探索小數本質:通過數數體驗其深刻含義

[摘" 要] 通過數數活動，學生可以在數形結合的基礎上，利用各種教學輔助工具進行“數小數”的操作，直觀感知小數與分數關系，深刻理解小數與整數之間的內在聯系。

[關鍵詞] 基本認知活動;數形結合;小數的本質

在小學數學中，有理數范疇內的小數可視為十進制分數的無分母表示形式，遵循十進制位值原則。在整數十進制的學習中，學生通過數小棒的活動能夠直觀地理解十進制的原理。然而小數的形成過程涉及從整數到一位小數、進而擴展到多位小數，這一過程相對抽象，對學生構成了一定的認知挑戰。

在數小數的過程中，教師引導學生感知小數實際上是計數單位個數的累加過程，這與整數計數的本質相似，并且與度量意識相一致。通過這種方式，學生能夠在具體操作中建立小數與整數之間的橋梁，加深對數的本質的理解，為進一步掌握復雜的數學概念奠定堅實的基礎。

一、針對學生實際水平，應用圖示法教授一位小數的認識

師：我們已經掌握了整數的計數方法，比如我們可以一個接一個地數，或者是每十個一組地數。那么，你們知道小數怎么數嗎？

1. 嘗試數出小數0.3

師：同學們，你們還記得是怎樣學習小數的嗎？現在，我想請你們用畫圖來表示0.3。

（學生動手畫圖，并討論）

老師：如圖1，誰能告訴我，哪幅圖可以幫助我們數出0.3，為什么呢？

生1：我覺得③和⑥都不行，因為它們沒有被平均分成10份。我們要先把一個整體平均分成10份，然后數出其中的3份來表示0.3。

師：非常好，你們能舉個例子來說明一下嗎？

生2：當然可以。就像我們把1元分成10個相等的部分，每個部分就是1角，那么3個這樣的部分就是3角，也就是0.3元。

師：說得真好！那么除了③和⑥之外，其他的圖你們是怎么數出0.3的呢？

生3：我們可以把1平均分成10份，每份就是0.1，那么2份就是0.2，3份自然就是0.3。所以，0.3就是數3個0.1，比如圖1中④和⑤，只要數其中的3條或者3格就可以;使用尺子，數3格也可以。

師：看來你們都明白了，只要我們把一個整體平均分成10份，每份就是0.1;然后數出3份，就可以得到0.3。你們真是太棒了！

2. 嘗試數出其他一位小數

師（微笑）：你們還能數出哪些小數？

生4（興奮）：④號圖的空白區域代表了0.7。因為我們把它分成10份，每份就是0.1，7份就是7個0.1，加起來正好是0.7。

師：非常好。再往下數，你們能數出哪些新的小數呢？

生5：0.8和0.9。8個0.1加起來是0.8，9個0.1則是0.9。

師：那如果我們再加上一個0.1呢？

生6：那就變成了1，就像一個完整的正方形。

生7：而且，如果我們在1后面加上一個0.0，那就是1.0，也就是10個0.1。

師：通過這樣的方式，我們可以數出無限多的小數，每一個都有其獨特的意義和用途。

3. 回顧一位小數數法

如圖2，教師指著數軸上的0和1之間，微笑著問：“同學們，這里的空間廣闊無垠，我們選一個點放在0和1中間（指向圖2），大家覺得這個神秘的點可以用什么數字來描述呢？”

生8：老師，這個點肯定是個小數，因為它既不像0那樣小，也不像1那樣大，0和1之間已經沒有其他的整數了。

師：那你們能想象一下，如果我們把0和1之間的線段分成更多的小段，會發生什么呢？

生9：如果我們把線段平均分成5份，如圖3，每份就是0.2。

師：非常好，你們已經找到了數軸上的秘密——通過分割和組合，我們可以找到無數個小數。現在，請你們和旁邊的小伙伴分享一下，你們還能數出哪些其他的小數呢？

教學思考：在數學教學中，教師提出“整數可以逐一計數，十個十個地計數，那么小數能否進行計數”的問題，激發了學生對小數概念的探究興趣。學生利用已有的小數知識，通過連續數數的實踐活動，逐漸理解并體驗到小數的計數單位“0.1”，并通過連續累加0.1可以實現類似整數計數的過程。此外，學生觀察到，當繼續數下去，0.9后面緊接著的數是1.0，從而建立了小數與整數之間的內在聯系。

為了深化學生對小數的理解，教師引入了數軸這一數學工具，引導學生探討在單位“1”下如何進行五等分計數。學生圍繞這個問題展開討論，并在數軸上操作，從而認識五等分和十等分在計數過程中的共性。通過這樣的教學設計，學生能打破原有的思維局限，即只有十等分才能找到小數，提高對小數計數方法的認識。

二、構建計量單位，鏈接兩位小數，拓展至多位小數

師：任意小數均能以0.1為計數單位計數嗎？

1. 構建計量單位

如圖4，教師拿出一個被信封遮住了一部分的正方形圖案，神秘地說：“想象一下，這個正方形代表著1元錢。如果我們把它平均分成10份，每1份就是1角錢，或者說是0.1元。如果這個正方形的一部分已經被涂上顏色了，這部分恰好是7份，那么涂色部分代表了多少錢呢？”

生1：涂色部分是7列，7個0.1元，所以就是0.7元！

教師慢慢拿掉了信封，露出完整的正方形圖案（如圖5）。學生驚訝地發現，涂色部分并不是他們想象中的0.7元。

“看來0.1元的計數方法在這里行不通了！”教師引導學生深入思考：“此時，我們能不能找到一種新的方法來‘數’出這個涂色部分的具體數值呢？”

此時，教師從信封中拿出了一些額外的材料（如圖6）說：“這些材料或許能幫助我們解決問題。大家快來看看吧！”

生2：老師，我有新發現！如果我們把正方形分成100個小格子，每個小格子就代表0.01元。如圖7，涂色的部分正好是64個小格子，所以涂色部分就是64乘以0.01，等于0.64元。

生3：老師，我還有另外一種方法。我們知道已經有了6個0.1元，但是涂色部分還沒滿1個0.1元。所以，我們可以把剩下的0.1元再細分成10份，每份就是0.01元。您看，涂色部分還有4個這樣的小份，所以是4乘以0.01，等于0.04元。加上之前的6個0.1元，總共就是0.64元。

師：非常好，你的方法也很巧妙。這里的每個小格子代表的是0.01元。

2. 對照辨析

教師展示圖8，并提問：“同學們，你們覺得這兩種方法有什么相似之處和不同之處呢？”

生4：左邊的方法是把整個正方形分成了100個小方塊，每個小方塊就像是1元錢的1/100，也就是0.01元。而右邊的方法是先把1元分成10份，每份是0.1元，然后把0.1元分成10份，每份是0.01元。其實，兩種方法最后都是把1元分成了100份，只不過起點不同。

師：非常好，你們真的很會觀察！那么，這兩種方法在數數的過程中有什么不同呢？

生5：左邊的方法是直接數數，就像我們數整數一樣，數有多少個0.01就直接寫成零點幾幾;右邊的方法是先數0.1的個數，再數0.01的個數。

師：沒錯，小數的數法和整數的數法其實是一樣的，只是我們用的單位更小了。如圖9，如果我們把這個小數放到數軸上，你們能找到它的位置嗎？

3. 遷移類推

師：我們已經探索了一位和兩位小數的奧秘，你們猜猜看，三位小數代表什么呢？

生6：老師，三位小數表示的是千分之幾！

師：對的。在什么樣的情況下，我們會遇到三位小數呢？

生7：如果我們把1平均分成1000份，那么每1份就是0.001。

生8：同樣，我們也可以先把0.01平均分成10份，這樣也能得到0.001。

師：非常好，誰能舉幾個三位小數的例子呢？

生9：0.666。

師：0.666這個數能數出來嗎？

生10：當然能，只要數666個0.001就可以了。

生11：我們還可以先數6個0.1，再數6個0.01，最后數6個0.001，就能數出0.666了。

師：除了0.666，你們還能數出其他的三位小數嗎？

教學思考：經過一系列的探索活動，學生逐漸認識到使用0.1作為基本計數單位存在局限性，無法涵蓋所有小數的計數需求。為了解決這一問題，學生自主提出并創造了新的計數單位——0.01。在對不同分法進行比較和分析的過程中，學生不僅能加深對0.01這一新計數單位的理解，而且能發現不同計數單位之間的內在聯系。學生利用0.01這一新的計數單位進行計數練習，在不斷的實踐中通過遷移類推的思維方式，自然地聯想到其他可能的計數單位，如0.001、0.0001等。這一發現不僅擴展了學生的認知范圍，也為他們提供了更加靈活和多樣化的計數工具。

三、利用幾何圖形深化對數的理解，探索數域的擴展

1. 從平面展示小數形成

如圖10，教師問：“同學們，我們是怎么一步步找到這些奇妙的計數單位的呢？”學生瞪大了眼睛，充滿好奇。

生1：老師，我們是把已經找到的那個計數單位，再像切蛋糕一樣切成10個小塊，就能得到一個更小的計數單位。

師：你們有沒有注意到，每相鄰的兩個計數單位之間，有一個共同的秘密呢？

生2：老師，我發現了，每相鄰的兩個計數單位之間，它們的進率都是10。就好像我們從1數到10，再從10數到100，每次都是增加了10倍。

2. 從立體展示小數形成

如圖11，教師手里拿著一個虛擬的正方體模型，對學生說：“大家想象一下，如果我們用這個正方體來代表數字1，那么0.1、0.01和0.001分別會是什么樣？”

生3：老師，我知道。我們可以把這個正方體切成10份，每1份就是1/10，也就是0.1。

師：很好，那0.01和0.001又該怎么切呢？

生4：如果我們再把0.1這1層切成10份，每1條就會是1/100，也就是0.01。最后，如果我們把0.01這1條切成10份，每1小塊就是1/100，也就是0.001。

師：太棒了，你們就像小小的數學家一樣，用分割的方法把一個正方體變為了更小的部分，每一部分都對應一個更小的數字。這就是我們用圖形來直觀表示小數的方法。

教學思考：考慮到圖形工具在教學中的作用，本研究旨在通過圖形化手段梳理整數與小數的計數單位，以實現兩個主要目標：首先，建立整數與小數之間的內在聯系，從而加深學生對十進制系統的認識;其次，通過直觀的方式讓學生理解數的本質是計數單位的累加，并在此過程中引入極限概念。通過這種方法，學生不僅能夠清晰認識數系的連續性，還能夠在實踐中體驗數學思維的深度與廣度。

綜上所述，教師引導學生通過數小數實踐，讓學生掌握整數到小數的擴展技巧，理解小數與整數、十進制分數的聯系，以及小數的形成過程。整個教學過程不僅提升了學生的數學技能，而且促進了學生對數的本質的探討。

作者簡介：楊婭（1990—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學與研究工作。