對2024年天津高考卷第15題的解法探究

摘"要"本文通過分類討論以及分離參數(shù)兩種策略求解了2024年天津卷第15題，研究了此類問題的一般規(guī)律，并據(jù)此命制了變式問題.

關(guān)鍵詞"分類討論；參數(shù)分離；零點(diǎn)

通過梳理近幾年的天津卷試題可發(fā)現(xiàn)，其選擇或填空的壓軸題常常以函數(shù)的零點(diǎn)為背景，考察參數(shù)的取值范圍.此類問題涉及到的函數(shù)較為簡單，但參數(shù)與變量的結(jié)合較為“緊密”.解決此類問題通常有兩種策略：一是通過分類討論對函數(shù)進(jìn)行化簡求解；二是通過分離參數(shù)將范圍問題轉(zhuǎn)化為最值問題.2024年天津卷第15題便是此類問題，本文通過兩種策略研究了該問題，現(xiàn)將探究過程整理如下，以饗讀者.

一、試題分析

題目"若函數(shù)f（x）=2x2－ax－ax－2+1有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．

分析"通過零點(diǎn)的定義，原函數(shù)存在唯一零點(diǎn)等價(jià)于2x2－ax=ax－2－1，等價(jià)于函數(shù)g（x）=2x2－ax與函數(shù)h（x）=ax－2－1有且僅有一個(gè)交點(diǎn).兩個(gè)函數(shù)都較為“簡單”，但兩邊都含有參數(shù).可通過分類的思想，確定函數(shù)的圖象，從而求得交點(diǎn).對于函數(shù)g（x），其函數(shù)圖象為“雙曲線”的部分圖象，其參數(shù)a影響“頂點(diǎn)”的具體位置；函數(shù)h（x）為一個(gè)“V”形圖象，其參數(shù)a影響“V”的傾斜程度.如何進(jìn)行分類則成為本題的最大難點(diǎn)；其次，參數(shù)a與變量x深度融合，分離參數(shù)也較為困難.

二、解法呈現(xiàn)

解法1"（分類討論，確定圖象求解）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=2x，h（x）=1，則x=±12，不符合要求，舍去.

當(dāng)agt;0時(shí)，函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋ǎ?］∪［a，+）.函數(shù)h（x）的表達(dá)式為h（x）=ax－3，x≥2a，1－ax，xlt;2a.現(xiàn)考慮x∈（－，0］時(shí)的零點(diǎn).原函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方程2x2－ax=1－ax的解.上述方程等價(jià)于（4－a2）x2－2ax－1=2+ax+12－ax－1=0，當(dāng)a=2時(shí)，即4x+1=0，即x=－14，當(dāng)a∈0，2，x=－12+a或x=12－agt;0（舍）；當(dāng)a∈（2，+）時(shí)，x=－12+alt;0或x=12－alt;0，有兩解（舍）；由此可得當(dāng)a∈（0，2］時(shí)，原函數(shù)在（－，0］內(nèi)有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需要求原函數(shù)在［a，+）內(nèi)無零點(diǎn).

對于函數(shù)g（x），令gx=y=2x2－ax，化簡可得x－a22a24－y2a2=1（y≥0，x≥a）.其圖象為雙曲線右支且位于x軸上方的部分，其漸進(jìn)線為l：y=±2（x－a2）.

原問題轉(zhuǎn)換為“V”形圖象h（x）與雙曲線的交點(diǎn).考慮到參數(shù)a在函數(shù)h（x）中的幾何意義（直線的斜率），且有a∈（0，2］，則可得函數(shù)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)與雙曲線與x軸交點(diǎn)的位置關(guān)系.圖1等價(jià)于1alt;a，3agt;a，解得1lt;alt;3，如圖1所示.

當(dāng)alt;0時(shí)，函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋ǎ琣］∪［0，+）.函數(shù)h（x）的表達(dá)式為hx=ax－3，x≤2a，1－ax，xgt;2a.現(xiàn)考慮x∈［0，+）時(shí)的零點(diǎn)，原函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方程2x2－ax=1－ax的解.

同上述解法，可得，當(dāng)a∈（－2，0］時(shí)，原函數(shù)在［0，+）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需要求原函數(shù)在（－，a］內(nèi)無零點(diǎn).與上述構(gòu)造雙曲線的方式一樣同理可得a∈（－3，－1），過程略.綜上即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

評注"該解法求解的過程有兩個(gè)核心難點(diǎn)，一是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)；二是通過構(gòu)造雙曲線通過幾何視角研究零點(diǎn)的存在性.在具體的求解過程中，非常容易出現(xiàn)“遺漏”與“重復(fù)”，求解的難度較大.

解法2"（分離參數(shù)）經(jīng)過筆者的不斷探索，將原問題進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化才實(shí)現(xiàn)了參數(shù)分離，其本質(zhì)上是構(gòu)造了一個(gè)復(fù)合函數(shù).令ax=m，即有x=ma（將x視為關(guān)于m的一次函數(shù)）.此時(shí)f（x）=2m2a2－m－m－2+1.令g（m）=2m2a2－m－m－2+1，因?yàn)閤是關(guān)于m的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)g（m）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.但僅有一個(gè)“參數(shù)”，達(dá)到了消參的目的.實(shí)現(xiàn)了參數(shù)分離.

令g（m）=0，即2m2a2－m=m－2－1=m－3，m≥3，1－m，m≤1.此時(shí)進(jìn)行參數(shù)分離，上述方程等價(jià)于1a2=94m2－12m+14，m≥3，14m2+12m+14，m≤1.此時(shí)令t=1m，上述方程等價(jià)于1a2=94t2－12t+14，0lt;t≤13，14t2+12t+14，t≥1或tlt;0.

為了滿足原函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于上述方程僅有一個(gè)解.如圖2，顯然可得1a2∈（13，1），即可得a∈（－3，－1）∪（1，3）.

評注"該解法通過構(gòu)造一個(gè)單調(diào)函數(shù)所形成的復(fù)合函數(shù)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)與原函數(shù)相同.并同時(shí)將變量進(jìn)行了“集中化”處理.此外，該解法還涉及到分段函數(shù)的參變量分離［1］，需要分段構(gòu)造分離后的函數(shù)表達(dá)式.

三、變式探究

反思上述過程，原函數(shù)中的核心部分為根號下的二次函數(shù)以及絕對值中的一次函數(shù).為此筆者考慮更改參數(shù)的位置以及二次函數(shù)的運(yùn)算形式進(jìn)行變式探究.

變式1"若函數(shù)f（x）=ax2－x－ax－2+1有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．

變式2"若函數(shù)f（x）=ax2－x－ax－2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

變式3"若函數(shù)f（x）=ax－1－ax2－x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

以變式2為例求解如下：仿照上述解法2，令ax=m，即有x=ma（將x視為關(guān)于m的一次函數(shù)）.此時(shí)f（x）=m2－ma－m－2+1，令g（m）=m2－ma－m－2+1，因?yàn)閤是關(guān)于m的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)g（m）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.令g（m）=0，等價(jià)于m2－ma=m－2－1=m－3，m≥2，1－m，mlt;2.注意到當(dāng)m=1時(shí)，方程恒成立，m=0時(shí)，方程不成立.此時(shí)進(jìn)行參數(shù)分離，上述方程等價(jià)于1a=m－3m2－m，m≥2，－1m，mlt;2，（m≠1且m≠0）.

為了滿足原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于上述方程僅有一個(gè)解.如圖3，顯然可得1a∈（－，－1）∪（－1，0），即可得a∈（－，－1）∪（－1，0）.

參考文獻(xiàn)

［1］龍宇.解決含參分段函數(shù)問題的四種解法［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí).2021（4）.10-11.