拋物線中與過原點的兩直線斜率有關的一類性質

摘"要"在拋物線中，與定點定值和直線斜率有關的問題是研究中的重點.本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到了拋物線中與過原點的兩直線斜率有關的一類性質.

關鍵詞"拋物線；斜率；定值

在拋物線的定點定值問題中，有一個熟知的結論，即已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過原點O作兩條斜率之和（積）為定值的直線分別與拋物線E交于點A，B，則直線AB過定點或有定向［1］.若過原點O作兩條斜率之商（差，平方和）為定值的直線分別與拋物線E交于點A，B，則直線AB有什么性質？本文經過深入探究，得到拋物線中與過原點的兩直線斜率有關的一類性質.

1.試題呈現與解析

題目"已知拋物線E1：y2=18x，拋物線E2：y2=16x，O為坐標原點，動直線l與拋物線E2相切，且與拋物線E1交于A，B兩點，證明：直線OA，OB的斜率之商為定值.

分析"設l的方程為x=ty+m，由l與拋物線E2相切可得t，m滿足的關系式.然后將l的方程與拋物線E1的方程聯立，消元后可得A，B的坐標，從而得到直線OA，OB的斜率之商為定值.

證明"設l的方程為x=ty+m（t≠0）.

聯立y2=16x，x=ty+m，消去x得y2－16ty－16m=0.

由Δ=（16t）2+4×16m=0得m=－4t2，于是l的方程為x=ty－4t2.

聯立y2=18x，x=ty－4t2，消去x得y2－18ty+72t2=0，即（y－6t）（y－12t）=0，則y=6t或12t.

設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設y1=6t，y2=12t.于是直線OA的斜率k1=y1x1=18y1=3t，直線OB的斜率k2=y2x2=18y2=32t，則k1k2=2 ， 所以直線OA，OB的斜率之商為定值2.

2.定值問題探究

由試題可得，若拋物線E2：y2=16x的切線與拋物線E1：y2=18x交于A，B兩點，則直線OA，OB的斜率之商為定值.對于任意兩條拋物線，有沒有一般性結論？經過深入探究，本文得到以下結論.

結論1"已知拋物線E1：y2=2p1x（p1≠0），拋物線E2：y2=2p2x（p2≠0），O為坐標原點，動直線l與拋物線E2相切，且與拋物線E1交于A，B兩點，則p1p2＜0或p1p2＞1，且直線OA，OB的斜率之商為定值δ，δ滿足δ+1δ=4p1p2－2.

證明"設l的方程為x=ty+m.聯立y2=2p2x，x=ty+m，消去x得y2－2p2ty－2p2m=0.

由Δ=（2p2t）2+8p2m=0得m=－p2t22，于是l的方程為x=ty－p2t22.

聯立y2=2p1x，x=ty－p2t22，消去x得y2－2p1ty+p1p2t2=0①.由Δ=（2p1t）2－4p1p2t2＞0得t≠0且p1（p1－p2）＞0，則p1p2＜0或p1p2＞1.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2p1t，y1y2=p1p2t2②. 于是直線OA的斜率k1=y1x1=2p1y1，直線OB的斜率k2=y2x2=2p1y2，則k1k2=y2y1.

（方法一）"設k1k2=δ，則y2=δy1，由②得（δ+1）y1=2p1t且δy21=p1p2t2，則（δ+1）2δ=4p1p2，于是δ+1δ=4p1p2－2，所以δ為定值.

（方法二）"由p1p2＜0或p1p2＞1得存在定值δ≠0，±1滿足δ+1δ=4p1p2－2，則p2=4δp1（δ+1）2.

由①得y2－2p1ty+4δp21t2（δ+1）2=0，即（y－2p1tδ+1）（y－2δp1tδ+1）=0，則y=2p1tδ+1或2δp1tδ+1.不妨設y1=2p1tδ+1，y2=2δp1tδ+1，則k1k2=y2y1=δ.

在結論1中，直線OA，OB的斜率之商為定值，若直線OA，OB的斜率之差（平方和）為定值，本文經過深入探究，得到類似的結論.

結論2"已知拋物線E：y2=2px（p＞0），圓M：（x－p）2+y2=p2，O為坐標原點，動直線l與圓M相切，且與拋物線E交于A，B兩點，則直線OA，OB的斜率之差的絕對值為2.

證明"設l的方程為x=ty+m.由l與圓M相切得p－m1+t2=p，整理得p2t2+2pm=m2.

聯立y2=2px，x=ty+m，消去x得y2－2pty－2pm=0.由Δ=（2pt）2+8pm＞0得m2＞0，又m2－2pm=p2t2≥0，則m＜0或m≥2p.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pt，y1y2=－2pm.

于是直線OA的斜率k1=y1x1=2py1，直線OB的斜率k2=y2x2=2py2.

所以k1－k2=2py1－2py2=2p（y1+y2）2－4y1y2y1y2=2p4p2t2+8pm2pm=2p2t2+2pmm=2.

結論3"已知拋物線E：y2=2px（p＞0），圓M：（x－2p）2+y2=4p2，O為坐標原點，動直線l與圓M相切，且與拋物線E交于A，B兩點，則直線OA，OB的斜率的平方和為1.

證明"設l的方程為x=ty+m.

由l與圓M相切得2p－m1+t2=2p，整理得4p2t2+4pm=m2.

聯立y2=2pxx=ty+m消去x得y2－2pty－2pm=0.

由Δ=（2pt）2+8pm＞0得m2+4pm＞0，又m2－4pm=4p2t2≥0，則m＜－4p或m≥4p.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pt，y1y2=－2pm.于是，直線OA的斜率k1=2py1，直線OB的斜率k2=2py2.

所以k21+k22=4p2y21+4p2y22=4p2t2+4pmm2=1.

3.相關試題編制

已知拋物線E：y2=2px（p＞0），O為坐標原點，A，B是拋物線E上異于O的兩個動點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2.

（1）若k1k2=δ，δ為常數且δ≠0，±1，由結論1得直線AB與拋物線y2=8δp（δ+1）2x相切，由此可編制以下試題：

試題1"已知拋物線E：y2=4x，O為坐標原點，A，B是拋物線E上異于O的兩個動點，直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k1k2=3，證明：直線AB與拋物線y2=3x相切.

（2）若k1－k2=2，由結論2得直線AB與圓（x－p）2+y2=p2相切，由此可編制以下試題：

試題2"已知拋物線E：y2=2x，O為坐標原點，A，B是拋物線E上異于O的兩個動點，直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k1－k2=2，在坐標平面上是否存在定點M，M到直線AB的距離是定值？

（3）若k21+k22=1，由結論3得直線AB與圓（x－2p）2+y2=4p2相切，由此可編制以下試題：

試題3"已知拋物線E：y2=2x，O為坐標原點，A，B是拋物線E上異于O的兩個動點，直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k21+k22=1，在坐標平面上是否存在定點M，M到直線AB的距離是定值？

參考文獻

［1］曹軍.圓錐曲線上的定點定值子弦的性質-圓錐曲線頂點定值子弦性質的推廣［J］.中學數學研究（華南師大），2013（10）：19-21.

基金項目：廣東省中山市教育科研2023年度一般項目課題“高觀點下高中數學深度學習教學實踐研究”（項目編號：B2023133）