關注過程反思 發展探究能力

[摘" 要] 研究者以“圓的周長”教學為例，從“情境創設，提出問題”“推理探索，確定范圍”“實踐操作，體驗過程”“古今碰撞，滲透史料”等環節進行教學，并提出相應的過程性反思，與同行交流。

[關鍵詞] 反思;過程;探究能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》倡導數學教學不僅要關注數學定理、證明方法的發現與探索過程，還要注重各個教學環節的反思過程。當前數學課堂“過程短暫”的問題較為普遍，部分教師只關注教學任務的完成情況，少了過程性評價與反思環節。實踐證明，加強課堂的過程性反思，不僅能提高學生的數學探究能力，還能有效促進教學相長。

圓的周長是小學高年級階段重要教學內容之一，是中學數學教學的基礎。筆者以“圓的周長”為例開展教學，并實施過程性反思，在發展學生的探究能力上具有重要意義。

一、情境創設，提出問題

教師用課件展示一組車輪圖情境：（見圖1）周末，小明一家準備到人民公園去踏青，他們一家三口各騎一輛自行車，自行車車輪大小各不一樣。用數學眼光來觀察這三個車輪，你們有什么發現？

生1：不同大小的車輪都是圓的。

生2：每一個車輪均圍繞著“軸”轉動前進。

生3：因為車輪大小不一樣，所以它們的直徑也各不相同，滾動一周的長度也不一樣。

師：大家的觀察很仔細，每一個發現都有道理，那么不同大小的車輪滾動一周的長度究竟是多少呢？現在我們一起來看動畫演示。（多媒體演示）

師：從演示過程來看，不同大小的車輪滾動一周的長度或長或短，這個長度可用哪個數學術語表示？

生4：滾動一周的長度為車輪的周長。

教師肯定了這種說法，并借助多媒體進行動態演示，讓學生直觀感知圍成車輪一周的曲線就是周長，即車輪在地上轉動一周，所形成的路線為該輪子的周長。

師：通過觀察，你們覺得究竟什么是一個圓的周長？它的長度與什么條件相關？

生5：圓的周長就是圍成這個圓一周的曲線長度，與之相關的條件是直徑，直徑的長短決定圓周長的長短。

師：既然我們已經發現了圓的直徑對圓的周長有直接影響，那么它們之間究竟具有怎樣的關系呢？接下來我們就一起來探索這個問題。

教學反思：很多數學概念是從生活經驗中抽象而來，踏青情境巧妙地將教學內容融入生活場景中，可有效調動學生的探索興趣。當然，從心理的角度來說，學生更容易悅納。認知上的理解與心理上的傾向，為接下來的探究活動奠定了堅實的基礎。

對于學生而言，圓的周長是一個新鮮的未知內容，騎車是學生非常熟悉的生活經歷，學生對車輪的熟悉度很高。因此，為了避開冗長、枯燥的講解，教師直接將生活實際問題應用到揭示教學主題中來，不僅能凸顯周長的本質為曲線圖，還能遷移學生的舊知，為構建新知奠定基礎。三個不同尺寸的車輪必然存在不同的直徑，學生自主發現直徑決定周長的規律，自主形成猜想。

二、推理探索，確定范圍

師：以前我們研究過正方形，如圖2所示，在正方形的內部畫一個最大的圓，那么圓的直徑與這個正方形的周長之間是否存在關系呢？

當學生探索這個問題后，教師用多媒體展示圖3，在圓內添加一個最大的正六邊形，要求學生自主分析圓的直徑與這個正六邊形的周長之間是否存在關系。

為了幫助學生厘清思路，教師繼續演示：復制一個相同大小的圓，借助六條半徑將該圓平均分成6份，明確相鄰半徑間的夾角為60°，順次連接圓上半徑的六個點，形成圖4。將圖2、圖3、圖4擺放到一起進行比較分析，鼓勵學生大膽猜想：一個圓的周長約為直徑長的幾倍？

學生以合作學習的方式進行探索，分析圓的直徑與正方形的周長之間存在的關系。

生6：我們組經過討論分析，認為正方形的周長恰好為其內部最大圓的直徑的4倍。

師：這個結論是怎么得來的呢？

生6：圓的直徑和正方形的邊長相等，由此確定它們之間為4倍的關系。

師：很好！那么圓內最大正六邊形的周長和圓的直徑存在怎樣的關系呢？

生7：它們之間為3倍的關系，將正六邊形的頂點與圓心連接形成正三角形，可知正六邊形的邊長和圓的半徑相等，因此正六邊形的周長等于三條直徑的長。

師：現在我們將圓的周長分別和正六邊形、正方形的周長一起比較，看看有沒有什么新的發現？（多媒體展示）

生8：基于圖4可見，正方形的周長必然比圓的周長大，正六邊形的周長必然比圓的周長小。

師：回答得很完整，據此進行大膽猜想，誰來說說圓的直徑與圓的周長之間存在怎樣的關系呢？

生9：從以上探索過程來看，圓的周長比其本身直徑的3倍大一些，又比其本身直徑的4倍小一些，應該在3到4倍之間。

師：大家認同這個猜想嗎？該如何驗證該猜想是否正確呢？現在我們接著探索。

教學反思：波利亞認為，如果學習過程具有發明的苗頭，就要想辦法讓猜想與推理占據重要地位[1]。反觀以上教學過程，教師沒有將結論直接“告知”學生，而是借助多媒體演示與合作交流，鼓勵學生自主經歷觀察與猜想的過程，從而發現知識間的聯系，揭示周長與直徑之間關系的奧秘。

在此過程中，學生不僅充分體驗了知識間的關聯性特征，還進一步訓練了數學思維，提升了數學推理能力。由此可見，教師引導學生關注猜想、嚴謹論證，不僅能讓學生提煉知識本質，還能讓學生搭建完整的知識架構，提升學生的學習品質，發展創新意識，這些都是培育學生數學核心素養的基礎。

三、實踐操作，體驗過程

師：若想明確一個圓的直徑與周長之間的倍數關系，該從什么角度進行探索呢？

生10：或許可以從一些生活中的圓形物品著手，比如分別測得圓本身的直徑與周長，直接用除法計算明確它們之間的倍數關系。

師：想要測量一個圓的直徑比較容易，但是一個圓的周長該怎么測量呢？

生11：可以借助繩子來測，即用繩子繞圓形物品一周，再展開繩子測量其長度即可。

師：這個想法不錯，如圖5所示，現在我們一起來看多媒體演示，將繩子繞圓一周后在刻度尺上的顯示數據。

教師引導學生思考：想讓測量數據更準確，有什么值得注意的？學生表示除了要將繩子緊貼圓形物品外，還需要在繞完一周的位置做好標記，以便于測量。教師贊揚了學生的細致，并提出：如果是一塊圓形金屬片，該怎么測量它的周長？

生12：可以在圓形金屬片的某個位置做上記號，再將該圓緊貼直尺讓標記點與直尺上的零點位置對準，然后讓圓水平滾動一周，讀數即可。

教師對這種方法表示肯定，并再次借助多媒體展示具體的測量過程（見圖6所示）。

師：非常好！表述得很規范，從以上兩種測量方法來看，它們之間存在什么共同點？

生13：這兩種方法都是將曲線轉化成直線進行測量。

師：不錯，這就是“化曲為直”的思想，是本節課的重點。

教學反思：測算圓的直徑與周長之間的倍數關系為本節課的重中之重，學生想要借助純手工操作獲得精準數據確實比較困難。教師為了讓學生親歷過程，借助多媒體與實踐操作引導學生，讓學生充分感知周長與直徑的數量關系，并提取注意點：①繞線時需要緊貼圓形物品;②滾動時需要關注起點與直尺零刻度線的對齊情況等。

學生一旦掌握了注意事項，就能準確地進行測量，這對探索圓的直徑與周長之間關系的精確性具有重要影響。學生通過演示與實操能進一步感知猜想的正確性，同時不同探索方法的探索蘊含著相同的思想方法，此過程有效揭示了“化曲為直”的思想。

師：圓的直徑與周長之間究竟存在怎樣的數量關系呢？請大家以小組為單位，取出課前提前準備好的直徑分別為5、4、3厘米的圓形卡紙，按要求開展探索：①用自己喜歡的方式測量手中圓形卡紙的直徑與周長，并計算兩者的商，將結論填寫在探究單中（保留兩位小數）;②組內成員分工合作，明確職責;③觀察數據，歸納結論。

學生合作測量、記錄、計算，獲得表1。

雖然學生測量的是同一個圓，但獲得的結論有差異，由此判定測量存在誤差，即用不同方法測量圓的周長存在誤差。用所測得的周長除以直徑獲得的結論在3.10～3.25之間，由此能初步確定它們之間的倍數關系是3倍多一點。

師：如果將三個圓測量的結論放在一起類比分析，有什么新的發現嗎？

學生交流后形成結論：不論多大的圓，其周長與直徑的比恒為三點多，即它們之間的關系恒為3倍多;在誤差極小的情況下，這個值可能是相同的。但要消除誤差，確實存在很大難度。

教學反思：探究是發現的基礎。此環節實踐活動主要是基于學生的猜想開展，該操作過程不僅是教學的客觀需求，還是滿足學生心理發展的需要。結論的獲得既驗證了猜想，又進一步夯實了學生對圓周率的認識。但受測法、工具與技能等因素的影響，誤差不可避免。

當面臨存在的誤差時，教師并沒有回避這個問題，而是引導學生分析表1的數據，使學生感知圓周長與直徑比就是一個近似值。在此基礎上，類比其他圓的探索，學生可順利接受誤差的存在。由此讓學生從感性思維上升到理性思考，即在零誤差的情況下，圓的周長與半徑之間的商值一樣，為一個常數。

四、古今碰撞，滲透史料

教師向學生介紹古代的數學家對“圓的周長”問題進行過大量研究，比如一千七百多年前的劉徽發現：當圓內接正多邊形的邊數不斷增加后，多邊形的周長越來越逼近圓周長，多邊形的面積也越來越逼近圓面積。于是劉徽從正六邊形開始，逐步增加正多邊形的邊數，使正多邊形越來越接近圓。一直到正三零七二多邊形時，算出圓的周長約為直徑的3.1416倍。

師：劉徽所獲得的3.1416這個數據是精確的倍數數值嗎？

生（齊聲答）：不是。

師：后來，我國南北朝時期的祖沖之在此基礎上獲得倍數值處于3.1415926與3.1415927之間，該成果比世界上其他數學家早了一千多年。這帶給你們什么感受？

生14：咱們國家的數學家真厲害。

生15：我為自己生在中國而自豪。

生16：以后我也要像數學家一樣，用鍥而不舍的精神探索數學。

師：是啊！我們身處一個偉大的祖國，應將這種持之以恒的科學精神傳承下去。隨著信息技術的發展，當前圓周長與直徑的比值越來越精確，大家請看課件，此為當今精確到200位的情況。這是一個無限不循環小數，它有一個好聽的名字叫“圓周率”，用字母π來表示。

教學反思：此環節為教學重點與難點，教師不僅為學生創造深刻理解“3倍多一些”的具體數值，還借助史料滲透數學文化，培養學生的探究精神、愛國情懷與學科素養。

總之，任何一個知識的形成與發展都經歷了漫長的過程，教師引導學生“再創造”知識，不僅能深化學生對教學內容的理解，還能拔高學生的思維，發展學生的探究能力，讓深度學習真實發生。

參考文獻：

[1] G.波利亞. 怎樣解題——數學思維的新方法[M]. 涂私，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者簡介：謝雪峰（1983—），本科學歷，小學一級教師，從事小學數學教學與研究工作。