由一道?？碱}教學談高效試卷講評課

摘"要"本文從一道高三?？碱}的多解探究說起，展示尋求最優解的教學過程，并將此方法運用于其它試題，最后給出了打造高效試卷講評課的幾點建議.

關鍵詞"?？碱}教學；解法優選；類題串練；講評課

試卷講評課是指教師針對學生的試卷表現，對試卷內容進行系統深入的分析和點評的教學活動.這一課型中，教師進行有針對性分析，旨在幫助學生識別知識漏洞、完善知識結構，并進一步提升解題技巧和學習策略的運用能力.通過講評，學生不僅能夠更深入理解知識要點，掌握解題思維邏輯，還能夠鞏固所學內容，實現知識的再整理和再運用.

近期我市組織了一次高三?？?，其中填空的最后一題涉及解三角形問題，大部分考生都采用了正（余）弦定理處理，計算繁瑣，而筆者認為其優解應是解析法或三角代換.基于此，本文探究此題解答，并對高效試卷講評課談幾點建議.

題目"（2024屆南通四模第14題）在梯形ABCD中，AB∥CD，DA=DB=DC=1，則該梯形周長的最大值為______.

1.解法探析

解法1"（由邊設角，利用余弦定理，用角表示目標中的邊轉化為求三角函數最值）設∠BAD=∠BDC=α，α∈0，π2，則∠ADB=π－2α.在ΔABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB=4cos2α，即AB=2cosα.

在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=DC2+DB2－2DC·DBcos∠BDC=4sin2α2，即BC=2sinα2.所以AB+BC=－4sin2α2+2sinα2+2.因為α∈0，π2，所以α2∈0，π4，故sinα2∈0，22，則當sinα2=14時，AB+BCmax=94，所以該梯形周長的最大值為94+2=174.

方法2"（由邊設角，利用余弦定理，消角“留”邊，轉化為某條邊的二次方程，用判別式法求解）

設∠BAD=∠BDC=α，∠ADB=β，α，β∈0，π2，AB=x，BC=y，x+y=t，則2α+β=π，所以cos2α+cosβ=0，即2cos2α－1+cosβ=0.由余弦定理得21+1－y22×1×12－1+1+1－x22×1×1=0，即x2=2－y22.因為α∈0，π2，所以cosα=1+1－y22×1×1＞0，即2－y2＞0，所以x=2－y2.因為x+y=t＞0，所以y2－y+（t－2）=0，由Δ≥0，得0＜t≤94，即AB+BCmax=94，所以該梯形周長的最大值為94+2=174.

解法3"（視D為定點，A，B，C為動點，聯想到圓的定義）建立平面直角坐標系，設D（0，0），C（1，0），B（x，y）0＜x，y＜1，則x2+y2=1且A（－x，y），所以AB+BC=2x+x－12+y2=2x+2·1－x.令1－x=t∈0，1，所以AB+BC=－2t2+2t+2，當t=24時，AB+BCmax=94，所以該梯形周長的最大值為94+2=174.

解法4"（點A，B，C在以點D為圓心的單位圓上，可采用三角代換）建立平面直角坐標系，設D（0，0），C（1，0），B（sinα，cosα），α∈0，π2.因為∠ADC=π－α，所以B（－sinα，cosα），故AB+BC=2sinα+sinα－12+cos2α=2sinα+2－2sinα.令2－2sinα=t∈0，2，所以AB+BC=2－t2+t，當t=12時，AB+BCmax=94，所以該梯形周長的最大值為94+2=174.

評注"求三角形（或四邊形）中邊（或角）的最值（或范圍）時，一般有兩種思路：一是轉化為某個角的三角函數（如方法1）；二是轉化為某條邊的函數（如方法2）.事實上，當涉及“邊角”問題時，嘗試用解析法（如方法3）或三角代換（如方法4）處理，更為簡捷.

2.訓練

（2024屆南通州4月質檢）ΔABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，M為BC的中點，延長AM與△ABC的外接圓交于點D，則BD+CD=______.

優解"建立平面直角坐標系后，設A0，0，C1，0，B－1，3，M0，32，ΔABC的外接圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0，得D=－1，E=－533，F=0，所以x2+y2－x－533y=0，因為xB+xC=0，所以令x=0，則D0，533，故BD+CD=21.

3.教學建議

3.1找準方法，揭示本質

試題類型不同，答題方法各有差異，倘若僅校正答案，雖然學生知道答什么，但不清楚為什么這樣答，對出錯的原因和以后怎樣避免出錯也不清楚，因此講評時應加強答題方法指導.指導學生學會讀題、審題、理解題意，把握答題方向；指導學生厘清步驟，注意答題的條理性和規范性；指導學生答題速度，并能在試題難度較大的情況下，予以靈活應對.

3.2回歸課本，落實四基

閱卷時，應發現學生能否正確運用課本上的基本概念和基本規律；講評時，應把每個試題都納入知識體系中，緊扣課本，分析講解，讓學生根據課本的知識和原理對號入座，找到錯誤的緣由，當堂糾正.這樣講評能給學生留下深刻印象，促使學生系統牢固地掌握和靈活地應用課本知識.

3.3 雙向溝通，提質增效

講評中要充分發揮學生的主體作用，多讓學生自己講.對跨度大、綜合性強、學生感到困難的試題，先讓學生討論，在此基礎上由教師點評，形成參考答案.這樣有利于充分調動學生思維的積極性和敏捷性，從而提高其分析問題和解決問題的能力.總之，試卷講評課要讓學生發現自己錯誤和找尋最優解法，將課堂還給學生，講評在重點、難點、疑點、關鍵點、學生易錯點、知識生長點等，從而產生糾正錯誤、鞏固知識、拓寬思路、提高能力的教學效果.

基金項目：南通市教育科學“十四五”規劃2021年度課題“提高農村高中數學講評課有效性的適切策略研究”（編號：QN2021073）