積。

師：回答正確。下面請大家繼續(xù)動腦筋思考。若我們一直重復(fù)上述步驟，不斷找出弧線的中點(diǎn)，那么就能夠畫出正二十四邊形、正四十八邊形……如此，圓內(nèi)接多邊形的面積就會變得越來越大。若我們將這些正多邊形的面積與圓的面積進(jìn)行對比，誰的面積更大呢？

生：雖然圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)逐漸增多，其面積的數(shù)值也應(yīng)當(dāng)逐漸增大。但是這些內(nèi)接多邊形的面積再大也不會大于圓的面積。

師：是的。我國魏晉時(shí)期有一名偉大的數(shù)學(xué)家劉徽，他就是使用了剛剛同學(xué)們探究的方式來推導(dǎo)圓的面積的。劉徽將這一方式稱之為割圓術(shù)，即通過不斷增加圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)來分析圓面積的計(jì)算公式。圖2至圖4為大家演示了割圓術(shù)的具體步驟。

師：同學(xué)們一定在閱讀課外資料時(shí)了解過《海島算經(jīng)》以及《九章算術(shù)注》，這兩本書均為劉徽所著。割圓術(shù)、重差術(shù)、牟合方蓋也是由劉徽提出的。如今我們依然可以借鑒他的很多計(jì)算方法以及數(shù)學(xué)理論。

師：大家已經(jīng)了解了割圓術(shù)的具體操作方式，現(xiàn)在同學(xué)們能否效仿劉徽，摸索出另外一套逼近方法呢？大家討論，稍后各小組成員展示。

筆者班級中的學(xué)生主要展示了兩種圖形逼近的方式（見圖5、圖6）。

【方法一】利用三角形進(jìn)行逼近

【方法二】利用正方形網(wǎng)格進(jìn)行逼近

師：我們給這幾個小組的同學(xué)以掌聲。雖然這幾個小組同學(xué)采用的圖形逼近方式不同，但均是逐步向圓靠近的。若我們一直這樣操作下去，是否能夠計(jì)算出圓的面積數(shù)值呢？

生：是的。只要不斷地進(jìn)行逼近，我們就能夠準(zhǔn)確算出圓的面積。

小結(jié)：本環(huán)節(jié)利用多媒體設(shè)備向?qū)W生直觀演示割圓術(shù)的過程，讓學(xué)生跨越歷史的長河與劉徽產(chǎn)生共鳴。通過不斷增加圓內(nèi)接多邊形的面積，讓學(xué)生明白其能夠無限接近于圓形，繼而通過計(jì)算多邊形的面積來得出圓面積的數(shù)值。該方式向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)中的極限思想。在講解結(jié)束后，我們鼓勵學(xué)生自主進(jìn)行分割操作，引導(dǎo)學(xué)生站在巨人的肩膀上進(jìn)行創(chuàng)新思考。

（三）利用所學(xué)知識完成圓面積的推導(dǎo)

本環(huán)節(jié)依然以小組為單位，組織學(xué)生沿半徑對圓進(jìn)行切割，并將切割后的圖形重新拼接為長方形。教師可在PPT中為學(xué)生展示問題（見圖7），要求學(xué)生在實(shí)踐操作中推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式。

師：大多數(shù)同學(xué)在操作中是將圓切割為一個個近似的三角形，并將這些三角形重新拼接為大家熟悉的圖形。

生：如果我們能夠?qū)A細(xì)分成足夠多的近似三角形，那么最終拼接形成的圖形就更像一個長方形。

師：回答正確。因此，我們能夠通過剪切和拼接的方式將圓形轉(zhuǎn)變成長方形。

小組討論結(jié)束后派代表匯報(bào)結(jié)果，最終由教師展示圓面積的推導(dǎo)過程，具體見圖8所示。

師：通過觀察圖8我們能夠發(fā)現(xiàn)，只要掌握了圓半徑的數(shù)值，就能夠算出它的面積。

小結(jié)：本環(huán)節(jié)主要通過小組合作來完成剪切、拼接的實(shí)踐活動，再通過多媒體演示來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓與長方形間的關(guān)系，繼而通過計(jì)算長方形的面積來推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式。

（四）利用圓面積的計(jì)算公式來實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

師：在上一環(huán)節(jié)的探究中，同學(xué)們已經(jīng)掌握了圓面積的計(jì)算公式，即將圓形轉(zhuǎn)變?yōu)殚L方形進(jìn)行推導(dǎo)與運(yùn)算。請大家思考，能否將圓轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌煜さ膱D形？

【方法一】將圓形轉(zhuǎn)變成平行四邊形后計(jì)算面積

師：請大家發(fā)動腦筋想想，如何將圓形剪切、拼接為一個平行四邊形？

生：同樣需要將圓剪切為盡可能多的近似三角形，隨后通過圖9的方式進(jìn)行拼接轉(zhuǎn)化。

【方法二】將圓形轉(zhuǎn)變成三角形后計(jì)算面積

師：那我們現(xiàn)在如何將圓形拼接成一個三角形呢？

生：保證圓的直徑不變，可以將圓形想象為由無數(shù)圓環(huán)構(gòu)成的圖案，將每一環(huán)展開后進(jìn)行拼接，就能夠得到一個無限接近于三角形的圖案（見圖10）。

師：下面請同學(xué)們分析圓的半徑與轉(zhuǎn)化后圖形間存在怎樣的聯(lián)系，并自主推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式。

生：若依據(jù)方法一的邏輯，由于平行四邊形面積為高乘以底，因此平行四邊形的底應(yīng)當(dāng)為圓周長的一半，即πr。而平行四邊形的高則應(yīng)當(dāng)?shù)扔趫A的半徑，即r。最終根據(jù)平行四邊形的面積公式能夠推導(dǎo)出圓的面積公式，應(yīng)當(dāng)為πr2。

生：若依據(jù)方法二的邏輯，三角形的面積為高乘以底的一半。因此，這里底應(yīng)當(dāng)為圓的周長，即2πr。而高應(yīng)當(dāng)?shù)扔趫A的半徑，即r。最終根據(jù)三角形的面積公式能夠推導(dǎo)出圓的面積公式，應(yīng)當(dāng)為πr2。

小結(jié)：本環(huán)節(jié)活動引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同的角度推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式，進(jìn)一步加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解。

師：同學(xué)們，請大家觀察課件中的游泳池、井蓋以及硬幣圖片，結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)來猜測三個圓形的半徑有多長，并利用這一信息來估算三者的面積大小。

生：我認(rèn)為圓形泳池、井蓋以及硬幣的半徑約為10 m、50 cm以及1 cm。依據(jù)圓的面積公式能夠推算出三者的面積應(yīng)當(dāng)分別為314 m2、7850 cm2以及3.14 cm2。

小結(jié)：隨堂訓(xùn)練環(huán)節(jié)旨在強(qiáng)化學(xué)生對本節(jié)知識的理解，要求學(xué)生在掌握圓面積的計(jì)算方式后，進(jìn)一步思考圓環(huán)的面積推導(dǎo)方式，為后續(xù)圓環(huán)面積以及扇形面積的講解打基礎(chǔ)。該環(huán)節(jié)要求學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，在使用工具的情況下估算不同圓的半徑數(shù)值，有效鍛煉學(xué)生的量感。

（五）課堂總結(jié)

1.在本節(jié)課學(xué)習(xí)中你掌握了哪些數(shù)學(xué)思想？理解了哪些數(shù)學(xué)知識？

2.你能否找出不同的分割方式？你能否將最終分割后的圖形轉(zhuǎn)化為其他已知圖形？

3.本節(jié)課中你還有哪些疑惑？

小結(jié)：課堂總結(jié)能夠幫助學(xué)生將本節(jié)新學(xué)的內(nèi)容納入原本的認(rèn)知體系中，充分鍛煉學(xué)生的總結(jié)與歸納能力。

（六）作業(yè)布置

【鞏固型作業(yè)】（要求學(xué)生獨(dú)立完成）

1.判斷題。

（1）若將圓的半徑數(shù)值擴(kuò)大至原本的三倍，那么其面積也應(yīng)會擴(kuò)大至原本的三倍。（ "）

（2）已知圓的半徑數(shù)值是2 cm，那么其面積應(yīng)當(dāng)與周長數(shù)值相等。（ "）

2.給出如下已知條件，請計(jì)算出圓的面積。

（1）l=20π cm " "（2）d=0.8 cm " "（3）r=6 cm

3.校園內(nèi)某一圓形花壇的周長為50.24 m，請問這一片花壇的占地面積為多少？

4.（1）有兩個圓形圖案，已知甲的半徑長度與乙的直徑長度相等，且已知兩個圓的面積總和為100 cm2，請計(jì)算甲的面積。

（2）有兩個圓形圖案，已知甲的周長數(shù)值為乙周長的二倍，且兩個圓的面積之差為209 cm2，請計(jì)算乙的面積。

【跨課時(shí)作業(yè)】

嘗試從不同的角度探究圓的分割方式，繼續(xù)推導(dǎo)圓面積的計(jì)算方案。

【跨學(xué)科作業(yè)】

生活中大多數(shù)樹干的橫截面均為圓形。王同學(xué)與李同學(xué)在學(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后，想要計(jì)算校園內(nèi)某一樹干的橫截面積，請問他們二人需要使用哪些工具，測量哪些數(shù)據(jù)呢？

小結(jié)：不同類型的課后作業(yè)能夠開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)眼界，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，并將不同學(xué)科的知識結(jié)合起來，進(jìn)而滿足個性化教育的需求。

（七）教學(xué)評價(jià)

教師能夠基于學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋來進(jìn)一步反思自身的教學(xué)方案，這不僅能夠全面了解班級學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，還能夠作為優(yōu)化教學(xué)模式的依據(jù)。“圓的面積”課堂中，教師可從三個維度進(jìn)行評價(jià)。

1.診斷型評價(jià)：主要用于課前環(huán)節(jié)，依據(jù)班級學(xué)情來合理安排教學(xué)內(nèi)容。

2.形成型評價(jià)：主要用于課上環(huán)節(jié)，依據(jù)師生互動、小組交流來發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)問題，通過及時(shí)調(diào)整課堂活動以及教學(xué)措施來完善探究。

3.總結(jié)型評價(jià)：主要用于課后環(huán)節(jié)，通過生生互評以及教師點(diǎn)評來及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充，將評價(jià)結(jié)果認(rèn)真反饋給學(xué)生，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（作者單位：福建省福州市閩侯縣甘蔗瀛洲小學(xué)）

編輯：常超波