對一道概率模擬試題的變式探究

摘"要"本文分析了一道以二項分布為背景的模擬試題，分別從質點運動方向以及概率等視角進行變式探究，為該板塊的教學提供了建設性參考.

關鍵詞"二次分布；條件概率；期望

一、問題呈現

題1"（人教A版選擇性必修三第87頁習題7.4第3題）如圖1，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位.共移動6次，求下列事件的概率.

（1）質點回到原點；（2）質點位于4的位置.

題2"（2024年佛山市第二次模擬測試第17題）如圖1，在一條無限長的軌道上，一個質點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設移動n次后質點位于位置Xn.（1）求P（X4=－2）；（2）求E（Xn）；（3）指出質點最有可能位于哪個位置，并說明理由.

分析"通過觀察易知題2源至于題1.題2是在題1的基礎上進行了優(yōu)化以及深入探究，題1的題干中提到了時間的因素，但是在解題的過程并沒有進行考察.在題2中優(yōu)化了該條件.其次，題1僅考察了特定的運動次數（6次）下，質點所在位置的概率，僅為題2中的第（1）問.題2的第（2）問考察了一般化運動次數下的期望值；第（3）問考察了在一般情況下，概率的最值問題.

題2是題1的完美升級版，體現了源于教材且高于教材的命題理念.其次，命題設問的規(guī)律也是從特殊到一般，幫助學生適應模型，搭建適當地腳手架，逐步深入到模型的本質.總體而言，試題設問合理，選擇的也是學生熟悉的背景，是一道難得的好題.因為兩題的背景一樣，本文在后續(xù)的解答中僅以題2為例進行解答.

二、解法分析

解決該問題的前提在于選擇恰當地隨機變量，題干刻意選擇質點的位置作為隨機變量，對考生而言有一定的誤導性.但是經過題1的訓練后，我們需要選擇在n次運動中“向左”或“向右”的次數作為基本的隨機變量.在以兩個變量間的線性關系式求得Xn的相關信息.

不妨設在n次運動中“向左”的次數為ξn，則可得向右的次數為n－ξn，則可得Xn=n－ξn－ξn=n－2ξn.根據題干信息，質點每次等可能地向左或向右移動一個單位，可得ξn～B（n，12）.

在第（1）問中，n=4，當X4=－2時，可得ξn=3.即P（X4=－2）=P（ξ4=3）=C34124=14.

對于第（2）問，根據二項分布的性質可知E（ξn）=n2，根據隨機變量間的線性關系可得E（Xn）=E（n－2ξn）=n－2E（ξn）=0.

對于第（3）問，P（ξn=k）=Ckn12n=Ckn2n，根據楊輝三角形的性質可知，當n為偶數，即k=n2時，Ckn取到最大值，對應的P（ξn=k）取到最大值，此時Xn=0，即可知質點最有可能位于0；

當n為奇數，即k=n+12或k=n－12時，Ckn取到最大值，對應的P（ξn=k）取到最大值，此時Xn=±1，即可知質點最有可能位于±1.

根據上述解答過程可知，問題中的質點只是在一個數軸上運動，兩個方向僅由一個隨機變量即可進行表示.

三、變式探究

經過探究，我們可以從以下三個方面對問題進行變式研究.

（ⅰ）將質點運動放置在平面上或立體空間中，研究多個方向上的運動規(guī)律

變式1"如圖2，在平面直角坐標系中，一個質點在隨機外力的作用下，從位置原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，設移動n次后質點位于位置（Xn，Yn）.

（1）求P（（X4，Y4）=（2，1））；（2）求E（Xn）+E（Yn）；（3）指出質點最有可能位于哪個位置，并說明理由.

簡解"設在n次運動中，“左右移動”的總數為k，“上下移動”的總數為n－k.不妨設在k次運動中“向左”的次數為ξn，則可得向右的次數為k－ξn，則可得Xn=k－ξn－ξn=k－2ξn.設在n－k次運動中“向上”的次數為ηn，則可得向下的次數為n－k－ηn，則可得Yn=ηn－（n－k－ηn）=2ηn+k－n.

易知ξn～B（k，12），ηn～B（n－k，12）.當（X4，Y4）=（2，1）時，（ξ4，η4）=（1，1），且k=3，對應的概率為P（X4，Y4）=P（（ξn，ηn）=（1，1））=C13122·C1112=316.

根據二項分布的性質E（ξn）=k2，E（ηn）=n－k2，可得E（Xn）=0，E（Yn）=0.從而可得E（Xn）+E（Yn）=0成立.

根據上述分析可知，質點所在的位置由質點向不同方向上的運動數量相關.歸根到底，其概率的最大值由左右運動總數以及上下運動總數的奇偶性決定.當n為偶數時，則可得k以及n－k的奇偶性相同，此時質點最有可能位于（0，0）或（±1，±1）；當n為奇數時，則可得k以及n－k的奇偶性不同，此時質點最有可能位于（0，±1）或（±1，0）.

筆者認為此時的第（3）問不適合作為測試的問題，在具體的考察中可通過確定部分條件進行考察.如明確左右運動的總數以及總的運動次數等等，對于空間類的變式即可類比推出，本文不再贅述.

（ⅱ）改變相應的概率值，將問題一般化

變式2"如圖1，在一條無限長的軌道上，一個質點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次均需向左或向右移動一個單位，設向左運動的概率為p，設移動n次后質點位于位置Xn.（1）求E（Xn）；（2）指出質點最有可能位于哪個位置，并說明理由.

簡解"根據上述分析，ξn～B（n，p），E（ξn）=np，根據隨機變量間的線性關系可得E（Xn）=E（n－2ξn）=n－2np=n（1－2p）.

對于第（2）問，P（ξn=k）=Cknpk（1－p）n－k，為了求得其最大值，令P（ξn=k）≥P（ξn=k－1）且有P（ξn=k）≥P（ξn=k+1），計算可得p（n+1）－1≤k≤p（n+1）.

當p（n+1）為整數時，p（ξn=k）的最大值有兩個，即當k=p（n+1）及k=p（n+1）－1時，原概率均取得最大值；當p（n+1）不是整數時，P（ξn=k）的最大值僅有一個，即當k=［p（n+1）］（［p（n+1）］表示p（n+1）的整數部分）時，原概率均取得最大值

再根據Xn與ξn間的關系，當p（n+1）為整數時，質點最有可能位于（1－2p）n－2p或（1－2p）n+2－2p；當p（n+1）不是整數時，質點最有可能位于n－2［p（n+1）］.

（ⅲ）增加條件概率及全概率公式，體現概率的應用性

變式3"如圖1，在一條無限長的軌道上，一個質點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次均需向左或向右移動一個單位，當上一次向左運動后，下一次再向左運動的概率為p；若上一次向右運動后，下一次向左運動的概率為q（q≠p）.第一次質點向左或向右運動的可能性相同，設移動n次后質點位于位置Xn.求E（Xn）.

簡解"設第i向左運動的概率為ai，則a1=12.當i≥2時，ai=pai－1+q（1－ai－1），整理得ai=（p－q）ai－1+q.計算可得{ai－q1+q－p}是首項為12－q1+q－p，公比為p－q的等比數列，據此可得ai=q1+q－p+12－q1+q－p·（p－q）i－1.

此時我們可將n次運動視為n個獨立的兩點分布，將第i次運動中向左運動記為1，向右運動記為0，第i次運動的期望記為E（i）=ai.經過n次兩點分布的疊加，在n次運動中總的向左運動的次數ξn的期望E（ξn）=∑ni=1E（i）=qn1+q－p+（1－q－p）［1－（p－q）n］2（1+q－p）2.

再根據Xn與ξn的關系得E（Xn）=（1－p－q）n1+q－p－（1－q－p）［1－（p－q）n］（1+q－p）2.

在該視角的設問中，筆者沒有研究質點最有可能位于哪個位置.與視角二中的問題相比，視角二中的問題為二項分布，即n個相同的兩點分布進行的疊加；而在視角三中則是n個不同的兩點分布進行的疊加，在n次運動中總的向左運動次數的概率表達式過于復雜.筆者認為不適合作為學生的練習，本文就放棄了對該問題的探究.

在具體的變式練習中，可將上述三種思路進行疊加，即在平面狀態(tài)下考慮一般概率或條件概率時的情況，從而命制出新的變式問題，本文不再繼續(xù)探究.

四、教學建議

通過學生考試后的數據分析，學生在本題的得分率并不理想.究其原因主要在于對背景的理解不夠深入，無法識別出其中所蘊含的二項分布.

但通過挖掘教材發(fā)現了該模擬試題源自于課本，說明我們在復習備考的過程中對教材的重視程度不足，過于重視教輔資料.高考題都是源于教材，且高于教材的試題，建議在復習備考的過程中，重視課本習題的訓練與掌握.

其次，在原有教材習題的基礎上，還需要掌握一定的變式研究的能力.

最后，對于研究變式問題，筆者認為有如下幾種基本范式供大家參考：（1）改變試題中的參數：如將“一維”改為“二維”，將特殊轉化成一般；（2）更改題干與問題的位置；（3）加入新的知識點，設置新的考點；（4）從問題中抽象出解題方法，將其遷移至其他問題；（5）領悟問題中所蘊含的數學思想，將該思想遷移至其他情境中，命制出新的問題.