基于改進距離函數(shù)的概率猶豫模糊多屬性群決策

摘要：概率猶豫模糊集能精準地描述方案相對于屬性取值的猶豫性概率分布，因而在決策分析中占有重要地位。在多屬性群體決策中，利用方案間的相似性和距離函數(shù)，可以依據(jù)方案的代表性的強弱進行有效排序。若結(jié)合現(xiàn)有的排序結(jié)果，還可改進最優(yōu)方案。為此，本文探討概率猶豫模糊系統(tǒng)中基于代表性強弱的多屬性群決策問題。本文首先提出了基于對數(shù)的距離函數(shù)，并利用余弦相似度與杰卡德相似系數(shù)構建了綜合相似度。然后，利用基于對數(shù)的距離函數(shù)改進專家的客觀權重，并與主觀相結(jié)合計算專家的綜合權重。同時在群共識的基礎上，針對代表性提出了基于相似度均值的綜合決策矩陣的正、負理想解。并結(jié)合基于對數(shù)的距離函數(shù)計算屬性權重。最后，利用貼進度法給出群共識下基于代表性強弱的備選方案的排序方法。在實例驗證環(huán)節(jié)，與傳統(tǒng)多屬性群決策模型進行對比分析，驗證了本文所提出模型的可行性和有效性。同時本模型的結(jié)果與傳統(tǒng)排序相結(jié)合可以得到最優(yōu)方案選擇。

關鍵詞：綜合相似度；基于對數(shù)的距離函數(shù)；權重；群共識；逼近理想解法

中圖分類號：O225；O159 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2025）01-0101-19

0 引言

在當今通信技術和科學技術飛速發(fā)展的背景下，信息表示日益多元化且復雜度不斷提升，這種復雜性不斷沖擊著人類的認知。如何在龐雜的信息表示中獲取有用信息，指導人類做出合理決策成為一個非常有意義的課題。而面對這一課題需要綜合考慮信息描述和度量問題、最優(yōu)信息選擇問題。

在上述問題中，適當數(shù)據(jù)表示形式在決策分析中占有非常重要的地位。在信息處理過程中，我們經(jīng)常會遇到不完備和不確定的數(shù)據(jù)，因此涌現(xiàn)出了一些新的軟計算工具，其中模糊集的優(yōu)勢尤為明顯。1965 年Zadeh 發(fā)表的具有開創(chuàng)意義論文《模糊集合》［1］，標志著模糊數(shù)學的誕生，在此書中詳細研究了模糊集理論和處理模糊現(xiàn)象的方法。在模糊集中，隸屬函數(shù)是［0，1］上的連續(xù)函數(shù)，用于度量描述信息的模糊度或者不精確度［2］，并將布爾二值邏輯擴展為模糊邏輯。模糊集理論應用廣泛，從工程科技到社會人文科學均有研究成果［3］。在決策問題中，模糊理論能更準確高效地反映專家的偏好信息。由于模糊隸屬度取值存在多種可能，西班牙學者Torra 在模糊集的基礎上提出了猶豫模糊集［4］的概念，該方法利用多個隸屬度刻畫模糊信息，更加精準地表達專家的評價。在決策分析中，猶豫模糊集也更全面地呈現(xiàn)專家的決策信息，從而提升決策結(jié)果的科學性和可信度。近年來，猶豫模糊集理論成功地應用于生物［5］、航空［6］、物流［7］、教育［8］等領域。

在探討決策與不確定信息表達的過程中，猶豫模糊集因無法全面反映專家對隸屬度的偏好差異而面臨局限性。為此，2014 年，朱斌創(chuàng)新性地引入了概率猶豫模糊集［9］。該集合通過為隸屬度賦予概率值，精確描繪了專家決策信息及偏好特征，并且概率猶豫模糊集已在決策分析［10］和模式識別等領域得到了廣泛應用。為了進一步豐富理論體系，Zhang 等將概率猶豫模糊元擴展到隸屬度的概率之和不等于1 的情形［11］，擴展了模糊集理論的應用范圍。除此之外，為了拓寬概率猶豫模糊集的應用，學者們還深入研究了概率猶豫模糊元的均值、方差、期望一致性［12］，以及概率猶豫模糊集的相關系數(shù)［13］、距離測度［14-16］和相似度［17］。同時，Su 等構建了熵度量［18］方式，Batool 等在畢達哥拉斯概率猶豫模糊集上構造了熵函數(shù)［19］。由此可見，概率猶豫模糊系統(tǒng)上的知識獲取已成為一大熱門問題。

現(xiàn)實中的決策問題還需要匯聚多位專家的綜合評判以確定最優(yōu)方案。而多屬性群決策（Multi?Attribute Group Decision Making，MAGDM）就是在綜合考慮多個專家意見的基礎上，對有限的備選方案進行排序，從而解決最優(yōu)方案選擇問題。在多屬性群決策中，常用方法包括模糊綜合評價法［20］、熵權法［21］、逼近理想解法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOP?SIS）［22］。這些方法在管理學、數(shù)學、工程和復雜經(jīng)濟學中具有重要地位，并廣泛應用于政治、軍事等領域［23］。為了克服多個專家決策信息的分歧問題，在多屬性群決策中引入了群共識方法，這一方法有利于最優(yōu)決策結(jié)果的獲取。目前群共識模型包括基于愿景的動態(tài)多屬性群決策共識模型［24］、利用概率語言基于后悔理論和共識集［25］以及基于證據(jù)理論和Vague 集［26］的動態(tài)決策方法。除此之外，多屬性群決策方法還可以集成多個屬性、時間節(jié)點、專家意見和備選方案，提升決策的合理性和科學性。通過集成多方信息，幫助決策者更全面地分析各種因素，從而做出更加理性和科學的決策。因此，在多屬性群決策中，對群共識后的不同專家的意見和多維度的屬性進行綜合評估，可以實現(xiàn)對決策的精確優(yōu)化，同時，方案的代表性也是一個重要的衡量標準，因此本文希望考慮在群共識條件下基于代表性強弱的多屬性群決策模型。

隨著多屬性群決策研究的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了適應不同決策環(huán)境的模型。例如，在畢達哥拉斯模糊集［27］、畢達哥拉斯區(qū)間模糊數(shù)［28］的背景下。近年來，在猶豫模糊信息系統(tǒng)中多屬性群決策的研究不斷深入。例如，王新鑫等探討了專家和屬性權重未知的情況下進行決策分析和方案排序問題［29］，朱國成等通過改進貼進度提出了新的決策模型［30］。陜振沛等利用猶豫模糊熵［31］得到專家權重，同時使用指數(shù)熵確定屬性權重，進而基于相對貼進度對備選方案進行排序。并且將多屬性群決策研究推廣到概率猶豫模糊環(huán)境下。朱國成等針對概率猶豫模糊集多屬性群決策問題構建了兩種算法［32］。Wang 等根據(jù)熵與距離測度［33］構建了一種新的多屬性群決策模型。華維燦等基于相似度構造了交互式群方法［34］。由于概率猶豫模糊集能更全面準確地表達專家的意見，因此，本文旨在優(yōu)化概率猶豫模糊數(shù)的距離函數(shù)與相似性度量方法，使其在群共識下實現(xiàn)基于代表性的多屬性群決策分析。

本文的結(jié)構組織如下：第1 節(jié)，回顧模糊集、猶豫模糊集、概率猶豫模糊集以及余弦相似度相關的概念。第2 節(jié)，首先構造概率猶豫模糊元之間的基于對數(shù)的距離函數(shù)，其次根據(jù)相似性度量以及杰卡德相似系數(shù)提出綜合相似度，并定義概率猶豫模糊元的得分函數(shù)。第3 節(jié)，通過新構造的距離函數(shù)修訂專家權重。根據(jù)群共識方法修訂專家的決策矩陣，并基于平均綜合相似度構造正負理想解。然后計算屬性權重，給出相關的多屬性群決策算法。第4 節(jié)，給出實際例子來說明所提出方法的可行性和有效性。

1 預備知識

本節(jié)首先回顧概率猶豫模糊集、距離測度、余弦相似度的相關知識，為后續(xù)討論奠定理論基礎。

1.1 概率猶豫模糊集

步驟7：確定備選方案的貼進度。然后進行基于代表性強弱的排序。這里的貼進度采用了Ou等［43］定義的貼進度公式：Ξi =1／2（ d－i／d－max+d+min／d+i ），其中dmax= max i = 1，2，…，m{di}，d+min = min i = 1，2，…，m {d+i }。

步驟8：按照貼進度從大到小對備選方案進行排序。具體流程如圖1 所示。

4 通過實際案例進行算法的驗證

4.1 汽車安全性能排序

隨著社會的進步，汽車已成為家庭必備的交通工具。而汽車的安全性能是購買汽車的一項重要指標，因此，我們基于汽車的安全性能考慮最具代表性的排序方案。我們采用了文獻［44］中購買汽車實例進行討論。假設幾位汽車安全專家要評估幾種車型的安全性能：別克（x1）、豐田（x2）、福特（x3）、奧迪（x4）和特斯拉（x5）。其中汽車的安全性能是由五個屬性決定的，設C ={c1，c 2，…，c5 }，其中c1 表示制動系統(tǒng)，c2 表示防抱死系統(tǒng)，c3 表示車輛穩(wěn)定系統(tǒng)，c4 表示輔助約束系統(tǒng)，c 5 表示車身板。三位安全專家D ={D1，D2，D3 }使用概率猶豫模糊元進行評估五種車型，如表4—表6 所示。專家的主觀權重設為η = {0.4，0.4，0.2}，ζ = 0.06。

算法步驟準備：

第一步：首先對表4— 表6 專家決策矩陣當中的概率進行歸一化處理，然后計算專家的綜合權重。

1） 根據(jù)4.1 節(jié)，首先通過公式（5）計算出各個專家之間的距離。

d （M 1，M 2 ）= 0.582 8，d （M 1，M 2 ）= 0.592 5，d （M 2，M 3 ）= 0.533 7。

2） 判斷專家之間的一致程度，并計算出各個專家之間的權重調(diào)節(jié)系數(shù)。

ρ12 = 0.478 0，ρ13 = 0.473 9，ρ 21 = 0.504 1，

ρ23 = 0.526 1，ρ31 = 0.495 9，ρ 32 = 0.522 0，

ρ1 = 0.475 9，ρ 2 = 0.515 1，ρ 3 = 0.508 9。

3） 根據(jù)公式（12）計算出各個專家的綜合權重。 θ1 = 0.382 1，θ2 = 0.413 6，θ3 = 0.204 3。本文保留一位小數(shù)，θ1 = 0.4，θ2 = 0.4，θ3 = 0.2。

第二步：根據(jù)3.2 節(jié)群體共識，計算專家的共識決策矩陣，并修訂1 次專家的決策矩陣，得到群共識決策矩陣如表7—表9 所示。

第三步：由（2）式，將修訂后的決策矩陣進行整合得到綜合專家決策矩陣（rij ） 如表10 所示。

第四步：通過綜合相似度公式（10）和公式（11），計算綜合得分矩陣，如表11 所示。

第五步：根據(jù)表11，我們可以得出正理想解為r+ = {r51，r32，r 53，r 24，r55 } ，負理想解為r- ={r41，r 52，r 23，r14，r15 }。

第六步：利用公式（17）中，計算屬性權重ω = （0.184 2，0.245 7，0.315 1，0.101 8，0.153 2）。

第七步：計算備選方案到基于代表性的正負理想解的距離d+

d+1 = 0.173 5，d+2 = 0.163 1，d+3 = 0.161 3，d+4 = 0.188 7，d+5 = 0.142 6；

d-1 = 0.149 8，d-2 = 0.195 6，d-3 = 0.170 6，d-4 = 0.190 7，d-5 = 0.140 1。

第八步：根據(jù)貼進度公式計算每個方案的貼進度。

Ξ1 = 1.872 2，Ξ2 = 2.245 7，Ξ3 = 2.080 4，Ξ4 = 2.092 9，Ξ5 = 1.981 8。

第九步：根據(jù)貼進度從大到小對備選方案進行基于代表性的排序。最終排序為Ξ1 lt; Ξ5 lt;Ξ3 lt; Ξ4 lt; Ξ2。表明安全性能方面代表性最好的車是豐田x2。

4.2 綜合分析

為了證明所提出的方法的可行性及有效性，我們將本文的方法與前景理論方法、相對熵結(jié)合TOPSIS 法、前景理論TOPSIS 法等幾種方法進行了對比分析，結(jié)果如表12 所示。其中本文方法記為BW，其中數(shù)據(jù)已經(jīng)過歸一化處理，而前景理論法QJ，相對熵TOPSIS 法ET，前景理論TOPSIS法QT，本文不考慮群共識方法BN 均未通過概率歸一化處理。

從表12 中可以看出，根據(jù)不同的距離測度基于方案優(yōu)勢排序，基本都是x4 排在第一或第二的位置，所以可以得出結(jié)論：購買x4 品牌的車的安全性能相對較高一些。而本文考慮的是基于代表性排序，此時x2 對安全性能的代表性最好，x4 的代表性相對較好，綜合可知x4 作為最優(yōu)選擇方案更合適。

與前景理論方法相比，本文屬性權重的確定是通過主客觀結(jié)合的方法來求解，且在屬性權重未知的情況下，對專家的權重系數(shù)進行了一致性的調(diào)節(jié)，從而更加側(cè)重于客觀性的提升。再加上排序的側(cè)重不同，數(shù)據(jù)進行了歸一化處理，因此產(chǎn)生差異，本文所提出的方法得出的排序結(jié)果為豐田x2，而采用前景理論的方法的排序結(jié)果為特斯拉，但兩者綜合可知x4 更優(yōu)。

相對熵TOPSIS 法與本文的方法得出的最優(yōu)結(jié)果不相同，這可能是由于本文方法在調(diào)節(jié)了專家權重系數(shù)的基礎上，再加上排序側(cè)重不同，綜合分析x4 更優(yōu)。

前景理論TOPSIS 法和本文提出的方法的排序結(jié)果不同，這可能是因為本文在前景理論TOP?SIS 方法基礎上，除排序側(cè)重不同之外，還額外考慮了專家決策的相似度，進一步區(qū)分了專家的主觀影響，從而導致排序結(jié)果的不同，但綜合兩種排序后，最優(yōu)選擇還是x4。

為了進一步的驗證本文所提出算法的可行性和有效性。我們對比分析了不同數(shù)據(jù)集。鑒于以下兩個數(shù)據(jù)集僅提供了綜合決策矩陣，我們在此假設它們已經(jīng)滿足了專家共識的條件。

引用了某公司選址實際案例［45］進行分析，排序結(jié)果如圖2 所示。根據(jù)劉夢迪等［45］改進的距離函數(shù)算法，排序結(jié)果為x1 gt; x3 gt; x4 gt; x2，最優(yōu)備選方案為x1。使用本文算法得到的排序結(jié)果為x2 gt; x4 gt; x1 gt; x3。由于本文的專家權重結(jié)合了主觀和客觀因素，而原文僅采用主觀權重，因此通過相同的主觀權重結(jié)合本文算法，得到的排序結(jié)果為x1 gt; x4 gt; x3 gt; x2 且原始數(shù)據(jù)的排序居中的方案代表性強。由此可見，屬性權重對排序結(jié)果有顯著影響。因此本文排序合理并且主客觀結(jié)合的權重形式得到的排序更合理。

通過引用歐陽金鵬［46］的在線會議軟件評估數(shù)據(jù)集，我們進行驗證分析并得到圖3。原文采用優(yōu)勢度差異構造正負理想解。盡管原文與本文在備選方案的排序上存在差異，但兩者所確定的最優(yōu)備選方案是一致的。排序差異主要源于原文使用的距離函數(shù)不一樣，并且主觀設定了θ 值進行調(diào)節(jié)，這在一定程度上限制了方法的客觀性。而本文通過采用對數(shù)函數(shù)構建距離函數(shù)，并結(jié)合主客觀方法調(diào)整專家權重，有效減少了主觀影響，增強了方法的客觀性和穩(wěn)定性。

4.3 較大數(shù)據(jù)集分析

為了進一步的驗證本文算法的有效性，我們引入了Renjith［47］提供的UCI 數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集包括對東亞地區(qū)的10 個類別的目的地的評論。為了適配本文的概率猶豫模糊信息系統(tǒng)，本文首先將UCI數(shù)據(jù)集以245 列為一組均分為四個專家背景。每個專家背景包含49 列作為一個猶豫模糊元，隨后，我們對每個猶豫模糊元進行了歸一化處理，并對10 個目的地進行均值計算，處理結(jié)果如圖4 所示。其中，橫坐標表示專家的數(shù)據(jù)個數(shù)，縱坐標表示專家歸一化后的數(shù)據(jù)的值。接著，我們通過函數(shù)為每個值隨機賦予0 到1 之間的概率值，然后令η =[ 0.25，0.25，0.25，0.25 ]，ζ = 0.5，σ = 0.8，運用公式（3）構造綜合專家決策矩陣，如圖5 所示。最終，通過計算得到了排序結(jié)果，如圖6 所示，并選擇了備選方案為x3 作為代表性最好。

通過對UCI 較大數(shù)據(jù)的運算，證明了我們這個算法對于較大數(shù)據(jù)是可行的。

5 結(jié)論

本文針對多屬性群決策問題，提出了一種融合概率猶豫模糊集的群共識下的基于代表性的綜合決策模型。該模型以基于對數(shù)的距離函數(shù)和結(jié)合杰卡德相似系數(shù)提出的相似度度量為基礎，將專家的主觀權重與客觀權重相結(jié)合構建了更加客觀的綜合專家權重，以及屬性權重分配方法。并在專家決策存在差異時，利用專家群共識方法，得到共識綜合決策矩陣。在此基礎上，借助新的距離函數(shù)，改進正負理想解的獲取方法，進而實現(xiàn)基于代表性強弱的方案排序。通過實例分析發(fā)現(xiàn)，該模型在概率猶豫模糊環(huán)境下能夠有效獲得代表性最強的方案，并且該方法可行、有效。然而，本研究仍存在一些局限性。例如，探究如何在不完備的概率猶豫模糊信息系統(tǒng)中應用該模型，以應對更多復雜的決策需求。

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基金項目：國家自然科學基金（62076088）；河北省自然科學基金（A2020208004；A2021210027）