切線放縮以直代曲，構建模型探求本質

摘"要"本文通過切線放縮法求解了一道關于求解參數范圍問題的壓軸題，并據此探究了命制此類試題的一般模式.

關鍵詞"切線放縮；凹函數；極值點偏移

放縮法是求解參數范圍問題的常見策略，但放縮的方式以及放縮的精度對問題的解答有很大的影響.其中“切線放縮”［1］是一種常見的放縮策略，可實現“以直代曲”的妙用.在2024年佛山市高二期末測試第19題中，就需要多次應用該技巧進行求解.本文將詳細展示該問題的求解過程，并據此探究命制此類問題的一般策略.

一、試題及分析

已知函數f（x）=（x－1）（ex－1）－a（a＞0）.證明：

（1）f（x）在（－，0）上單調遞減，在（1，+）上單調遞增；

（2）若f（x）的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），則（ⅰ）x1+x2＜1；（ⅱ）x2－x1＜1+aee－1．

分析"本題第（1）問是為了確定函數f（x）的單調性，為第（2）問提供必要的思維基礎.通過導數的幾何意義即可進行證明，過程略.對于第（2）問，函數f（x）的零點可轉化為函數g（x）=（x－1）（ex－1）與直線l：y=a的交點的橫坐標.也可轉化為函數h（x）=ex－1與函數φ（x）=ax－1的交點的橫坐標.同理也可轉化成其他的函數形式，對于不同的函數可以采用不同的放縮策略進行求解.

二、解法呈現

對于所求的不等式還可通過極值點偏移等技巧進行證明，其證明思路可文［2］，本文略.本文僅展示“切線放縮”的技巧進行證明.

對于不等式x1+x2＜1.考慮函數h（x）=ex－1以及函數φ（x）=ax－1，其圖象如圖1，則x1＜0，1＜x2，注意到函數h（x）=ex－1在點（0，0）處的切線為l1：y=x，其中切線l1恒在函數h（x）的下方.

設直線l1與函數φ（x）的交點為x*1，x*2.顯然可得0＞x*1＞x1，x*2＞x2＞1，從而可得x*1+x*2＞x1+x2.若有x*1+x*2≤1成立，則原不等式成立.

聯立直線l1與函數φ（x）=ax－1，可得x2－x－a=0，則有x*1，x*2是該方程的兩個解.根據韋達定理可得x*1+x*2=1，從而可得原不等式成立.

對于不等式x2－x1＜1+aee－1，考慮函數g（x）=（x－1）（ex－1）與直線l：y=a，圖2據此也可得x1＜0，1＜x2，如圖2所示.設函數g（x）=（x－1）（ex－1）在點（0，0）處的切線為l2：y=－x，在點（1，0）處的切線為l3：y=（e－1）（x－1）.

其中直線l2，l3恒在函數g（x）的下方（該結論將在后文進行詳細闡述）.設直線l2與l的交點為x+1，直線l3與l的交點x+2，顯然可得x+1＜x1，x+2＞x2，從而可得x+2－x+1＞x2－x1.若有x*2－x*1≤1+aee－1成立，則原不等式成立.

根據上述分析可知x+1=－a，x+2=1+ae－1，兩式相減可得x*2－x*1=1+aee－1，從而可得原不等式成立.

三、模型分析

在上述求解過程中一共出現了三條切線，三條切線都位于相應的函數下方.其中兩條切線l1與l3所對應的函數為“凹函數”其結論具有一般性（后文將進行詳細證明），而l2所對應的函數“凹凸性”發生過轉化，現對其進行說明如下：

為了證明直線l2恒在函數g（x）的下方等價于（x－1）（ex－1）≥－x恒成立，據此構造函數F（x）=（x－1）（ex－1）+x，求導可得F′（x）=xex，顯然可得F（x）在（－，0）上單調遞減，在（0，+）上單調遞增.從而可得F（x）的最小值為F（0）=0，即可得命題成立.

為了說明“凹函數”位于切線上方的一般性，現將“凹凸函數”的判定規則簡介如下：考慮函數f（x）的二階導，若f″（x）≤0，則函數f（x）為“凸函數”；若f″（x）≥0，則函數f（x）為“凹函數”［3］.

定理1"已知函數f（x）為“凹函數”，設其在點（x0，f（x0））處的切線為lx0：y=f′（x0）（x－x0）+f（x0），則有lx0恒在函數f（x）的下方.

證明"上述問題等價于f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0）≥0.

構造函數G（x）=f（x）－f′（x0）（x－x0）－f（x0），求導可得G′（x）=f′（x）－f′（x0），再次求導可得G″（x）=f″（x），根據條件可得G″（x）≥0，即有G′（x）單調遞增.

易知G′（x0）=f′（x0）－f′（x0）=0，即可得在（－，x0）上G′（x0）＜0，在（x0，+）上G′（x0）＞0.從而可得G（x）在（－，x0）上單調遞減，在（x0，+）上單調遞增，又因為G（x0）=0，即可得上述命題成立.

回到原問題，對于函數h（x）=ex－1，求二階導可得h″（x）=ex，顯然可得h″（x）≥0，即有函數h（x）為“凹函數”，所以原命題成立.

而對于函數g（x）=（x－1）（ex－1），求二階導可得g″（x）=（x+1）ex，當x∈（－1，+）時，g″（x）＞0，此時函數g（x）為“凹函數”；當x∈（－，－1）時，g″（x）＜0，此時函數g（x）為“凸函數”.而直線l3位于“凹函數”部分的下方，所以結論顯然成立.而l2的上方存在部分的“凸函數”，故需單獨進行驗證.

再注意到limx→－g′（x）=limx→－（xex－1）=－1以及g′（x）的單調性可知，當x∈（－，0）時，g′（x）＜－1恒成立.由此即可說明即使函數g（x）的“凹凸性”發生了變化，其圖象也始終位于切線l2的上方.

四、問題拓展及變式研究

縱觀上文可知，不等式證明核心在于切線的選擇，對原不等式進行適當地放縮.那么能否選擇更優化的切線對不等式的上限進行優化呢？筆者進行了如下嘗試.

設函數h（x）=ex－1在點（x0，ex0－1）處的切線方程為y=ex0（x－x0）+ex0－1，聯立該切線與曲線φ（x）=ax－1可得二次方程ex0x2－（x0ex0+1）x+x0ex0－ex0+1－a=0.

根據韋達定理可得其兩根之和為x0ex0+1ex0=x0+1ex0，根據上述解法即可得x1+x2＜x0+1ex0恒成立，即有x0+1ex0為x1+x2的上限.原問題即是選擇了x0=0時的值.為了優化其上限，構造函數H（x）=x+e－x，求導得H′（x）=1－e－x，則H（x）在（－，0）上單調遞減，在（0，+）上單調遞增，從而H（x）的最小值為H（0）=1.

由此即可得原問題所選擇的上限即為通過切線放縮所能獲得的最優上限，若利用其他放縮技巧還可使得上限更加精確，如當x∈（0，+）時，還可通過不等式ex－1＞x+x22進行放縮，但涉及到的運算量較為復雜.

基于上述分析，筆者探究出了原問題的基本模型.

模型一"設函數f（x）=g（x）·h（x）－a的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），其中g（x）為“凹函數”，設直線l是函數g（x）的一條切線.設l與ah（x）的交點之和為Δ，則有x1+x2＜Δ成立.

模型二"設函數y=f（x）－a的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），其中f（x）為“凹函數”且有兩個零點x*1，x*2，設函數f（x）在兩個零點處的切線分別為l1，l2.設直線l1，l2與直線l：y=a的交點之差為Δ，則有x2－x1＜Δ成立.

由此，如下兩個變式供讀者練習.

變式1"已知函數f（x）=ax－1（a＞0），g（x）=ln10x+10.若函數f（x）與函數g（x）有兩個交點，設兩個交點過的橫坐標為x1，x2（x1＜x2）.求證：x1+x2＜1．

變式2"已知函數f（x）=x4－x－a（a＞0）.若f（x）的兩個零點為x1，x2（x1＜x2）.求證：x2－x1＜1+4a3．

五、教學建議

1.挖掘教材，尋找切線放縮的素材，幫助學生形成切線放縮的思維模式

在教材中具有豐富的相關案例，如在人教A版教材選擇性必修二第94頁有習題：證明不等式x－1≥lnx；以及97頁的練習：證明不等式sinx＜x（x∈（0，π））以及99頁的練習：證明不等式ex≥x+1，并通過函數圖象進行直觀驗證.在教學的過程中要善于挖掘相關的經典模型，理解其思維本質.為后續形成切線放縮的思維方法打下理論基礎.

2.將零點問題轉化為不同函數間的交點問題，并通過圖象進行展示，提升學生的數形結合思想

通過不同的視角解釋兩個零點的幾何意義，為放縮法指明了方向.同時通過圖象，將不等關系可視化，明確了不等式的幾何意義，理解了各個參數對于零點變化的影響，幫助學生形成數形結合的思維方式，提升學生直觀想象的核心素養.

3.拓展模型，總結提升

在求解問題的基礎上，總結出試題的一般模型.挖掘出命題者的命制意圖，幫助學生理解試題的命制過程，克服面對陌生問題的心理恐懼，提升解決問題的自信心.

參考文獻

［1］龍宇.巧用“切線法”求解函數不等式［J］.中學數學研究（江西師大）.2018（3）.28-29.

［2］龍宇.極值點偏移與拐點偏移的本質探究［J］.數理化學習.2022（4）.27-29.

［3］代建云.利用函數的凹凸性探究切線問題［J］.中學數學研究（江西師大）.2023（10）.19-21.