基于樂觀陰影集的熒光分子斷層成像優化策略

摘要： 熒光分子斷層成像（fluorescence molecular tomography， FMT）是一種很有潛力的光學分子影像技術，由于光在生物組織內傳輸時會產生大量隨機的強散射，傳播過程極其復雜，使得熒光分子斷層成像重建具有高度的病態性。為了獲得準確的重建結果，提出了一種基于樂觀陰影集的FMT優化策略。首先，定義了一種基于陰影集的情緒決策—樂觀決策和悲觀決策。然后，提出了一種基于樂觀決策的FMT優化策略，該策略將熒光產額信息轉換為模糊信息樣本，通過陰影集計算當前模糊信息樣本的最佳閾值，對樣本的劃分采取樂觀決策。最后，篩選出熒光目標的預測位置。實驗結果表明，所提算法能夠有效提高FMT重建的精度。

關鍵詞： 陰影集； 三支決策； 熒光分子斷層成像； 樂觀決策

中圖分類號： TP391. 4

文獻標志碼： A

文章編號： 1671-6841（2025）01-0040-06

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023142

Optimization Strategy of FMT Based on Optimistic Shadowed Sets

ZHANG Qinran¹， GUO Dongkai¹， YI Huangjian¹ ， XIE Qiong²

（1.College of Information and Science Technology， Northwestern University， Xi′an 710127， China;

2.The First Affiliated Hospital of Hunan University of Traditional Chinese Medicine， Changsha 410208， China）

Abstract： Fluorescence molecular tomography （FMT） was a promising optical molecular imaging technique.

that allowed disease onset and progression to be monitored at the cellular and molecular level without trauma. A large number of random strong scatterings were generated as light was transmitted through biological tissues， and the propagation process was extremely complex， resulting in fluorescence molecular tomography reconstruction being affected by a high degree of ill-posedness. Deriving the location distribution of fluorescent targets within the living body from the limited fluorescence yield information was deemed extremely challenging.

The transmission of light through biological tissues resulted in a substantial number of spontaneous and intense scatterings. The propagation process exhibited a high degree of complexity， contributing to a pronounced ill-posedness in the reconstruction of fluorescence molecular tomography.

In order to obtain accurate and stable reconstruction results， an optimization strategy for FMT based on optimistic shadowed sets was proposed. Firstly， an emotional decision， including optimistic and pessimistic decisions， was defined based on shadow sets. Then， an optimization strategy for FMT based on the optimistic decision was introduced. The strategy could convert fluorescence yield information into fuzzy information samples as the membership degree of the fluorescence target， and calculated the optimal threshold of current fuzzy information samples by shadow set. Optimistic decision was adopted for the division of samples. Finally，

the true position of fluorescent targets was selected. The experimental results indicated that the algorithm proposed effectively improved the accuracy of FMT reconstruction compared with the unoptimized FMT reconstruction algorithm.

Key words： shadowed sets; three-way decision; fluorescence molecular tomography; optimistic decision

0引言

Zadeh^［1］提出的模糊集把原本的二值結構擴展為多值結構，并用一連串的隸屬度來表示事物的歸屬程度。Pedrycz在模糊集的基礎上提出了陰影集^［2］，作為粗糙集和模糊集之間的橋梁，在保留了模糊集固有的不確定性的同時，通過一對閾值（β，α）將隸屬度函數f（x）∈［0，1］擴展到f（x）∈｛0，1，［0，1］｝，其中［0，1］也被稱為“陰影區域”。陰影集作為三支決策的一種特殊模型，在決策方面同樣也符合規則，即對陰影區域采取延遲決策。研究人員往往只處理核心區域中的樣本，但是在實際應用中，陰影部分的樣本同樣具有一定的研究價值。如何處理陰影部分的樣本就成為一個重要的問題。

熒光分子斷層成像是一種能夠在細胞和分子水平上無創監測疾病的發生和發展的分子影像技術，它具有零放射性、操作簡單、成本低等優點，在腫瘤早期檢測、藥物開發等研究領域獲得了極大關注^［3］。然而，由于光在生物內傳輸時產生大量隨機的強散射行為，傳播過程極其復雜，使得熒光分子斷層成像重建具有高度不適定性和病態性^［4］。要由有限的熒光測量數據來反演活體內部熒光目標的位置分布，極具挑戰性。

我們首先定義了一種基于陰影集的情緒決策——樂觀決策和悲觀決策。將熒光分子斷層成像重建的熒光產額信息轉化成模糊信息表，建立隸屬度關系，通過陰影集對樣本進行劃分，由于核心區域中的樣本較少，采用樂觀決策對模糊信息表進行處理，獲得樂觀集合，由此獲得熒光目標的三維分布。本文的主要貢獻包括兩個方面。

1） 定義了樂觀陰影集和悲觀陰影集，從而使得陰影集在具體應用領域中更具有可解釋性。

2） 根據實際應用情況，將樂觀陰影集策略應用于熒光分子斷層成像重建中，提出了基于陰影集的FMT優化策略。實驗結果表明，本文提出的優化方法可以有效提高FMT重建的定位精度。

1相關工作

1.1延遲區域決策處理

延遲區域的處理一直是專家的主要研究方向。現在的研究主要集中在閾值劃分和邊界域樣本處理等方面。文獻［5］選擇將陰影區域的樣本交給專家處理，雖然一定程度上提高了準確性但是增加了算法的使用限制。文獻［6］通過陰影集對同時含有標記和未標記數據的樣本進行了劃分，構建了半監督陰影集，減少了陰影區域的樣本和決策風險，增加了算法的準確性。但是陰影部分的樣本并未給出處理方法。文獻［7］通過對考慮延遲決策的風險和受錯判風險敏感程度等給出了延遲區域的風險計算公式，從而對延遲區域采取更加合理的決策，但是文中并未給出相應的決策。

1.2熒光分子斷層成像

提高FMT重建精度是研究人員的主要研究問題。文獻［8］將自適應對抗學習策略與FMT結合，消除了不同噪聲水平對重建結果的影響，提高了重建算法的魯棒性。文獻［9］提出用隨機Kaczmarz方法解決FMT中的逆向問題，同時基于隨機Kaczmarz提出了一種自適應允許區域的重建方法，該方法以高準確性恢復了嚙齒動物的頸動脈硬化斑塊，提高了重建算法的魯棒性。文獻［10］提出了一種最大似然期望最大化的重建方法，準確地對FMT系統中的泊松噪聲進行了建模，減少了背景區域噪聲，改善了圖像質量。文獻［11］首次將三支決策與FMT相結合，提出了一種基于三支決策的熒光分子斷層成像重建框架。在對閾值的處理上，作者認為生物體表面的熒光產額信息是一種條件概率，具有不確定性，同時FMT的代價函數也是未知的，采用了兩個最常用的閾值β=0.2，α=0.8，同時文中并未對延遲區域的樣本進行處理，在實際應用中缺乏普適性。

2相關知識

2.1陰影集

定義1陰影集

定義一個非空論域U，從形式上看，一個陰影集A表示為從論域U到集合｛0，［0，1］，1｝的映射，A：U→｛0，［0，1］，1｝。A的定義為β=1-α：

A（μ）=0，μ≤β，

［0，1］，β<μ<α，

1，μ≥α。（1）

在式（1）中，論域U被分為三個區域，0、［0，1］、1表示三個量化度，陰影集A（μ）的具體規則如下。

1） 當對象的隸屬度μ≥α，完全接受，同時通過提升操作將該對象的隸屬度提升為1。

2） 當對象的隸屬度μ≤β，完全拒絕，同時通過降低操作將該對象的隸屬度降低為0。

3） 當對象的隸屬度β<μ<α，劃分至陰影區域，同時將其隸屬度轉化為［0，1］，它可以是區間中的任何數。

對于閾值的計算方法，Pedrycz^［2］提出了一種確定閾值的方法，陰影集的整體不確定性如圖1所示。具體公式為

Ω=∫A（x）≤βA（x）dx，

Ω=∫β<A（x）<αdx，

Ω=∫α≤A（x）（1-A（x））dx，（2）

V（α）=∫μ≤αA（x）dx+

∫1-α≤μ（1-μ）dx-

∫α<μ<1-αdx。（3）

為了減少區域操作帶來的不確定性，對于任一陰影集，可以找到代價函數V（α）的最小值來求得此時的最佳閾值（β，α）。

2.2熒光分子斷層成像

熒光分子斷層成像技術是使用熒光標記物對生物體內的靶向目標進行標記，在生物體外部使用特定波長的光照射，熒光標記物受到外部光的照射發射熒光，通過成像系統采集活體外部的熒光，基于光傳輸方程和適當的數學方法，反演靶向目標的位置、濃度分布、環境參數等^［12-13］。

光在生物體內的傳播可用輻射傳輸方程來描述，但該方程很難直接求解，通常用擴散方程來近似輻射傳輸方程。有限元方法是一種求解擴散方程的數值方法，它可以建立物體表面的光子流通率與熒光目標X之間的關系^［22］，

=BX，（4）

ε=‖-BX‖²。（5）

在重建過程中，為了增加結果的準確性，應當使得生物體表面光子流通率與熒光目標之間的差異最小。通常求取ε的最小值來獲得熒光目標的近似解。盡管如此，FMT逆向問題依然是典型的亮度不適定問題。目標函數為

在重建過程中，為了增加結果的準確性，應當使得生物體表面光子流通率與計算的熒光目標之間的差異最小。通常求取最小值來獲得熒光目標的近似解。在數學上，可以通過增加正則化項來約束解，于是上述問題的目標函數變為

Min｛‖-BX‖²+λ‖X‖｝，（6）

其中：λ為正則化參數，根據不同的處理方法取值為1或2；P為范數，取值為1或2。

3基于樂觀陰影集的FMT優化方法

3.1陰影集的情緒決策

陰影集通過引入一對閾值（β，α）來映射集合｛0，［0，1］，1｝中的隸屬度，描述模糊集的三個區域。對于正域中的元素，采取完全接受；對于負域中的元素我們采取完全拒絕；對于邊界域采取延遲觀測態度，等待更多信息^［14-16］。

在實際應用中，樣本往往難以獲得且成本極高。例如，在獲取生物體的熒光產額信息時，由于光在生物體內傳輸時經過大量隨機的強散射，生物體某一處的熒光產額信息可能充滿著大量的不確定性，同時也很難獲得更多的信息。所以需要對三分決策作出新的解釋。受主動約束陰影集和被動約束陰影集的啟發^［17］，提出了陰影集的樂觀決策和悲觀決策。

定義2樂觀陰影集S

定義一個非空論域U，假設一個陰影集S， 陰影集S最佳劃分閾值為（β，α），則陰影集S從論域U到集合｛0，［0，1］，1｝的映射為S：U→｛0，［0，1］，1｝，當陰影集S采取式（7）決策時，如圖2（a）所示，稱此時的陰影集為樂觀陰影集S，

S=0，x<β，

1，x≥β。（7）

根據定義2，當樣本的隸屬度x<β時，和一般陰影集相同，我們認為此時的樣本可參考性差，對其采用拒絕的決策；當樣本的隸屬度x≥β，由于樣本的限制，我們認為此時陰影部分的樣本依舊具有可參考性，所以對整體采用接受的決策。

定義3悲觀陰影集S

定義一個非空論域U，假設一個陰影集S， 陰影集S最佳劃分閾值為（β，α），則陰影集S從論域U到集合｛0，［0，1］，1｝的映射為

S：U→｛0，［0，1］，1｝，當陰影集S采取式（8）決策時，如圖2（b）所示，稱此時的陰影集為悲觀陰影集S，

S=0，x<α，

1，x≥α。（8）

根據定義3，當樣本的隸屬度x≥α時，和一般陰影集相同，認為此時的樣本具有較強的可參考性，對其采用接受的決策；當樣本的隸屬度x<α，由于樣本的限制，認為此時陰影部分的樣本并不具有可參考性，所以對整體采用拒絕的決策。

陰影集的樂觀和悲觀決策的主要區別在于對陰影部分樣本的處理。悲觀決策認為，當上升區域中的樣本較多時（上升區域中的樣本與總體樣本數的比值大于0.5），此時上升區域的樣本足以優化結果。樂觀陰影決策認為，當上升區域的樣本數量較少時（上升區域中的樣本與總體樣本數的比值小于0.5），此時劃分在上升區域的樣本可能非常少甚至沒有所需樣本，此時需要陰影區域和上升區域的樣本一起優化最終結果。

3.2基于樂觀陰影集的FMT優化策略

對于熒光分子斷層成像，我們進行了三組試驗，分別在數字仿真小鼠的不同位置種植腫瘤，小鼠的尺寸為長38 mm，寬20.8 mm，高35 mm，器官信息如圖3（a）所示。在三組實驗中，小鼠體內腫瘤植入位置分別如圖3（a）、圖4（a）、圖5（a）所示。在實驗中，我們采用了基于不完全變量截斷共軛梯度重建算法^［18］作為基礎重建算法。

表1為實驗的閾值劃分情況，三組實驗中有效劃分樣本占比均較少。從圖4可以看到，最佳閾值α均在V（x）取最小值時取得，從劃分樣本占比來看，實驗1和2分別占比0.13和0.10，這表明在實驗中大部分的樣本并不具有實驗價值，這是由于所采集的熒光數據為小鼠全身熒光產額信息，同時由于FMT本身具有的病態性，腫瘤信息只會在部分區域呈現為熒光信息。在實驗3中，劃分樣本占比只有0.04，從圖5（a）中可以看出，腫瘤位于小鼠心臟中，在重建時其所發射的光需要經歷更復雜的強散射，相比實驗1和2具有更多的不適性，所以有效熒光數據減少。三組實驗的有效樣本占比遠小于0.5，所以本文采用陰影集樂觀決策。針對熒光數據的FMT重建不精確的問題，通過FMT重建算法獲得生物體內部的熒光產額信息與節點坐標，然后通過歸一化將熒光產額信息轉換為隸屬度樣本。歸一化的計算為

x=x-x^minx^max-x^min。（9）

值得一提的是，考慮樣本的特殊性，對象的隸屬度應該符合規則：

1） 節點離熒光目標中心越近，隸屬度越大；

2） 當隸屬度為1時，并不代表此節點一定是熒光目標。

通過陰影集平衡樣本整體的不確定性，計算最佳閾值（β，α）。同時，我們認為陰影部分的樣本同樣也接收到大量熒光信息，考慮樣本的不確定性和稀少性，這些熒光信息同樣應該引起重視，所以采取陰影集的樂觀決策，對樣本進行劃分。

針對已劃分樣本，通過對應節點的編號尋找對應坐標并計算坐標的均值，從而得到預測結果。為了驗證算法的準確性，引入了歐氏距離公式計算預測坐標與真實坐標之間的距離，具體計算公式為

dis=（x-x）²+（y-y）²+（z-z）²。（10）

算法的具體描述如算法1所示。算法提出了一種陰影集的情緒決策，在針對不同的樣本和不同的需求時，采取陰影集的悲觀決策或者樂觀決策，增加了陰影集的可解釋性，同時使得FMT對熒光目標的重建更加精確。

算法1基于樂觀陰影集的FMT優化策略

輸入：FMT重建算法獲得的熒光產額信息Sample。

輸出：生物體內部熒光目標的三維坐標。

1） 對熒光產額信息Sample進行歸一化，將其變為模糊信息樣本x。

2） 通過公式（3）計算模糊信息樣本x的最佳閾值（β，α）。

3） 采取陰影集的樂觀決策S對當前樣本進行劃分，得到Sample。

4） 計算Sample所對應的三維坐標x、y、z。

5） 計算x、y、z的均值x、y、z。

6） 輸出最終結果x、y、z。

對已處理的熒光產額信息通過公式（3）計算當前最佳閾值（β，α），最佳閾值如圖3（b）、圖4（b）、圖5（b）所示。最終結果如表2～4所示。

在三次實驗中，所提優化算法得到的重建腫瘤位置與真實腫瘤位置之間的距離分別為0.7 mm、1.4 mm、3.3 mm，而基礎算法得到的重建腫瘤位置與真實腫瘤位置之間的距離分別為1.7 mm、2.1 mm、3.9 mm。結果表明，本文所提出的優化算法在三次實驗的預測結果與基礎重建算法相比均更加準確，因此證明所提算法具有有效性。

4結論

本文提出了一種陰影集的情緒決策，在平衡樣本的不確定性的同時，提高算法的準確性。我們將此方法與FMT重建相結合，提出了一種基于樂觀陰影集的FMT優化策略。通過陰影集來平衡樣本的不確定性，同時采取樂觀決策對樣本進行劃分，對劃分的樣本進行處理得到熒光目標的三維坐標，從而增加FMT重建精度。本研究以醫學的實際問題為導向，對其他醫學問題的處理和模糊理論的應用具有參考意義。

參考文獻：

［1］ZADEH L A. Fuzzy sets［J］. Information and control， 1965， 8（3）： 338-353.

［2］PEDRYCZ W. Shadowed sets： representing and processing fuzzy sets［J］. IEEE transactions on systems， man， and cybernetics， part B （cybernetics）， 1998， 28（1）： 103-109.

［3］何雪磊. 融合結構與稀疏先驗的熒光分子斷層成像方法研究［D］. 西安： 西北大學， 2021.

HE X L. Study on fluorescence molecular tomography method combining structure and sparse prior［D］. Xi′an： Northwest University， 2021.

［4］ARRIDGE S R， SCHOTLAND J C. Optical tomography： forward and inverse problems［J］. Inverse problems， 2009， 25（12）： 123010.

［5］LI Y S， SHAO X Y. Thresholds learning of three-way decisions in pairwise crime linkage［J］. Applied soft computing， 2022， 120： 108638.

［6］YUE X D， LIU S W， QIAN Q， et al. Semi-supervised shadowed sets for three-way classification on partial labeled data［J］. Information sciences， 2022， 607： 1372-1390.

［7］李言， 李麗紅， 李爽， 等. 基于集對聯系熵的三支決策模型及應用［J］. 鄭州大學學報（理學版）， 2017， 49（3）： 52-58.

LI Y， LI L H， LI S， et al. Three-way decisions model and application based on set pair information entropy［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2017， 49（3）： 52-58.

［8］ZHANG P， SONG F， MA C B， et al. Robust reconstruction of fluorescence molecular tomography based on adaptive adversarial learning strategy［J］. Physics in medicine and biology， 2023， 68（4）： 2176-2184.

［9］ZHANG P， LIU J， YIN L， et al. Adaptive permissible region based random Kaczmarz reconstruction method for localization of carotid atherosclerotic plaques in fluorescence molecular tomography［J］. Physics in medicine & biology， 2022， 67（17）： 175008.

［10］ZHU Y S， JHA A K， WONG D F， et al. Image reconstruction in fluorescence molecular tomography with sparsity-initialized maximum-likelihood expectation maximization［J］. Biomedical optics express， 2018， 9（7）： 3106-3121.

［11］YI H J， JIAO P， LI X N， et al. Three-way decision based reconstruction frame for fluorescence molecular tomography［J］. Journal of the optical society of America A， 2018， 35（11）： 1814.

［12］DARNE C， LU Y J， SEVICK-MURACA E M. Small animal fluorescence and bioluminescence tomography： a review of approaches， algorithms and technology update［J］. Physics in medicine and biology， 2014， 59（1）： R1-64.

［13］JIANG X， DENG Y， LUO Z Y， et al. Accelerating fDOT image reconstruction based on path-history fluorescence Monte Carlo model by using three-level parallel architecture［J］. Optics express， 2015， 23（20）： 25996.

［14］YAO Y Y. Three-way decisions with probabilistic rough sets［J］. Information sciences， 2010， 180（3）： 341-353.

［15］YAO Y Y. The superiority of three-way decisions in probabilistic rough set models［J］. Information sciences， 2011， 181（6）： 1080-1096.

［16］YAO Y Y. An outline of a theory of three-way decisions［M］∥Rough Sets and Current Trends in Computing. Berlin： Springer Press， 2012： 1-17.

［17］ZHOU J， GAO C， PEDRYCZ W， et al. Constrained shadowed sets and fast optimization algorithm［J］. International journal of intelligent systems， 2019， 34（10）： 2655-2675.

［18］HE X W， LIANG J M， WANG X R， et al. Sparse reconstruction for quantitative bioluminescence tomography based on the incomplete variables truncated conjugate gradient method［J］. Optics express， 2010， 18（24）： 24825-24841.