摘"要：“微積分”是高等院校中針對絕大多數專業所開設的一門公共基礎課程，極限是學生開始進入“微積分”課程學習時最先接觸到的問題，也是“微積分”課程學習中的難點及重點之一。事實上，極限本身是在探求某些實際問題的精確求解過程中產生的，如求圓的面積、周長等。極限這一概念貫穿整個“微積分”課程始終，可見其重要性。對極限的計算是學習“微積分”課程過程中必須熟練掌握的技能。本文根據自身教學過程，針對常見的極限計算問題進行探討。

關鍵詞：極限；連續；等價無窮小

中圖分類號：G642；O134

“微積分”課程的學習離不開極限問題，極限的計算是學習過程中學生必須要熟練掌握的基本技能，這對“微積分”課程的學習至關重要。本文根據教學過程中關于一元函數微積分學中遇到的一些計算問題進行探討。

一、利用四則運算［1］計算極限

設f（x）在x0（也可以是∞）的某去心鄰域中有定義，且limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，則

（1）"limx→x0f（x）±g（x）=A±B，limx→x0f（x）g（x）=AB；

（2）若B≠0，則limx→x0f（x）g（x）=AB。

數列情形類似，而且針對有限個函數情形結論（1）都成立，應注意前提條件是每個函數（或數列）的極限都要存在。如：

例1：limx→4（"x+5x-2）=limx→4"x+5limx→4x-limx→42=2+20-2=20。

例2：limx→9x2+1x-8=limx→9（x2+1）limx→9（x-8）=limx→9x2+1limx→9x-8=82。

注意：這里要特別強調的是有限個函數或數列的和求極限問題，如果是無窮多個函數之和，該結論不一定成立，如：limn→∞∑nk=11n=1，但1=limn→∞∑nk=11n≠∑nk=1limn→∞1n=0。

二、利用重要極限和夾擠定理求極限

“微積分”課程中的兩個重要極限式［2］：

（1）limx→0sinxx=1；

（2）limn→∞1+1nn=e，limx→∞1+1xx=limx→01+x1x=e。

在實際問題中經常用到更一般的形式：

limα（x）→0sinα（x）α（x）=1；limα（x）→01+α（x）1α（x）=e。

例1：計算limx→1sinx-1x3-1。

解：limx→1sinx-1x3-1=limx→1sinx-1x-1·1x2+x+1=13

例2：計算limx→∞2x-12x+1x。

解：該問題屬于1∞型，可以采用“配e法”，即：

limx→∞2x-12x+1x=limx→∞1+-22x+1-2x+12-22x+1x

=elimx→∞-2x2x+1=e-1。

注意：如果不是1∞型，就不能采用“配e法”，只能通過連續性以及洛必達法則來解決。

也有些極限計算可能會借助和它“比較相近”的函數的極限來進行計算，這就需要用到夾擠（夾逼）定理：

設函數f（x）、g（x）、h（x）都在x0（可以是∞）的某去心鄰域中有定義，滿足：

（1）g（x）≤f（x）≤h（x）；

（2）limx→x0g（x）=limx→x0h（x）=A。

則limx→x0f（x）=A。

例1：計算limx→∞n5n+6n+7n.

解：因為7≤n5n+6n+7n≤n3×7n=7n3，又limx→∞7n3=7，所以limx→∞n5n+6n+7n=7。

例2：利用夾擠定理計算limx→0x1x，其中x是取整函數，即不超過x的最大整數。

解：用（x）表示x的小數部分，0≤（x）＜1，對x∈R，x=x-（x），1x-1＜1x≤1x，當x＞0時，1-x＜x1x≤1，limx→0+1-x=1，limx→0+x1x=1；當x＜0時，1≤x1x＜1-x，limx→0-1-x=1，limx→0-x1x=1，綜上知，limx→0x1x=1。

例3：利用夾擠定理計算limx→∞2xcosx-1xsinx。

解：因為0≤2xcosx-1xsinx≤3x，又limx→∞3x=0，所以limx→∞2xcosx-1xsinx=0，進而limx→∞2xcosx-1xsinx=0。

注意：這類問題對不等式的使用非常關鍵，“頭”和“尾”的函數必須離得很近，否則無法確定中間的函數的極限。比如例3中不等式若改為5≤n5n+6n+7n≤n3×7n=7n3，不等式本身是正確的，但它不能為該問題的解決提供有用信息，就是因為limx→∞7n3=7≠5。

三、利用等價無窮小替換原理計算極限

在極限的計算過程中，經常會用到等價無窮小替換［23］，那樣會使問題變得更容易解決。

設當x→x0時，α～α′，β～β′，若limx→x0β′α′存在或為∞，則limx→x0βα=limx→x0β′α′。

從βα=α′α·β′α′·ββ′中可以發現替換只能用在式中出現的因式，而不能用在式中出現加減的項。

用替換原理時，首先要知道一些常用的等價無窮小：

當x→0時，有

（1）x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ex-1～ln（1+x）；

（2）1-cosx～x22；

（3）（1+x）α-1～αx；

（4）sinx-tanx～x32。

例1：計算limx→∞cos1x-1e1x-1）ln3+xx。

解：因為當x→∞時，cos1x-1～-12x2，e1x-1～1x，ln3+xx～3x，所以limx→∞cos1x-1e1x-1）ln3+xx=limx→∞-12x21x·3x=-16。

例2：計算limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）。

解：因為當x→0時，sinx-tanx～x32，ln1+3x2～3x2，31+x-1～x3，所以

limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）=limx→0x323x2·x3=12。

注意：例2中不能將極限的計算錯誤地寫成：

limx→0sinx-tanxln（1+3x2）（31+x-1）=limx→0x-x3x2·x3=0，

因為sinx與tanx之間的運算是減法。

四、利用函數的連續性和洛必達法則求極限

設f（x）、g（x）在x0（也可以是∞）的某去心鄰域中可導，滿足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或同為∞）；

（2）當x在x0的某去心鄰域中變化時，g′（x）≠0；

（3）limx→x0f′（x）g′（x）存在或為∞。

則limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f′（x）g′（x）。

這一結果主要是用于解決未定式00、∞∞的極限計算問題。

例1：求limx→0tanx-xxarcsinxln（1+x）的值。

解：limx→0tanx-xxarcsinxln1+x=limx→0tanx-xx3

=limx→0sec2x-13x2limx→0tan2x3x2

=13。

注：這里先用了等價無窮小替換，然后再利用洛必達法則求極限。不能直接將分母和分子直接求導，因為這樣會將問題變得更加復雜。這也說明了在選擇方法上一定要靈活，而非簡單地套用公式。

例2：求limx→0+xsinx。

解：limx→0+xsinx=limx→0+esinxlnx=elimx→0+lnxcscx=elimx→0+1x-cscxcotx=elimx→0+-tanxsinxx=e0=1。

注意：不要忽略條件（3），否則就會得到錯誤的結論。如：limx→∞2x′+（cosx）′x′=limx→∞2-sinx1不存在，但limx→∞2x+cosxx=limx→∞2+1x·cosx=2。

五、利用Taylor公式計算極限

如果知道所求計算問題中一些相關函數的Taylor公式，也可以很方便地求出極限的結果。所以應先知道一些常見函數的Taylor公式［23］：

（1）ex=1+x+x22！+x33！+……+xnn！+o（xn）；

（2）sinx=x-x33！+x55！+……+（-1）n-1x2n-1（2n-1）！+o（x2n-1）；

（3）cosx=1-x22！+x44！+……+（-1）nx2n（2n）！+o（x2n）；

（4）tanx=x-x33+x55+……+（-1）n-1x2n-12n-1+o（x2n-1）；

（5）（1+xα=1+αx+αα-12！x2+……+αα-1α-2…α-n+1n！xn+o（xn）。

例1：計算limx→0ex-sinx-x22-1（"1+x2-1）ln（1+x）。

解：limx→0ex-sinx-x22-1（"1+x2-1）ln（1+x）

=limx→01+x+x22！+x33！-x+x33！-x22-1+o（x3）x1+x22-1+ox2

=limx→0x33！+x33！+o（x3）x1+x22-1+ox2=23。

注：利用Taylor公式計算極限時，一定要注意階數的確定。上例中觀察到分母是3階的，所以分子的Taylor公式展開到3階即可。

例2：利用Taylor公式計算limx→03x3+x2-"x2+3x的值。

解：limx→+∞3x3+x2-"x2+3x

=limx→+∞x1+1x13-x1+3x12

=limx→+∞x1+13x+1313-12！1x2+o1x2

-x1+32x+1212-12！9x2+o1x2

=limx→+∞x13x-32x+o1x2=-76。

利用這種方法求極限必須對函數的Taylor公式非常熟悉，才能解決問題。

六、利用定積分求極限

設f（x）是［a，b］上的有界函數，利用∫baf（x）dx=limλ→0∑kf（ξk）Δxk找到相應的被積函數f（x）和積分區間［a，b］，將極限問題轉化成對應的定積分式子，這也是該方法的核心。

例1：計算limn→∞1n+1+1n+2+1n+3+……+1n+n。

分析：因為1n+1+1n+2+1n+3+……+1n+n=∑nk=111+kn·1n，Δxk=1n，ξk=kn∈Δxk，fξk=11+ξk，Δxk=1n，區間為0，1，將區間n等分，每個分點恰為kn，故取ξk=kn∈Δxk，f（ξk）=11+ξk，故f（x）=11+x。

注意：也可以考慮積分區間為1，2或任何一個長度為1的區間，相應的分點和函數做改變即可。

解：limn→∞11+1n+11+2n+11+3n+……+11+nn1n=∫1011+xdx=ln2，或∫211xdx=ln2或∫321x-1dx=ln2等都可以。

例2：計算limn→∞n1n2+1+1n2+22+1n2+32+……+1n2+n2。解：limn→∞n1n2+1+1n2+22+1n2+32+……+1n2+n2

=limn→∞11+1n2+11+22n2+……+11+n2n21n

=∫1011+x2dx=arctan1=π4。

結語

極限的計算是靈活多樣的，在同一個問題中，可能會有多個方法交叉使用，比如例子中的等價無窮小替換原理、洛必達法則乃至函數的連續性以及重要極限式的交替使用，也可以利用導數的定義求極限，如limx→asinx-sinax-a=cosa，所以在實際解決問題時一定要靈活應對，根據具體情況選擇恰當的方法。

參考文獻：

［1］曹廣福，葉潤芬，趙紅星.高等數學（一）［M］.北京：高等教育出版社，2009：121126.

［2］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2014：110116，141.

［3］李忠，周建瑩.高等數學［M］.北京：北京大學出版社，2009：188195.

作者簡介：路群（1977—"），女，漢族，貴州平壩人，博士研究生，副教授，研究方向為泛函分析。