基于大單元視角的微專題教學探究

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出要培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，促進學生的發(fā)展．在此背景下指向整體教學的大單元教學應運而生.

核心素養(yǎng)下的數(shù)學大單元教學模式有以下三個特征：一是以擬定的大單元知識點為線索，對所涉及的教材內容進行科學疏理，形成知識網(wǎng)絡，并消除章節(jié)間的不融洽;二是以大格局視角進行教學設計，開展主題研究，連通相關知識點，形成系統(tǒng)教學結構；三是通過大單元的整合教學對培養(yǎng)學生數(shù)學整體意識有很大益處，能引導學生對數(shù)學問題的整體思考，提升其邏輯思維能力和解題應用能力．

本文以二面角的教學為例，結合教學實踐，對大單元教學模式的具體實施與安排進行探究．通過分析新課程標準對二面角的教學要求與近幾年高考試卷中對于二面角問題的考查情況，設計出“二面角的求法”微專題，借此為高中教師進行二面角大單元教學提供些許建議．

本專題主要對人教A版必修二第八章立體幾何初步與選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何的內容進行了科學的梳理和整合，分別用平面角法、攝影面積法、向量法三種方法來解決二面角的相關問題。

一、平面角法

（一）定義法

在二面角的棱上找一個點，在兩個半平面內分別過該點做垂直于棱的射線，則兩射線所夾的角為二面角的平面角. 如圖所示，以二面角的棱上任意一點O為端點，在兩個面內分別做垂直于的兩條射線OA，OB，則AOB為此二面角的平面角.

例1" 在三棱錐-中，，，求二面角的大小.

（二）三垂線法

從二面角的一個面上的一點向另外一個面做垂線，再由垂足向公共棱做垂線，得到棱上一點，即斜足，斜足與面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角即為二面角的平面角.如圖所示，在平面內選一點A向另一個平面做垂線AB，垂足為B. 再過點B向棱做垂線BO，垂足為O，連接AO，則角AOB是二面角的平面角.

例2" 在四棱錐中，為平行四邊形，，，求二面角的正切值.

（三）垂面法

過空間一點，作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角.如圖所示，過空間一點做平面垂直棱于點，交平面于，交平面于，則就是二面角的平面角.

例3" 在四棱錐中，為正方形，，，求二面角的大小.

二、攝影面積法

已知平面內一個多邊形的面積為，它在平面內的射影圖形的面積為，若平面和平面所成二面角為，則，此方法可簡便的求解無棱的二面角問題.

例 4" 在正三棱柱中，為中點，且" ，求平面與平面所稱銳二面角的度數(shù).

三、向量法

如圖，平面與平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面與平面的夾角.若平面與平面的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面與平面的夾角為，則.

我們可以利用兩個平面夾角求二面角.記兩個平面所成角為，兩個相應半平面所成角為.若，則，若，則.

例5" 四棱柱為長方體，，點，分別為，的中點，求平面與平面夾角的余弦值.

【課題項目】

濟源市基礎教育教學研究室2023年度立項課題——基于學科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學單元整體教學的實踐研究

河南省基礎教育課程與教學發(fā)展中心2023年度立項課題——指向深度學習的高中數(shù)學單元整體教學的研究