三角形的垂心相伴三角形的性質探究

摘"要"在文［1］的啟發下，本文將內心類比為垂心，得到三角形高線與其外接圓交點所構成的三角形.通過對兩個三角形之間關系的探究，得到了兩者之間關于面積、周長、內切圓半徑等幾何元素的若干性質.

關鍵詞"生成三角形；垂心相伴三角形；性質

如圖1所示，H是銳角△ABC的垂心，AH，BH，CH分別交△ABC的外接圓于點A1，B1，C1，則稱△A1B1C1是△ABC的垂心相伴三角形.

設銳角△ABC的內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，外接圓半徑、內切圓半徑、面積分別為R，r，S，△A1B1C1的內角為A1，B1，C1，它們對應的邊分別為a1，b1，c1，外接圓半徑、內切圓半徑、面積分別為R1，r1，S1，Σ表示循環求和.

由圖1，在△A1B1C1中，∠AA1B1=∠ABB1=π2－A，∠AA1C1=∠ACC1=π2－A，兩式相加得A1=π－2A，由正弦定理得B1C1=2Rsin（π－2A）=2Rsin2A，即a1=2Rsin2A，類似可得b1=2Rsin2B，c1=2Rsin2C.

下面給出△ABC及其生成三角形△A1B1C1相關元素的18個性質.

性質1"a+b+c≥a1+b1+c1.

證明"因為a1+b1+c1=2R∑sin2A及∑sin2A=4sinAsinBsinC，得a1+b1+c1=8RsinAsinBsinC.又a+b+c=2R∑sinA及∑sinA=4cosA2cosB2cosC2，得a+b+c=8RcosA2.cosB2cosC2，由熟知的結論sinA2sinB2sinC2≤18，可得a1+b1+c1=8（a+b+c）sinA2sinB2sinC2≤a+b+c.

性質2"S≥S1.

證明"因為S=abc4R=2R2sinAsinBsinC，S1=2R2sin2Asin2Bsin2C，

由銳角三角形中熟知的結論cosAcosBcosC≤18，得SS1=18cosAcosBcosC≥1，所以S≥S1.

性質3"r≥r1.

證明"在△ABC中，有內切圓半徑公式r=4RsinA2sinB2sinC2，r1=4RsinA12sinB12sinC12=4Rsinπ－2A2sinπ－2B2sinπ－2C2=4RcosAcosBcosC.

又cosB+cosC=2cosB+C2cosB－C2≤2cosB+C2=2sinA2.

所以2sinA2≥cosB+cosC≥2cosBcosC，即sinA2≥cosBcosC.

同理sinB2≥cosCcosA，sinC2≥cosAcosB，三式相乘即有sinA2sinB2sinC2≥cosAcosBcosC.所以r≥r1.

性質4"a1b1c1≤abc.

證明"因為a1b1c1=8R3sin2Asin2Bsin2C，abc=8R3sinAsinBsinC，cosAcosBcosC≤18，所以a1b1c1=8R3sin2Asin2Bsin2C=64R3sinAsinBsinC·cosAcosBcosC=8abccosAcosBcosC≤abc.

性質5"a1b1+b1c1+c1a1≤ab+bc+ca.

證明"a1b1+b1c1+c1a1=4R2∑sin2Asin2B，ab+bc+ca=4R2∑sinAsinB.

在銳角△ABC中，不妨設A≥B≥C，則sinAsinB≥sinCsinA≥sinBsinC，cosAcosB≤cosCcosA≤cosBcosC，由切比雪夫不等式有∑sin2Asin2B=4∑sinAsinBcosAcosB≤43∑sinAsinB·∑cosAcosB，又∑cosA≤32，所以∑cosAcosB≤13（∑cosA）2≤34，所以∑sin2Asin2B≤∑sinAsinB，所以a1b1+b1c1+c1a1≤ab+bc+ca.

性質6"a21+b21+c21≤a2+b2+c2.

證明"a21+b21+c21=4R2∑sin22A，a2+b2+c2=4R2∑sin2A，由前已證結果知，對銳角△A1B1C1，不等式sinA12sinB12sinC12≥cosA1cosB1cosC1成立①.

但當△A1B1C1為直角三角形或鈍角三角形時，cosA1cosB1cosC1≤0，sinA12sinB12sinC12＞0，故①式對任意△A1B1C1都成立.

將π－2A=A1，π－2B=B1，π－2C=C1代入①式，得cosAcosBcosC≥－cos2Acos2Bcos2C，所以2+2cosAcosBcosC≥2－cos2Acos2Bcos2C，即∑sin2A≥∑sin22A，所以a21+b21+c21≤a2+b2+c2.

性質7"a1a+b1b+c1c=2+2rR.

證明"因為a1a+b1b+c1c=2∑cosA，而∑cosA=1+rR，所以a1a+b1b+c1c=2+2rR.

注"由歐拉不等式R≥2r，可得a1a+b1b+c1c≤3.

性質8"aa1+bb1+cc1≥9R2（R+r）≥3.

證明"由柯西不等式得（a1a+b1b+c1c）（aa1+bb1+cc1）≥9，所以aa1+bb1+cc1≥9a1a+b1b+c1c=9R2（R+r）≥3.

注"由于aa1+bb1+cc1=12∑secA，則12∑secA≥9R2（R+r），于是∑secA≥9RR+r，加強了熟知的結論∑secA≥6.

性質9"a1b1ab+b1c1bc+c1a1ca≤3.

證明"因為a1b1ab+b1c1bc+c1a1ca=4∑cosAcosB，而∑cosAcosB≤13（∑cosA）2≤34，所以a1b1ab+b1c1bc+c1a1ca≤3.

性質10""aba1b1+bcb1c1+cac1a1≥3.

證明"由均值不等式得aba1b1+bcb1c1+cac1a1=14∑1cosAcosB≥3431（cosAcosBcosC）2≥3.

性質11"a21a2+b21b2+c21c2≥3.

證明因為∑a21a2=4∑cos2A，∑cos2A=1－2cosAcosBcosC≥1－2×18=34，所以a21a2+b21b2+c21c2≥3.

性質12"a2a21+b2b21+c2c21≥3.

證明"由平凡不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx，得x2+y2+z2≥13（x+y+z）2，所以a2a21+b2b21+c2c21≥13（aa1+bb1+cc1）2，由性質8，即得a2a21+b2b21+c2c21≥3.

性質13"a2b1c1+b2c1a1+c2a1b1≥3.

證明"由條件知a2a1=（2RsinA）2·2Rsin2A=8R3sin2Asin2A=4R3sin2A（1－cos2A）=4R3sin2A－2R3sin4A等三式.

所以∑a2a1=4R3∑sin2A－2R3∑sin4A=4R34sinAsinBsinC+2R3·4sin2Asin2Bsin2C=16R3sinAsinBsinC+8R3sin2Asin2Bsin2C，又a1b1c1=8R3sin2Asin2Bsin2C，所以a2b1c1+b2c1a1+c2a1b1=∑a2a1a1b1c1=16R3sinAsinBsinC+8R3sin2Asin2Bsin2C8R3sin2Asin2Bsin2C=16R3sinAsinBsinC8R3sin2Asin2Bsin2C+1=14cosAcosBcosC+1≥3.

性質14"a（b1+c1）bc+b（c1+a1）ca+c（a1+b1）ab=6.

證明"由條件知a2（b1+c1）=（2RsinA）2（2Rsin2B+2Rsin2C）

=8R3sin2A（sin2B+sin2C）=4R3（1－cos2A）（sin2B+sin2C）等三式，

所以∑a2（b1+c1）=4R3∑（1－cos2A）（sin2B+sin2C）

=4R3［2∑sin2A－∑cos2A（sin2B+sin2C）］

=4R3［2∑sin2A－cos2A（sin2B+sin2C）－cos2B（sin2C+sin2A）－cos2C（sin2A+sin2B）］

=4R3［2∑sin2A－∑（sin2Bcos2C+cos2Bsin2C）］

=4R3［2∑sin2A－∑sin（2B+2C）］

=4R3（2∑sin2A+∑sin2A）=12R3∑sin2A=48R3sinAsinBsinC.

又abc=8R3sinAsinBsinC，所以∑a（b1+c1）bc=∑a2（b1+c1）abc=6.

性質15"a2a1+b2b1+c2c1≥33R.

證明"由條件知a2a1=4R2sin2A2Rsin2A=RtanA等三式，所以a2a1+b2b1+c2c1=R∑tanA.

又熟知∑tanA≥33，a2a1+b2b1+c2c1≥33R.

性質16"a1a2+b1b2+c1c2≥3R.

證明"由條件知a1a2=2Rsin2A4R2sin2A=1RcotA等三式，所以aa21+bb21+cc21=1R∑cotA.

又由于∑cotA≥3，所以a1a2+b1b2+c1c2≥3R.

性質17"∑b1c1（bc）2=1R2.

證明"因為b1c1（bc）2=4R2sin2Bsin2C16R4sin2Bsin2C=cosBcosCR2sinBsinC=1R2cotBcotC等三式，所以∑b1c1（bc）2=1R2∑cotBcotC=1R2.

性質18"（a1+b1）（b1+c1）（c1+a1）≤8abc.

證明"因為a1+b1=2R（sin2B+sin2C）=4Rsin（B+C）cos（B－C）=4RsinAcos（B－C），所以（a1+b1）（b1+c1）（c1+a1）=64R3sinAsinBsinCcos（A－B）cos（B－C）cos（C－A），所以（a1+b1）（b1+c1）（c1+a1）abc=64R3sinAsinBsinCcos（A－B）cos（B－C）cos（C－A）8R3sinAsinBsinC=8cos（A－B）cos（B－C）cos（C－A）≤8，則（a1+b1）（b1+c1）（c1+a1）≤8abc，

參考文獻

［1］周瑾.三角形的外接中點弧三角形的若干性質［J］.中學數學研究（江西），2024（6）：32-35.