探究演繹邏輯之旅

[摘" 要] 研究者通過“數字藏身何處”的教學，旨在培養學生的邏輯推理能力，讓學生逐步掌握單條件演繹推理、關聯推理以及復合推理等。

[關鍵詞] 推理意識;跨學科學習;九宮格活動

推理意識是學生在生活中對邏輯推理過程的初步感悟。在小學低年級階段，學生已具備理解基本演繹推理流程的能力，并能夠運用推理技巧進行思考和使用數學語言進行表達?，F行教材在“數學廣角”單元中只提供了一節關于演繹推理的基礎課程，后續內容的拓展并不充分。鑒于此，為了提升學生演繹推理意識，筆者以九宮格數字填充游戲為核心活動設計了一節拓展課程——“數字藏身何處”，通過富有吸引力的游戲形式引導學生參與演繹推理的過程，以此促進學生推理意識的發展。

一、教學過程

1. 規則認識，共識構建

師：孩子們，如圖1，想象一下，這個九宮格是一個夢幻城堡，每個格子都代表一個舒適的新家。現在，我們的三個小勇士——小明、小強和小紅已經找到各自新家的位置。小明在上層的第二個格子，小強在中層的第一個格子，小紅呢？

生（齊聲答）：她在下層的第三個格子！

師：沒錯，小紅就在那里找到自己的新家?，F在，讓我們來幫助數字寶寶找到屬于它們的新家吧。（出示課題：數字藏身何處）你們看，如圖2，數字9和數字3正在尋找它們的新家位置。它們只能住在有星星標記的地方，不能靠近那些有叉叉標記的禁地哦。

生1：數字9一定會在中層的第二個格子里！

師：哦？你這么確定嗎？

生1：因為那里是唯一有星星的格子，而且沒有叉叉！

老師：你的眼睛真尖！那數字3呢？

生2：數字3有很多選擇，除了叉叉標記的地方，它可以住在上層的第三個格子、中層的第一個格子，或者下層的第一個格子里。

師：太棒了！你的思維真是既開闊又靈活。當我們表達想法時，像生2這樣來連接思路，可以讓我們的表達更加清晰有力?，F在，請仔細思考，如果只告訴你們數字4在它所在的那一行的最前面，你們覺得數字4可能在哪里呢？

生3：我覺得數字4可能在上層的第一個格子里！

師：有這種可能性哦！那你為什么不說“一定”呢？

生4：因為九宮格有三層，所以數字4可能出現在上層的第一個格子、中層的第一個格子或下層的第一個格子里（如圖3）。

學生小結：在解決數學問題時，我們通常需要依據給定的條件來推斷未知數的位置。某些條件可以明確指出未知數的確切位置，而其他條件則只能限定未知數可能出現的區域。在后者的情況下，通過細致的分析和邏輯推理，我們能夠識別并列舉出所有可能的解決方案。這對于培養學生的批判性思維和解決問題的能力至關重要。

師：非常好！你們的分析非常細致。有時候，一些信息雖然不能直接告訴我們確切的答案，但能幫助我們縮小搜索范圍。最后，如果我們有兩個數字5和9，它們可以選擇的位置各有兩個，你們能幫它們找到新家嗎？

生5：如果數字5選擇了上層的第二個格子，那么數字9就只能住在上層的第三個格子里。反之亦然！

師：非常棒！你的邏輯思維能力非常強。當我們面對兩個選擇時，只要確定了其中一個的位置，另一個也就迎刃而解了。今天的探險就到這里，希望你們在未來的旅程中也能保持這種勇敢和智慧，不斷探索未知的世界。

學生小結：在數學邏輯中，若存在一組條件，規定兩個不同的元素必須分別位于兩個指定的位置之一，則一旦確定其中一個元素的具體位置，另一個元素的位置也將自動確定。這種邏輯關系體現了排列組合原理中的互斥性原則，即在給定的約束下，元素間的位置分配是唯一的。因此，在處理此類問題時，優先確定任一元素的位置，即可推導另一元素的位置，確保整個系統的一致性和完整性。

設計意圖：確立共識對于明確推理的前提條件至關重要。在此環節，教師旨在與學生建立共識：一是關于位置描述的共識，采用“上、中、下、1、2、3”等術語來指代橫向序列的位置，并統一采取先行后列的方式描述數字所在格子的具體位置，這是后續有效溝通的基礎;二是關于表達思考過程的共識，激勵學生運用“因為”“所以”“可能”“一定”等詞匯來闡述思考過程，這不僅有助于培養學生的表達能力，也有助于提升他們思維的嚴密性和嚴謹性;三是關于基本邏輯的共識，符號“★”用于指示數字可能所在的確切位置，而“×”則用于排除數字在特定格子中的存在可能性。根據所提供的信息，有時可以直接得出結論，有時則可能得到多種潛在的答案;當兩個數字可選擇A或B兩個位置時，一個數字的位置被確定，另一個數字的位置也隨之確定。

2. 演繹邏輯，體驗思維之旅

（1）初試鋒芒

①提出挑戰，激勵學生獨立解題

師：在這個九宮格的游戲中，我們要巧妙地安排數字1到9，每個數字恰好占用一個格子，且不允許任何數字重復出現。同時，我們還要遵守兩項特別的規則：帶有“★”標記的格子是數字的理想家園，而任何帶有“×”標記的格子都是數字的禁止之地，數字絕不能踏入這些被標記的區域（如圖4）。

②促進對話，強化學生語言表達

師：小朋友們，你們觀察到了嗎？這些星星好像在給我們引路。誰愿意分享一下，你是如何根據這些星星的光芒來找到數字的家？

生6（興奮）：我注意到了！這些帶星標的格子就像是數字的安全港，它們告訴我2，7，4，6，8，5，3這幾個數字應該去哪里。我就像是一個偵探，根據線索，把它們一個個放到正確的位置上。我發現，剩下的1和9就只有一個合適的地方可以去了。特別是1，它不能躲到下1的位置，所以我就把它放在了上3的家里。這樣一來，9就乖乖地跑到下1的位置上。

設計意圖：本設計旨在通過多幅圖表的呈現，考查學生對先前共識的理解。盡管看似信息量龐大，但實際上，通過識別“★”標記的關鍵位置，學生可以迅速鎖定特定數字的放置點。同時，“×”標記的排除法則進一步縮小了數字可能的范圍。此過程不僅鍛煉了學生快速識別信息和做出決策的能力，還增強了他們解決問題的自信心。此外，在面對僅有兩個可能位置的情形時，學生能夠深刻體會排除法的邏輯推理——即一個選項被排除，則另一選項為必然之選。這一經驗的積累對于學生未來在更復雜問題情境中發展推理意識具有重要意義。

（2）提升難度

①提出挑戰，激勵學生獨立解題

師：一個充滿神秘色彩的九宮格迷宮，每個格子都等待著數字的到來。你的任務是將1到9的數字巧妙地安置進去，每個數字只能占據一個格子，而且不能和其他數字共享空間。現在，讓我們一起揭開這個迷宮的秘密吧！九宮格中，有些格子被閃閃發光的“★”標記所點綴，這些是數字的首選之地，它們渴望在這些閃耀的位置上安家落戶。然而，有些格子卻被“×”標記占據，那些地方是數字不能涉足的禁地?，F在，讓我們開始這場數字的冒險，探索九宮格的奧秘，尋找每一個數字的最佳歸宿（如圖5）。

②促進對話，強化學生語言表達

師（微笑著鼓勵）：找到答案的同學，先別急著高興，咱們得做個小檢驗，確保你的答案牢不可破。接下來，想想怎么跟大家分享你那精彩絕倫的解題思路。

生7（興奮）：老師，我發現了一個小竅門。你看這9個數字，它們周圍的空位就像是它們的領地，領地被列為禁地的有的多、有的少。我就像是個精明的獵人，瞄準了那些禁地最多的數字先下手。比如數字5，它已經被排除了8個領地，只剩下中1那個位置是它的安全港。比如數字2，中1已經是5的地盤了，所以2只能乖乖地待在上3那個角落。這樣一來，答案就像拼圖一樣，一塊塊拼出來了。

生8（躍躍欲試）：這題初看挺嚇人，但其實它就像是等待我們去征服的堡壘。關鍵是要找到那個最薄弱的點，也就是只有一個位置能容納的數字。一旦找到這個突破口，其他的數字就像是多米諾骨牌一樣，一個接一個地就都有了自己的位置。真是太有趣了！

設計意圖：在本習題中，學生需將1至9的數字填入九宮格中，每個數字僅限使用一次。解題過程涉及從單一條件的推理過渡到關聯條件的推理。學生要認識到，只有在一個數字存在唯一可能性時，才能直接確定其位置。盡管某些數字初看似乎無確定位置，但隨著解題進程中某一數字位置的確認，其余數字的潛在位置將隨之減少，從而提高解題效率。此過程強調排除法的重要性，即在邏輯推理中，每確定一個元素的確切位置，就相當于為其他元素排除了一種或多種可能性。

（3）巧妙運用

師（呈現問題）：想象一下，你面前有一個精美的九宮格棋盤，棋盤上的格子等待著被賦予生命，即被填上1到9的數字。但是，這里有一些規則需要遵守：每個數字只能出現在棋盤上一次，絕不能重復;有些格子上閃耀著“★”，這些是你可以放置數字的地方;而有些格子上則有一個“×”，那些地方是絕對不能放數字的。現在，你需要運用智慧和邏輯思維，把這些數字巧妙地安排在合適的位置上。準備好了嗎？讓我們開始這個智力挑戰（如圖6）。

生9（自信）：我找到了數字4的藏身之處。你看圖三和圖五，它們都透露了4的蹤跡，而且兩幅圖中的三顆星星里，都有一顆恰好位于中間的第二格。這釋放出數字4所在位置的強烈信號。

師（微笑）：那么，為什么你沒有選擇數字5、8、2或7呢？它們也在這兩幅圖中出現過呀。

生9：那些數字只是在其中一幅圖中露面，它們并沒有像4那樣，在兩幅圖中都占據同一個星星的位置。只有數字4，在兩個不同的場景里，都穩穩地站在了那個共同的星星上，所以那里就是它的家。

師（稱贊）：非常好，觀察細致，推理清晰。那么，如果我們用同樣的方法去尋找其他數字的蹤跡，會發現什么呢？快來用你桌面上的小工具，擺一擺，找找看，還有哪些數字的位置能被我們準確地鎖定？

學生小結：在面對多幅圖中數字位置不明確的情形時應采取一種綜合分析的策略。首先，通過比較和整合各幅圖中數字的分布模式，我們可以識別出一些共同特征或規律;然后，應用排除法去除那些僅在單一圖中出現的數字，進一步縮小可能性范圍;最后，采用重疊法對比各圖中的共同點，特別是那些在多幅圖中重合的數字位置，以確定最終的數字布局。這種方法不僅提高了解題的準確性，而且有助于培養學生的推理意識與數據意識。

設計意圖：本題目旨在將學生從單一條件的關聯推理引導至復雜的多條件復合推理，這對提升學生思維能力具有顯著作用。在實際教學過程中，學生對于此類內容展現出極高的興趣。他們在獨立探索與小組協作的互動中逐漸領悟到：當單個條件無法直接導出結論時，可通過綜合多個條件進行推理判斷，進而準確鎖定數字的位置。教師應指導學生采用“根據滿足條件A又滿足條件B可以確定答案”的邏輯表述方式，以深化對推理嚴謹性的理解。

二、教學思考

在數學教學中，培養學生推理意識至關重要，因為它與數學知識的掌握緊密相連?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》強調推理意識的重要性，低年級是培養學生科學思維和證據表達習慣的關鍵時期，因此教師應盡早引入演繹推理，以促進學生邏輯思維的全面發展。

在教學中，教師可以通過單一條件推理、關聯推理到復合推理，引導學生先獨立嘗試，然后在小組合作與交流中學習系統表達推理過程。教師要根據學生的具體情況靈活調整教學進度，確定合適的教學終點。實踐證明，低年級學生完全有能力接受演繹推理訓練。

基金項目：江蘇省中小學教學研究第十五期課題“指向核心素養小學數學項目化學習課堂實踐和評價研究”（2023JY15-L214）。

作者簡介：張小琪（1980—），本科學歷，高級教師，從事小學數學教學與研究工作，泰州市小學數學學科帶頭人，曾獲江蘇省微課比賽一等獎以及泰州市小學數學教師基本功比賽一等獎、優質課比賽一等獎等榮譽。