從“確定”到“不確定”,發展符號意識

[摘" 要] 為了讓學生感知從“確定”到“不確定”，發展符號意識，研究者以“用字母表示數”一課為例，由字母引出數，讓學生感知字母的不確定;由字母式引出關系，讓學生思辨最佳的表征;用字母式解決問題，培養學生代數思維。

[關鍵詞] 代數思維;符號意識;字母表示數

“用字母表示數”這節課涉及常量和變量之間的關系，實現了從算術思維向代數思維過渡。本單元的主要內容有：用字母表示數，用含有字母的式子表示數量、數量關系和公式，求含有字母的式子的值以及代入計算，為學生后續的方程、比例的學習奠定知識基礎。

一、教學內容

“用字母表示數”。

二、教學目標

1.讓學生初步理解并掌握用字母表示數，會用含有字母的式子表示數量、數量關系和計算公式。

2.讓學生經歷把實際問題用含有字母的式子進行表達的抽象過程，體會用字母表示數的簡捷和方便，培養學生的符號意識，發展他們的代數思維。

三、教學過程

1. 由字母引出數，感知字母的不確定

師：（出示APPLE）老師給大家帶來一個單詞，這是什么意思？

生（齊聲答）：蘋果。

師：（出示APPL）去掉一個字母，你們知道什么意思嗎？（全班學生沉默）它表示的是資產管理公司的縮寫。（出示APP）再去掉一個字母，這是什么意思？

生（齊聲答）：它表示應用程序。

師：（出示AP）再去掉一個字母，剩下A和P，你在哪里見過字母P？

生1：停車場里寫著P。

師：你在哪里見過字母A？

生2：停車場里有A區和B區。

生3：有的大樓會標著A1和A2來區分哪一幢樓。

生4：撲克牌上有紅桃A。

師：停車場上的A、大樓上的A1和A2，這里的A表示一個特定的含義;紅桃A，它可以表示確定的數字1。這節課我們就來研究“用字母表示數”。

設計意圖：教師巧妙地借助英文單詞APPLE開啟數學課堂，吸引了學生的注意力，讓他們饒有興致地猜英文單詞的意思。教師一次次去掉這個單詞中的字母，讓學生深刻體會每個字母表示特定的含義。當最后只留下字母A時，學生結合自己的生活實際猜測A所表示的意思，教師智慧地引導學生聯想到撲克牌中的紅桃A，再根據紅桃A引出數字1，與本節課的課題“用字母表示數”相呼應，自然地揭示本節課的學習內容。

2. 由字母式引出關系，思辨最佳的表征

（1）用字母式表示三角形個數和小棒根數的關系

師：擺1個三角形用3根小棒，擺2個、3個、4個三角形用多少根小棒？

生5：擺2個三角形用6根小棒，算式是2×3=6;擺3個三角形用9根小棒，算式是3×3=9;擺4個三角形用12根小棒，算式是4×3=12。

師：你還能繼續往下說嗎？

生5：擺5個三角形用15根小棒，算式是5×3=15;擺6個三角形用18根小棒，算式是6×3=18……

師：你這樣一直往下說，能說完嗎？你發現了什么規律？

生5：不能，因為擺1個三角形用3根小棒，擺幾個三角形就是幾乘3。

師：你們能不能用自己喜歡的方式表示三角形的個數和小棒的根數之間的關系？把想法記錄在學習單上。

有的學生說“三角形的個數×3=小棒的根數”，有的學生說“□×3”，有的學生說“a×3”，有的學生說“3x”等。

師：請你們想一想，這些表達方式有什么相同和不同的地方？

生6：相同的地方是擺每個三角形都要3根小棒;表達方式不同，有的用文字，有的用圖形，有的用字母。

師：你更愿意選擇哪一種表達方式，為什么？

生6：我比較喜歡第三種。第一種寫文字太麻煩了，耗時間;第二種畫方框有時會看成圓圈，不容易辨認;第四種和第三種差不多。

師：如果用字母a表示三角形個數，那么3a就是小棒根數。像這樣含有字母的式子，我們把它稱作字母式。這個式子中的a和撲克牌上的A一樣嗎？

生7：不一樣，撲克牌上的A表示一個固定的數，這里的a表示的數是不固定的。

設計意圖：從數學發展史的角度看，學生學習“用字母表示數”包括以下三個階段：第一個階段是用字母表示未知數，第二個階段是用字母和字母式表示變化量，第三個階段是用字母式表示數量關系。學生在第一學段接觸到較多的“用字母表示未知數”的題目，這為學習第二階段的“用字母和字母式表示變化量”提供了理解的基礎。當學生在解決三角形個數和小棒根數的數量關系時，很多學生自然想到用字母表示三角形個數這一變量，在類比中用乘法算式表示不同個數的三角形和小棒根數之間的關系。然后，教師啟發學生思考“你這樣一直往下說，能說完嗎”，引導學生用字母式表示兩者之間的數量關系，并在不同表達式的比較中讓學生體會字母式的簡捷與方便，并思考字母式中字母的取值范圍。

（2）用字母式表示爸爸和小紅的年齡關系

教師出示情境：爸爸比小紅大30歲。

師：當小紅1歲時，爸爸的年齡是多少歲？當小紅10歲時，爸爸的年齡是多少歲？當小紅15歲時，爸爸的年齡是多少歲？

生8：當小紅1歲時，爸爸的年齡是1+30=31歲;當小紅10歲時，爸爸的年齡是10+30=40歲;當小紅15歲時，爸爸的年齡是15+30=45歲。

師：這些式子，每個都只能表示某一年爸爸的年齡。你們能用一個式子簡明地表示任何一年爸爸的年齡嗎？

生9：如果小紅的年齡是b，那么爸爸的年齡是b+30。

師：想一想，如果當b=6時，你們能算出爸爸的年齡嗎？

生10：b+30=6+30=36。

師：當字母b有一個具體的數時，我們就可以算出字母式的結果。我們來回顧一下：a和b分別表示什么樣的數？

生11：這里的a表示三角形的個數，大于0的整數;這里的b表示小紅的年齡，一般是小于100但大于0的整數。

師：字母在表示數的時候是不確定的，這些數是有范圍的。

設計意圖：當學生初步體驗用字母式表示乘法的數量關系后，這個環節中教師讓學生用字母式表示加法的數量關系。教師先引導學生用字母和字母式表示變化量，寫出當小紅1歲、10歲和15歲時，爸爸年齡的算式;然后，引導學生用字母式表示數量關系，用字母b表示爸爸和小紅年齡之間的數量關系;最后，讓學生嘗試求含有字母的式子的值以及代入計算，用代入的方法計算當b=6時爸爸的年齡。在這個環節，學生經歷從具體到抽象，又從抽象到具體的過程，為學習方程奠定了基礎。

3. 用字母式解決問題，培養代數思維

（1）化簡字母表達式

師：你們在哪里見過字母式？

有的學生說在學習加法和乘法運算定律時見過，有的學生說在學習周長和面積公式時見過。

師：如果用a表示正方形的邊長，C表示周長，S表示面積，你們能寫出正方形的周長和面積公式嗎？

生12：正方形的周長公式是C=4×a，正方形的面積公式是S=a×a。

師：像這樣的字母式還有更簡單的寫法，請大家自學課本第100頁。

生13：正方形的周長公式化簡后是4a，即可以把乘號省略，數字寫在前面，字母寫在后面。正方形的面積公式化簡后是S=a2。

師：剛才的a×3和b+30可以化簡嗎？

生14：a×3=3a，b+30不能化簡。

師：4×b，5+x，a×c，y×1，a-6，c×c，c+c，c×2，請化簡這些字母表達式。

生15：4×b=4b，a×c=ac，y×1=y，c×c=c2，c+c=2c，c×2=2c。

設計意圖：在這個環節中，教師先引導學生回憶字母式在以前學習中的應用;然后讓學生用字母式表示正方形的周長公式和面積公式，在自學和閱讀課本中掌握含有字母的乘法式子的簡便寫法;最后讓學生在練習中鞏固乘法字母式的化簡，尤其是比較c×c、c+c、c×2這三道題的異同。

（2）用字母式解決問題

師：甲、乙、丙、丁四地在一條直線上依次排開，甲地在前，丁地在后，乙地和丙地在中間，甲、乙兩地之間的公路長185千米，乙、丙兩地之間的公路長x千米，丙、丁兩地之間的公路長y千米。甲、丙兩地之間的公路長（" "）千米，乙、丁兩地之間的公路長（" "）千米。

生16：甲、丙兩地之間的公路長（185+x）千米，乙、丁兩地之間的公路長（x+y）千米。

師：假如聰聰從甲地坐車到丙地，汽車每小時行駛100千米，2小時到達，甲、丙兩地的公路長（" "）千米。

生17：甲、丙兩地的公路長是100×2。

師：（出示185+x=100×2）同學們，甲、丙兩地的公路長有兩種不同的表達式，我們可以用等號連接，這就是含有字母的等式。

設計意圖：第1題和第2題是檢驗學生用字母式表示數量關系，第3題是檢驗學生用字母和字母式表示變化量，讓學生再次感受用字母表示數和數量關系的簡捷。同時，教師巧妙地讓學生用不同的算式表征甲、丙兩地之間的公路長，并用等號將兩個算式連接起來，為后續學習含有未知數的等式做好鋪墊。

四、教學反思

“用字母表示數”這節課讓學生經歷從“一個式子表示一種圖形的三角形個數”到“一個式子表示任何圖形的三角形個數”、從“一個式子表示某一年爸爸的年齡”到“一個式子表示任意年爸爸的年齡”等過程，體會從特殊到一般的歸納過程。

1. 用字母表示數，發展符號化思想

符號意識是數學核心素養之一，主要是指能夠感悟符號的數學功能?！坝米帜副硎緮怠币徽n讓學生使用符號進行數學表達和掌握用符號表示數量、關系和一般規律的方法，不斷加深學生理解用字母表示數的意義，體會用字母表示從確定量到不確定量，有利于發展學生的抽象能力和推理能力。

2. 從關系到等式，代數思維的啟蒙

第一學段，學生基本是用算術思維解決數學問題;第二學段和第三學段，學生開始嘗試用代數思維解決數學問題，尤其是“用字母表示數”這節課標志著小學生正式學習代數的開始。用字母表示數、用字母式表示數量和關系不僅簡便直觀，還能抽象地概括數量關系中的一般規律。在用含有未知數的等式解決問題時，學生根據題意順向思考，已知數和未知數共同參與運算，能為解決復雜的數學問題帶來方便。同時，代數是中學數學的重要內容之一，小學階段學生初步感知有利于打通小學與中學的銜接。

總之，數學教學時教師要打破零散的知識結構，重構用字母表示數的單元結構，使之順應學生的認知水平和數學知識的發展，讓學生經歷從含有未知數的字母式到含有未知數的等式的過程，在豐富的數學思維活動中積累方程的學習經驗。

作者簡介：徐海燕（1982—），碩士研究生，中學一級教師，從事小學數學教學與研究工作，曾獲蘇州市吳江區“教學能手”稱號。