變精度模型構建的知識結構

摘要：如何構建知識結構是知識空間理論研究的熱點。α-變精度模型有效融合析取和合取兩種模型構建知識結構。本文基于α-變精度模型提出了三種γ-變精度模型，探討了其構建知識結構的性質，并研究了四種變精度模型之間的聯系；其次，本文通過研究矩陣乘法與技能包含度的關系，提出了基于變精度模型的矩陣方法來構建知識結構，并設計了相應算法；最后，選取七個數據集進行實驗，對比了本文算法與變精度模型現有算法在構建知識結構上的性能，實驗結果顯示，本文算法明顯減少了運行時間，特別在處理較大數據集時更為明顯。

關鍵詞：知識空間理論；技能映射；析取模型；合取模型

中圖分類號：TP182 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2025）01-0043-12

0 引言

知識空間理論（Knowledge Space Theory，KST）作為數學心理學的一種新范式由Doignon 和Fal?magne 于1985 年提出［1-3］。該理論的最初目的是建立一個有效的知識評估機制。目前，該理論為知識評估提供了嚴格的數學基礎，并被成功應用于輔助學習和自適應測試等領域［4-6］。自1985 年以來，除了Doignon 和Falmagne 之外，其他研究人員也對KST 進行了擴展研究［7-10］，更多關于KST 的發展和研究的問題，李金海等［11］做了詳盡的綜述研究。

如何構建知識結構是KST 的核心內容。目前有專家問詢［12］、數據驅動［13-14］、技能映射［15］等構建知識結構的方法。圍繞這一問題，許多學者結合其他學科方法來構建知識結構。通過形式概念分析理論與KST 相結合，Rusch 和Wille［16］提出了利用形式背景構建知識結構的方法。李進金等［17］基于知識基，提出了形式背景構建知識結構的新方法，進一步豐富了形式概念分析與KST 的聯系。姚一豫等［18］利用粗糙集理論中的近似思想構建知識結構。周銀鳳等基于技能映射與技能背景的對應關系，從析取模型和合取模型兩方面，討論知識結構的構建問題［19-20］。但這些方法僅能獲得個體可能的知識狀態，無法對個體掌握的知識情況進行評價。

一些學者將KST 推廣到了基于能力的知識空間理論（Competence based KST， Cb-KST）［21-24］。技能是解決問題的基本要素，一般來說，在回答了幾個問題之后，學生的知識狀態就會從他們回答這些問題的能力中顯現出來，于是可以通過分析問題和技能之間的相關性來構建知識結構。Doi?gnon［15］于1994 年提出了技能映射的析取模型和合取模型來構建知識結構。析取模型表示若個體掌握了與問題相關的一個技能或方法就能解決該問題；合取模型表示個體必須掌握與問題相關的所有技能或方法才能解決該問題。故析取與合取模型的要求過于極端。

假設學生學習了解一元二次方程的三種方法，即配方法、公式法、因式分解法。表1 是針對解一元二次方程的題目及對應的解題方法。

a 題：其他兩種方法也能解答該題，但配方法是解決該題的合理方法；

b 題：因式分解法不能解答，且各項系數較大，用配方法導致計算量增大，公式法更為合理；

c 題：因式分解法不能解答，其他兩種方法解決都是合理的；

d 題：三種方法解答都是合理的。

教學活動中可將學生學習解一元二次方程的過程分為三個階段：

階段一：學生剛學完解一元二次方程的三種方法，學生按照要求正確解答各題則認為學生達到教學要求；

階段二：經過一段時間的練習后，教師對于c、d 兩題的要求會提高（用兩種方法解答題目）；

階段三：在期末復習時教師對c 題要求兩種方法解答，b 題要求三種方法解答。

通過示例，學生對知識的學習分為多個階段，隨著對知識認知的不斷深入，每一階段的知識結構可能發生變化。個體解決問題只需掌握與問題相關的部分技能或方法，于是楊桃麗等［25-26］提出建立α-變精度模型來構建知識結構。然而，若模型的閾值或配置發生變化，僅通過α-變精度模型無法判斷構建的知識結構是否發生變化，這使得模型發生變化時，構建知識結構的效果是否與α-變精度模型相同無從而知。因此，需對模型做進一步探究。

因此，本文基于α- 變精度模型提出了三種γ- 變精度模型來構建知識結構。文章主要結構如下：第1 節主要回顧KST 的一些基本概念；第2 節提出了三種γ-變精度模型構建知識結構，并研究了三種γ-變精度模型構建知識結構的相關性質以及四種變精度模型之間的聯系； 第3 節提出了變精度模型構建知識結構的矩陣方法并設計了相應算法；第4 節從UCI 數據庫中選取了七個數據集進行實驗，并驗證了本文所提算法的有效性；第5 節對本文的結果以及未來的研究方向進行總結與展望。

1 預備知識

知識狀態是KST 的基本概念，個體在理想條件下能正確回答問題集Q 中的問題全體K （ K ? Q ） 稱為知識狀態（Knowledge State）。

定義1［1］ 設Q 為有限非空問題集，K 是由知識狀態K （ K ? Q ） 構成的集族，且K 中至少包含?和Q，則（ Q，K ） 為知識結構。

設（ Q，K ） 是一個知識結構，若?Ki，Kj ∈ K，都有Ki ∪ Kj ∈ K，稱（ Q，K ） 為知識空間；若?Ki，Kj∈ K 都有Ki ∩ Kj ∈ K，稱（ Q，K ） 為簡單閉包空間。若（ Q，K ） 既是知識空間又是簡單閉包空間，則稱（ Q，K ） 為擬序空間。

定義2［1］ 設Q，S 分別為非空有限的問題集和非空有限的技能集，τ 是從Q 到2S＼ { ? } 的映射，則稱三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射。

設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，其中T?S，則稱K={q ∈ Q|τ （q） ∩ T≠?}是由T通過析取模型誘導的知識狀態；K={q ∈ Q|τ （q）?T}是由T通過合取模型誘導的知識狀態。由同一技能映射分別通過析取和合取模型誘導的知識空間和簡單閉包空間是對偶的［15］。

定義3［26］ 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，?q ∈ Q，T ? S，稱

D（T/τ （ q ） ）= |T ∩ τ （ q ）|／|τ （ q ）|

為q 關于T 的技能包含度。將D （T/τ （q） ） 簡記為τ Tq 。

注 將D（ τq ） = { τ Tq |T ? S } 稱為關于問題q 的技能包含度集，D（ τ ） = { τ Tq |q ∈ Q，T ? S } 為技能映射τ 的技能包含度集。文獻［26］中對技能包含度的討論如下。

由Q，S 都為非空有限集，則τ 的技能包含度集記為D （τ ） = {β1，…，βi，βi + 1，…，βn }，其中0 =β1 lt; … lt; βi lt; βi + 1 lt; … lt; βn = 1，有以下性質：

（1） 對q ∈ Q，T ? S，τ Tq = Σs ∈ Tτ { s }q ；

（2） 對q ∈ Q，T ? S，τ Tq + τ S＼Tq = 1；

（3） βi + βn - i + 1 = 1。

例1 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，其中Q = { q1，q2，q3 }，S = { s1，s2，s 3，s4 }，τ 為Q 到2S＼ { ? }的技能映射，τ （q1 ） = { s2，s3 }，τ （q2 ） = { s3，s4 }，τ （q3 ） ={ s1，s2，s 3 }，通過計算得到q 關于T 的技能包含度τ Tq如表2，其中T 為技能集，Q 為問題集，τ Tq 為問題q 關于技能集T 的技能包含度（T 簡寫，如T = { s1，s4 } 記為s1 s4）。由表2，可得D（ τq1 ） = D（ τq2 ）={0， "1／2，1} ，D（ τq3 ）={0， 1／3，2／3，1}" ，則D （τ ）={0， 1／3，1／2，2／3，1"} 。

2 γ-變精度模型與知識結構

基于文獻［26］的α-變精度模型本節提出了三種γ-變精度模型；并研究三種γ-變精度模型構建知識結構的性質，進一步討論三種γ-變精度模型以及α-變精度模型所構建知識結構之間的聯系。

設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，Q 與S 分別為非空有限的問題集和技能集，對q ∈ Q，T ? S，τ Tq 為q關于T的技能包含度。對α ∈ （0，1]，

表示T 通過α-變精度模型誘導的知識狀態。記技能映射τ 通過α-變精度模型構建的知識結構為Kα = {Kα }T|T ? S 。

從模型的角度出發，α- 變精度模型在區間（ 0，1 ] 取值，若α = 0，則?T ∈ S，都有K 0T = Q，表明該模型此時無法構建知識結構。那么閾值的取值范圍為[ 0，1） 或（ 0，1） 時，構建的知識結構是否會受到影響？下面將研究模型的建立及其性質。

定義4 設三元組（ Q，S，τ ） 為技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，對q ∈ Q，T?S，γ1 ∈ [0，1），

表示T 通過γ1 -變精度模型誘導的知識狀態。

定義5 設三元組（ Q，S，τ ） 為技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，對q ∈ Q，T ? S，γ2 ∈ （ 0，1），

表示T 通過γ2 -變精度模型誘導的知識狀態。

定義6 設三元組（ Q，S，τ ） 為技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，對q ∈ Q，T ? S，γ3 ∈ （ 0，1），

表示T 通過γ3 -型變精度模型誘導的知識狀態。

上述閾值在[ 0，1） 和（ 0，1） 區間取值的三種變精度模型。γ1 - 變精度模型，若γ1 能取1，則?T ? S， L1T = ?，其不能構建知識結構；而閾值在（ 0，1） 區間上取值時，上面定義的γ2 -變精度模型與γ1 -變精度模型的不同在于閾值是否取0，γ3 -變精度模型與α-變精度模型的區別是閾值是否取1。接下來，我們將研究基于上述定義的三種模型在構建知識結構時展現出的相關性質。閾值在區間[ 0，1 ] 取值，無法定義一個模型，使得取區間端點時，都能構建一個知識結構。

定理1 設三元組（ Q，S，τ ） 為技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，則Lγ1 = {Lγ1 T |T ? S}，Hγ2 = {H γ2 T |T ? S}與G γ3 = {G γ3 T |T ? S}均為知識結構。

證明 由已知，?q ∈ Q，當T = ? 時，有τ ?q = 0，則Lγ1? = H γ2? = G γ3? = ?；當T = S 時，τ Sq = 1，Lγ1 S = H γ2 S = G γ3 S = Q。故Lγ1，Hγ2，G γ3 均為知識結構。

定理2 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，D（ τ ） 為技能包含度集。當γ1 ∈ [ βi，βi + 1 ）（1 ≤ i ≤ n - 1） 時，則有Lγ1 = Lβi。

證明 由γ1 ∈ [ βi，βi + 1 ），?T ? S，有LβiT ?Lγ1 T = {q ∈ Q|τ Tq gt; γ1 }，因βi 與βi + 1 之間無其他技能包含度值，則Lγ1 T = {q ∈ Q|τ Tq gt; βi }= LβiT ，證得Lγ1 = Lβi。

定理3 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，D（ τ ） 為技能包含度集。當γ2 ∈ [ βi，βi + 1 ）（ 2 ≤ i ≤ n - 1） 時，則有Hγ2 = Hβi。

定理4 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，τ 為Q 到2S＼ { ? } 的技能映射，D（ τ ） 為技能包含度集。當γ3 ∈ （ βi，βi + 1 ]（1 ≤ i ≤ n - 2） 時，則有Gγ3 = Gβi + 1。

定理3 與定理4 的證明與定理2 證明類似。定理3 和定理4 中，未將γ2，γ3 分別在區間（ β1，β2 ） 與（ βn - 1，βn ） 一并考慮在內，是因為兩閾值取值范圍的特殊性。由上述結論易知?γ2 ∈ （ β1，β2 ），由γ2 -變精度模型構建的知識結構是相同的，記為Hγ12； 同樣的?γ3 ∈ （ βn - 1，βn ），由γ3 -變精度模型構建的知識結構也是相同的，記為Gγn3。

設三元組（ Q，S，τ ） 為技能映射，D （τ ） 為技能包含度集，則技能映射τ 可通過γj - 變精度模型誘導n - 1 個知識結構（ j = 1，2，3）。上述探討了模型構建知識結構的性質，下面將研究不同模型在構建知識結構方面的相互關系。

定理5 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，τ 為Q 到2S＼{?}的技能映射，D （τ ） 為技能包含度集。則有Kβi + 1 = Lβi （1 ≤ i ≤ n - 1）。

證明 ?q ∈ Q，T ? S，由文獻［26］則有K βi + 1 T = {q ∈ Q|τ Tq ≥ βi + 1 }，K βi + 1 T ∈ Kβi + 1；因βi 與βi + 1 之間沒有其他技能包含度值，則K βi + 1 T = {q ∈ Q|τ Tq gt; βi }，而LβiT = {q ∈ Q|τ Tq gt; βi }，由定理2 得LβiT ∈ Lβi。故Kβi + 1 = Lβi。

例2 （續例1） 技能映射τ 通過α-變精度模型與γ1 -變精度模型構建的知識結構如下：

K13={?，{q2 }，{q3 }，{q1，q3 }，{q2，q3 }，Q}= L0，

K12 ={?，{q1 }，{q2 }，{q1，q2 }，{q1，q3 }，Q}= L13，

K23 ={?，{q2 }，{q3 }，{q1，q3 }，{q2，q3 }，Q}= L12，

K1 ={?，{q1 }，{q2 }，{q1，q2 }，{q1，q3 }，Q}= L23。

通過上例可知，τ 通過α-變精度模型與γ1 -變精度模型構建知識結構總有對應相同，那么四種變精度模型構建的知識結構是否存在某種對應關系？

注 α -變精度模型和γj -變精度模型構建的知識結構族分別記為（ j = 1，2，3）

?α ={Kα|α ∈（ 0，1 ]}，?γ1 ={Lγ1|γ1 ∈[ 0，1）}，?γ2 ={Hγ2|γ2 ∈（ 0，1）}，?γ3 ={Gγ3|γ3 ∈（ 0，1）}。

由定理2、定理3、定理4，?α，?γ1，?γ2，?γ3 可分別記作

?α ={Kβ2，…，Kβi + 1，…，Kβn }，

?γ1 ={Lβ1，…，Lβi，…，Lβn - 1 }，

?γ2 ={Hγ12，Hβ2，…，Hβi，…，Hβn - 1 }，

?γ3 ={Gβ2，…，Gβi，…，Gβn - 1，Gγn3}，

其中γ12 ∈ （ β1，β2 ）、γn3∈ （ βn - 1，βn ）。

定理6 設三元組（ Q，S，τ ） 是一個技能映射，τ 為Q 到2S＼{?}的技能映射，?α，?γ1，?γ2，?γ3 分別為技能映射通過α- 變精度模型和γj - 變精度模型（ j = 1，2，3） 構建的知識結構族，則有?α = ?γ1 =?γ2 = ?γ3。

證明 （1）由定理5，顯然有?α = ?γ1；

（2）根據定義4、定義5 及定理3，要證明?γ1 = ?γ2，僅證明Lβ1 = Hγ12 即可，?T ? S，有H γ12 T ={q ∈ Q|τ T }q gt; γ12 ，因為β1 與β2 之間沒有其他技能包含度值，則H γ12 T 可改寫為{q ∈ Q|τ } Tq gt; β1 ，而Lβ1 T ={q ∈ Q|τ T }q gt; β1 ，則有H γ12 T = Lβ1 T ，故Lβ1 = Hγ12，證得?γ1 = ?γ2；

（3）再由定義6 與定理4，要證明?α = ?γ3，僅證明Kβn = Gγn3即可，?T ? S，有Gγn3={q ∈ Q|τ T }q ≥ γn3，因為βn - 1 與βn 之間無其他技能包含度值，則Gγn3可改寫為{q ∈ Q|τ T }q ≥ βn ，然而K βnT ={q ∈ Q|τ } Tq ≥ βn ，進而有Gγn3= K βnT ，故Kβn = Gγn3，從而?α = ?γ3；證得?α = ?γ1 = ?γ2 = ?γ3。

由定理6 知，本節提出的三種變精度模型以及已有的α-變精度模型在同一技能映射下構建知識結構族的效果相同，但不同模型構建相同知識結構時，閾值條件存在差異。

定理7［26］ 設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是τ 的技能包含度集。則有

（1） 當α ∈ （ β1，β2 ] 時，技能映射τ 通過α-變精度模型誘導的知識結構Kα 是一個知識空間；

（2） 當α ∈ （ βn - 1，βn ] 時，技能映射τ 通過α-變精度模型誘導的知識結構Kα 是一個簡單閉包空間。

推論1 設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是τ 的技能包含度集，則有

（1） 當γ1 ∈ [ β1，β2 ） 時，技能映射τ 通過γ1 -變精度模型誘導的知識結構Lγ1 為知識空間；

（2） 當γ1 ∈ [ βn - 1，βn ） 時，技能映射τ 通過γ1 -變精度模型誘導的知識結構Lγ1 為簡單閉包空間；

（3） 當γ2 ∈ （ β1，β2 ） 時，技能映射τ 通過γ2 -變精度模型誘導的知識結構Hγ2 為知識空間；

（4） 當γ2 ∈ [ βn - 1，βn ） 時，技能映射τ 通過γ2 -變精度模型誘導的知識結構Hγ2 為簡單閉包空間；

（5） 當γ3 ∈ （ β1，β2 ] 時，技能映射τ 通過γ3 -變精度模型誘導的知識結構Gγ3 為知識空間；

（6） 當γ3 ∈ （ βn - 1，βn ） 時，技能映射τ 通過γ3 -變精度模型誘導的知識結構Gγ3 為簡單閉包空間。

設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是技能包含度集，則γj -變精度模型（ j = 1，2，3） 是析取與合取模型的推廣，當γ1 ∈ [ β1，β2 ），γ2 ∈ （ β1，β2 ），γ3 ∈ （ β1，β2 ] 時，相當于析取模型；當γ1 ∈ [ βn - 1，βn ），γ2 ∈ [ βn - 1，βn ），γ3 ∈ （ βn - 1，βn ） 時，相當于合取模型。且析取與合取模型通過同一技能映射構建的知識結構互為對偶。

推論2 設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是τ 的技能包含度集，則有

（1） 知識結構Lβ1 與Lβn - 1 互為對偶；

（2） 知識結構Hγ12 與Hβn - 1 互為對偶；

（3） 知識結構Gβ2 與Gγn3互為對偶。

定理8［26］ 設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是τ 的技能包含度集。則由τ 通過α-變精度模型構建的知識結構Kβi + 1 與Kβn - i + 1 互為對偶（ i = 1，…，n - 1）。

推論3 設三元組（Q，S，τ ） 是一個技能映射，D （τ ） 是τ 的技能包含度集。則有

（1） Lβi 與Lβn - i （ i = 1，…，n - 1） 互為對偶；

（2） Hβi 與Hβn - i （ i = 2，…，n - 2） 互為對偶；

（3） Gβi 與Gβn - i + 2 （ i = 3，…，n - 1） 互為對偶。

推論1、2、3，探討了三種變精度模型構建知識結構時，對偶性質下閾值的取值規律。

3 變精度模型構建知識結構的矩陣方法

上一節證明了四種變精度模型可構建相同的知識結構族，在本節統稱為變精度模型。本節將給出變精度模型構建知識結構的矩陣方法，討論矩陣運算的相關性質，設計變精度模型構建知識結構的算法，并舉例說明（本節用γ1 -變精度模型進行計算）。

定義7 設三元組（Q，S，τ ） 為技能映射，問題集Q = { q1，…，qi，…，qn } 與技能集S ={ s1，…，sj，…，s t } 均為非空有限集，則技能映射的矩陣為M = （ mij ）n × t，其中（i = 1，2，…，n； j =1，2，…，t 后文一致）

根據定義7 與定義8，上述Tl 關于問題集Q 的技能包含度列向量DTl 中的元素依次為問題q1，…，qi，…，qn 關于Tl 的技能包含度值。那么Tl 通過變精度模型誘導的知識狀態可利用DTl 變換獲得其列向量。例如：Tl 關于問題集Q 的技能包含度的列向量為DTl，將DTl 中元素大于γ1 的元素賦值為1，否則為0，即可得到由Tl 通過γ1 -變精度模型誘導的知識狀態的列向量Dγ1 Tl；將技能包含度矩陣D 中每個元素與γ1 比較并賦值，并保留互異列，就可得到知識結構的矩陣Dγ1。

由D1／4可得，當γ1 =1／4時，由γ1 -變精度模型構建的知識結構為

L14={?，{q2 }，{q3 }，{q1，q3 }，{q2，q3 }，Q}，

γ1 =1／4與γ1 ∈ [0， 1／3） 時構建的知識結構一樣；且γ1 僅需遍歷D（ τ ），便可取得由γ1 -變精度模型構建的知識結構族?γ1。

4 實驗及結果分析

為了驗證本文算法的有效性，從UCI（http：//archive.ics.uci.edu/ml/datasets.php）數據庫中選取了7 個數據集進行實驗分析，具體詳情如表3 所示。

所有實驗運行環境為Windows 7 操作系統，硬件環境為 Inter（R）Core（TM）i7－6700 CPU @3.40 GHz，運行內存8.00 GB，軟件環境為MATLAB（R2021b） 。

根據本文的研究背景，將對象視為問題，屬性視為技能。首先，對表3 中的數據集進行離散化處理。將處理后的數據集，表示為技能映射（Qi，Si，τi ），各技能映射的問題與技能個數見表4，其中i = 1，2，…，7。如果解決兩個問題所需技能相同，處理數據集時，它們被視為同一個問題，故數據處理后，對象數量可能發生變化。

為驗證本文算法設計的有效性，將本文算法與文獻［26］中的算法進行驗證。在第3 節中已知，四種變精度模型在同一技能映射下構建知識結構族是相同的。通過實驗，我們記錄了兩種算法的運行時間如表5，并將兩種算法的時間對比做了可視化處理，從表5 和圖1，其中圖1 中set1—set7 對應表3 的數據集，我們能夠看出數據集越大本文提出的算法運行效率明顯優于文獻［26］中的算法。

本文算法與楊桃麗等［26］的研究均證實，變精度模型在同一技能映射下構建的知識結構族相同。下面對技能映射（Qi，Si，τi ） 通過變精度模型構建的知識結構族進行了可視化，對應圖2（a—f）（選用α-變精度模型）。圖中橫坐標表示閾值α 的可能取值，縱坐標表示對應α 值構建的知識結構中包含的知識狀態個數。

第三節的矩陣方法不僅優化了時間復雜度，還便利了知識結構可視化。圖3 展示了例題的知識結構可視化，知識狀態以向量形式呈現，方框表示狀態，線條表示包含關系。

說明：技能映射（Qi，Si，τi ）（i = 1，2，3，4，5，6，7）與構建的知識結構族在本文中沒有具體給出，是因為通過矩陣形式表示的數據過于復雜。

5 結論

本文基于α-變精度模型提出了三種γ-變精度模型用于構建知識結構，研究了三種模型構建知識結構的性質，討論了四種變精度模型的聯系，并證明四種變精度模型在同一技能映射下構建知識結構族的效果是一致的。此外，本文還提出了技能映射通過變精度模型構建知識結構的矩陣方法，設計了相應的算法，且該方法適用于四種變精度模型；最后，通過對比實驗證明了本文算法的有效性與優越性，驗證了相同條件下，本文模型與α- 變精度模型構建的知識結構族相同，本文算法運行時間明顯優于文獻［26］提出的算法，且利于知識結構可視化，使后續研究的邊緣與掌握邊緣的刻畫更容易。但本文變精度模型沒有考慮學習成本問題，也就是說，問題的難易程度、知識的重要程度等均會影響知識結構構建，綜合這些因素如何構建更切合實際的知識結構至關重要；同時本文也未考慮變精度能力模型以及模糊情形下變精度模型構建知識結構的研究；因此，通過變精度能力模型與模糊情形下變精度模型構建知識結構的研究將作為后期的研究工作。

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基金項目：國家自然科學基金（12271191；11871259）；福建省自然科學基金（2023J01122；2023J01125；2023J05175；2022J01306；2022J05169；2021J01984）