韋恩圖視角下的條件概率

摘"要"條件概率是概率論中重要的概念之一，也是概率統計教學中的一個難點.本文理論結合實際給出了處理條件概率相關問題的一般技巧.

關鍵詞"條件概率；幾何意義；韋恩圖

一、情景引入

百分之六十的人喜歡滑雪，百分之五十的人喜歡滑冰，百分之七十的喜歡滑雪或滑冰，問一個人在喜歡滑冰的前提下，他又喜歡滑雪的概率是多少？

這是條件概率問題，我們在處理條件概率時通常從定義出發，用形式推演得到結果.形式推演當然是必要的，但有時用形式推演得到的結果，很多時候反映不出實際意義.

二、分析總結

1.條件概率的定義：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且PA＞0，我們稱PB|A=PABPA為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率，簡稱條件概率.特別地，當PB|A=PB時，A，B相互獨立，則PAB=PAPB.

事件的概率尤其條件概率是相對抽象的，在概率論中常用一些術語、記號（如韋恩圖）來描述事件間的關系和運算，所以對事件概率的一些相關概念，也可以借助韋恩圖來幫助理解，從而達到化抽象為直觀、化難為易的效果.

隨機試驗的樣本空間是一個集合，事件與樣本空間的子集相對應，借助韋恩圖可以直觀表示兩個事件間的關系.

若A，B兩個事件有包含關系，如圖1、圖2；若A，B兩個事件為互斥關系，如圖3；特別地，若兩個事件為對立事件，如圖4，若兩個事件有交集，如圖5.

韋恩圖不僅可以直觀地表示兩個事件的關系，還可以借助韋恩圖來計算條件概率，但是因為條件的出現，所以計算概率時，樣本空間應縮小到符合條件的情況.

我們常常從縮小樣本空間的角度來研究條件概率，這時的條件概率就呈現了幾何意義.

例如，要計算事件A發生條件下事件B發生的概率，那么此時符合條件的新樣本空間應為事件A，所以P（B|A）可以看成新樣本空間A下事件B發生的概率，而由圖6可知，事件A發生的條件下，若事件B也要發生，則試驗的結果應為A∩B，所以P（B|A）=mABmA.同理P（A|B）=mABmB，如圖7.

古典概型下通常可以列出樣本點，但有的時候，我們不一定能列出樣本點，那么對應的集合中的元素也無法確定，此時又該如何解決條件概率呢？

其實還是一樣的，雖然樣本點個數不知，但一個事件所包含的樣本點個數除以樣本空間所包含的樣本點個數就是事件發生的（條件）概率，于是我們就得到如下的條件概率縮小樣本空間的求法.

2.條件概率的幾何意義：

P（B|A）表示圖8中積事件AB所占面積與事件A所占面積的比例.

回到情景引入， 令事件A為“一個人喜歡滑雪”，事件B為“一個人喜歡滑冰”，那么“喜歡滑雪或滑冰”為事件A∪B，

“既喜歡滑冰又喜歡滑雪”則為事件AB，所以一個人在喜歡滑冰的前提下，又喜歡滑雪的概率為P（A|B）.假設樣本空間Ω有100人，由題可知事件A中有60人，圖9

即Ⅰ區域和Ⅱ區域共有60人，事件B有50人，如圖9，即Ⅱ區域和Ⅲ區域共有50人.又因為事件A∪B中有70人，即Ⅰ區域、Ⅱ區域和Ⅲ區域共有70人，設Ⅱ區域中有x人，則有60+50－x=70，解得x=40，所以有40個既喜歡滑冰又喜歡滑雪的人.而由韋恩圖可知P（A|B）為Ⅱ區域在事件B中所占的比例，所以P（A|B）=4050=0.8.

提煉總結：

①用韋恩圖可直觀地表達樣本空間；

②用韋恩圖來表示事件間的關系，把復雜的事件分解成簡單的事件；

③求對應事件在縮小的樣本空間區域的比例.

在研究條件概率的過程中，可以巧妙地用韋恩圖將抽象定義圖形化、直觀化.直觀上幫助初學者理解某些概念、尋找解題思路.

三、鏈接考試

例1"設PA|B=PB|A=13，P=14，則PB=（""）.

A.23"""B.14""""C.34""""D.13

解析"韋恩圖（如圖10）中的Ⅱ區域為事件A與事件B的公共部分AB.

設PB=x，因為PA|B=13，所以Ⅱ區域占整個B事件的13，那么Ⅱ區域的概率為13x，則Ⅲ區域的概率為x－13x=23x，又因為PB|A=13，所以Ⅱ區域占整個事件A的13，那么Ⅰ區域占整個A事件的23，也即Ⅰ區域的概率為Ⅱ區域的2倍，等于23x，于是PA=13x+23x=x=34，所以PB=x=34.故選C.

例2"已知P（）=13，P|A=12，PB|=14，則PB=（""）.

A.712"""B.724"""C.512"""D.524

圖11

解析"韋恩圖（見圖11）中的Ⅰ區域為事件A與事件的公共部分AB，Ⅱ區域為事件A與事件B的公共部分AB，Ⅲ區域為事件與事件B的公共部分B，Ⅳ區域為事件與事件的公共部分A∪B.全集Ω的區域總面積可以看成1，因為P（）=13，所以P（A）=23，那么事件A所在區域的面積可以看成23.

設Ⅱ區域的面積為x，由于PB|A=12，所以Ⅰ區域占整個事件A的12，那么Ⅰ區域和Ⅱ區域各占事件A的一半，它們的面積相等，均為x，所以有x+x=23，解得x=13.又因為PB|=14，所以Ⅲ區域占整個事件的14，若設Ⅲ區域的面積為y，因為事件由Ⅲ區域和Ⅳ區域組成，那么Ⅳ區域的面積為3y，有y+3y=13，解得y=112.由于事件B為Ⅱ區域和Ⅲ區域之和，所以事件B的面積為x+y=13+112=512，故P（B）=13+112=512.故選C.

例3"設PA=14，PB|A=13，PA|B=12，則PA+B=______.

解析"PA+B是韋恩圖（見圖12）中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域的概率之和，其中Ⅰ區域即事件A與事件B的公共部分AB，Ⅱ區域即事件A與事件B的公共部分AB，Ⅲ區域即事件A與事件B的公共部分AB.

因為PB|A=13，所以圖中的Ⅱ區域占事件A的13，于是Ⅱ區域的概率為13P（A）=13×14=112，所以圖中Ⅰ區域的概率為P（A）－112=16，又因為PA|B=12，所以Ⅱ區域占事件B的12，于是圖中Ⅲ區域的概率等于Ⅱ區域的概率等于112，故PA+B=16+112+112=13.

評析"韋恩圖計算條件概率，分析簡潔直觀，不易出錯，關鍵就是要將各事件的概率用圖形的面積表示，有助于把復雜的事件分解成簡單的事件從而對條件概率有著直觀的理解，對條件概率計算起到化繁為簡的作用.

四、鞏固練習

題1"若B， C是互斥事件且PB|A=13，PC|A=14，則P（B∪C）|A=（"）.

A.12"""B.13"""C.310"""D.712

解析"P（B∪C）|A為事件B、C與事件A的公共部分的概率之和，即韋恩圖（見圖13）中的Ⅱ和Ⅰ區域占事件A的比例之和，

若設P（A）=x，因為PB|A=13，PC|A=14，所以韋恩圖中Ⅱ區域和Ⅰ區域分別占事件A的13和14，于是Ⅱ區域的概率為13x，Ⅰ區域的概率為14x，所以P（B∪C）|A=13x+14xx=712.

題2"設P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5，則P（B|（A+B））=______.

解析"如圖14，A為韋恩圖中的Ⅰ區域，AB為韋恩圖中的Ⅱ區域，B為韋恩圖中的Ⅲ區域，Ⅳ區域為事件與事件的公共部分A∪B，所以Ⅰ區域的概率為0.5，因為Ⅰ區域和Ⅱ區域之和為事件A，且P（A）=1－P（）=0.7.所以Ⅱ區域的概率為0.7－0.5=0.2.又因為Ⅱ區域和Ⅲ區域之和為事件B，且P（B）=0.4，所以Ⅲ區域的概率為0.4－0.2=0.2.由于P（）=0.3，所以圖中的Ⅲ區域和Ⅳ區域的概率之和為0.3.于是Ⅳ區域的概率為0.3－0.2=0.1.而因為A+為Ⅰ區域、Ⅱ區域、Ⅳ區域之和，所以P（B|（A+））為Ⅱ區域與Ⅰ區域、Ⅱ區域、Ⅳ區域之和的比值，即P（B|（A+））=0.20.5+0.2+0.1=0.20.8=14.