摘要：

設計了一種用于柔性關節的彈性組件，提出交叉彈簧片型彈性組件的設計思路、設計方法和設計理念。首先，設計規劃柔性關節結構組成，基于梁約束條件和本構關系對彈性組件進行力學建模，確定柔度矩陣和剛度矩陣具體項，同時對柔性關節運動端進行動力學建模；然后，對彈性組件進行實例設計，通過有限元分析進行設計驗證，對運動過程中柔性關節的模態頻率和振型位移進行仿真；最后，搭建試驗系統，對彈性組件實例設計進行試驗，計算其旋轉剛度。通過交叉驗證，并取三組數據樣本進行分析，結果顯示，設計的彈性組件理論值、仿真值和實驗值三者之間的一致性較好，第一組三者之間最大誤差為7.59%，第二組最大誤差為4.32%，第三組最大誤差為6.70%，由此表明了利用梁約束理論和本構關系設計彈性組件的可行性。提出的柔性關節彈性組件有一定的通用性，不僅能應用于關節式機械臂，還能應用于康復機器人、仿生機器人領域，為機器人柔性關節的設計提供了一種新的思路。

關鍵詞：柔性關節；彈性組件；力學建模；旋轉剛度

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.10.011

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Design and Test Analysis of Flexible Joint Elastic Components

LI Qi" GAO Hong

School of Mechanical and Electrical Engineering，Beijing Information Science and

Technology University，Beijing，100192

Abstract： A method for designing elastic components for flexible joints was designed， the design concept and design approach of the cross spring sheet-type elastic components was proposed. Firstly， the structure composition of the flexible joints was planned， the mechanics models of elastic components were established based on beam constraint conditions and constitutive relationships， the specific items of the flexibility matrix and stiffness matrix were determined， and the dynamics modeling of the motion end of the flexible joints was performed simultaneously. Next， instances of the elastic components was designed， and the design was validated through finite element analysis， the modal frequencies and mode displacement of the flexible joints during motion were simulated. Finally， an experimental system was set up to test the designed instances of the elastic components， and the rotational stiffness was calculated. Through cross-validation and analysis of three sets of data samples， the results show good consistency between the theoretical， simulated， and experimental values of the designed elastic components， with a maximum error of 7.59% in the first set， 4.32% in the second set， and 6.70% in the third set. This indicats the feasibility of designed elastic components using beam constraint theory and constitutive relationships. The proposed elastic joint elastic components are versatile and may be applied to articulated robotic arms and to rehabilitation robots and bionic robots， providing a new approach to the design of flexible joints for robots.

Key words： flexible joint； elastic component； mechanics modeling； rotational stiffness

收稿日期：20231031

0" 引言

傳統的剛性機械臂在長時間使用后，因機構間存在摩擦，導致機械臂運動過程存在間隙，容易運動失控，不僅會對操作者帶來危險，也會對機器人本身帶來損害，而在傳統的機器人中加入柔性關節，提高柔順性是解決協作機械臂安全隱患的一種思路。機械臂引入柔性關節后具有無摩擦、無間隙、無潤滑等優點，被廣泛運用到康復機器人［1］、航空航天［2］、微納米精度定位、精密工程［3］、仿生工程等眾多領域中［4-5］，具有柔性關節的機器人可以提高人機交互安全性。

柔性關節是由柔性組件構成的一種柔順機構，實際上，平面運動的柔順機構可以看作是復雜的彈簧組件在對柔性關節所受軸向載荷、剪切載荷和彎矩產生響應［6］。20世紀末，國內外學者就對柔性關節展開研究［7］，美國宇航局和汽車研究中心聯合研制的類人機器人“Robonaut 2”［8］，其柔性關節采用無刷直流電機驅動，同時關節采用特制的扭簧作為彈性組件，且扭簧采用對稱布置的柔性梁，能夠良好地抵抗外部沖擊、緩沖能量，具有良好的柔順特性。LAGODA 等［9］為其步態康復機器人設計了使用扭簧的柔性關節e SEAJ，該柔性關節的彈性組件是雙螺旋設計的扭簧，優點是當彈簧纏繞或展開時可以抵消作用在彈簧中心上不需要的徑向力。李揚等［10］通過設計一種新型扭簧，基于串聯彈性驅動器的原理設計了一種能抵抗外部軸向力的旋轉關節，通過動力學建模推導出扭簧與柔性關節之間剛度的關系。史延雷等［11］串聯4組8個彈簧作為彈性組件，設計了一種旋轉的柔性關節，通過彈性組件的參數與柔性關節參數的關系、單根彈簧的受力推導出柔性關節剛度，設計了一種集輸入、驅動、傳感、柔性機構、輸出于一體的柔性關節，該柔性關節的剛度隨著角度的變化而變化。劉一帆［12］通過設計雙扭簧的原理，依據偽剛體理論，為雙扭簧構建了力學模型，但是其最終關節的剛度也隨著角度的變化而變化。國內外學者對柔性關節的研究取得了很多成果，為柔性關節的發展和研究奠定了基礎。

目前，大部分的柔性關節都是依據旋轉運動展開設計，扭簧作為彈性組件、直流電機驅動的旋轉柔性關節，這樣的旋轉柔性關節對整個機器人系統作用效果不明顯，并且實現柔順特性時會導致機器人系統體積大，柔性關節的剛度不可控，同時目前也沒有一種簡單、便捷的彈性組件設計方法?？傊?，目前這種旋轉自由度柔性關節結構復雜，柔性關節整體體積大，工程應用仍有一定的局限性。

本文通過調研柔性關節研究現狀［13-15］，提出一種新型交叉彈簧片作為彈性組件的柔性關節，并對提出的彈性組件開展設計和試驗研究。筆者基于梁約束模型對彈性組件進行力學建模，推導出彈性組件的柔度矩陣和剛度矩陣具體項，旨在提出簡便的設計方法；分析了彈簧片結構參數（寬度、長度和厚度）對彈性組件剛度特性的影響；此外，對彈性組件進行三組實例設計，應用梁約束得到的模型結果分別對三組實例設計進行參數化分析，得到三組實例設計的彈性組件的指標，最終通過理論建模、有限元分析和試驗測試完成對三組彈性組件實例設計的系統驗證。

1" 柔性關節設計

1.1" 柔性關節結構設計

本文設計的柔性關節結構緊湊、體積小，便于安裝拆卸，如圖1所示，柔性關節由端板、底板、限位塊和彈性組件構成。交叉彈簧片型彈性組件在關節中起到支撐的作用。

此柔性關節可應用于關節式柔性機械臂，關節式柔性機械臂可由多個關節串聯而成，總體結構如圖2所示。關節式柔性機械臂分為驅動部分、傳動部分和傳感部分。驅動部分包含蝸輪蝸桿減速步進電機、滾輪和鋼絲繩，傳動部分包括彈性組件、限位塊、底板和端板，傳感部分由三軸陀螺儀組件構成。

柔性機械臂運動時的狀態如圖3所示。設計的柔性關節有如下優點：①具有較少的應力集中和更長的疲勞壽命，因為分段式串聯結構的應力可以更均勻地分布；②此柔性機械臂可以依據不同應用環境選擇串聯柔性關節的數量；③生產成本低且便于拆卸和維修；

④能夠輸出平滑的關節角度，不同于螺旋彈簧，此柔性關節剛度可控；⑤該柔性關節通用性好，應用范圍廣。

1.2" 彈性組件結構

彈性組件在柔性關節中起到關鍵作用，本文與目前很多研究不同的是，用彈簧片作為響應部分。彈性組件依靠自身的彈性變形和回復特性傳遞關節之間的載荷，用交叉彈簧片的形式保證變形的同時具有一定的穩定性。設計的柔性關節彈性組件如圖4所示。

彈簧片采用曲線切口來減少應力集中，這相比于直線切口，能更好地分散應力，減少彈簧片應力集中現象，同時能夠延長結構的疲勞壽命，降低材料的疲勞損傷，且曲線切口可延緩結構疲勞破壞的發生。圖5所示為優化切口之后的彈簧片。

實踐表明，影響彈簧片穩定性的因素來自以下幾方面：彈簧片的寬度b、長度L、厚度h以及彈簧片材料的彈性模量E。其中的彈性模量E相對獨立，彈簧片的寬度b對彈簧片性能的影響相對其他參數較小，主要影響彈簧片性能是長度L和厚度h的關系。彈簧片參數如圖6所示。

1.3" 基于梁約束的交叉彈簧片彈性組件建模

柔性關節擺動時，外部載荷力（包括彎矩M、水平力F、垂直力P）將會傳遞到彈性組件的兩根彈簧片的末端，因此可以將交叉彈簧片的問題轉換為單一彈簧片進行分析，只要確定單根彈簧片本構關系就可以得到交叉彈簧片的模型。

彈簧片作為柔性單元輸出時，兩端分別為固定端和運動端，中間部分為彈性變形區域，其中僅對變形區域進行分析。如圖7所示，將彈簧片簡化為懸臂梁進行分析，假設Fx、Fy和M是運動端的外部載荷，δx、δy和θ是運動端相對固定端的位移。

根據本構關系，可得到應力張量與應變張量的矩陣關系：

δxδyθ=CeFxFyM（1）

其中，Ce為柔度矩陣，當彈簧片一端固定，一端自由時，Ce可以寫成如下統一的柔度矩陣：

Ce=Cx，Fx000Cy，FyCy，M0Cθ，FyCθ，M（2）

式中，Cm，n為柔度因子，n表示一種外部載荷，m表示在n的作用下彈簧片的位移。

對式（1）的應變張量應用卡氏第二定律可得

［δx" δy" θ］T=［UFx" UFy" UM］T（3）

其中，U為彈簧片的變形能。彈簧片的截面為矩形，則由變形能的定義式可知：

U=12∫［（M+Fy（L-x））2EI（x）+F2xEA（x）］dx（4）

A（x）=bh" I（x）=bh3/12

式中，A（x）為彈簧片的橫截面積；I（x）為彈簧片的慣性矩。

由式（4）可得

UFx=Fx∫L01hdxEb

UFy=12Eb（M∫L0xh3dx+Fy∫L0x2h3dx）

UM=12Eb（M∫L01h3dx+Fy∫L0xh3dx）（5）

從而可知彈簧片的柔度矩陣可以寫成如下通式：

Ce=LEbh0004L3Ebh36L2Ebh306L2Ebh312LEbh3（6）

式（6）從理論上講是彈簧片的柔度矩陣，根據剛度和柔度的關系可知：

Ke=C-1e（7）

可得到彈簧片的剛度矩陣：

Ke=EbhL000Ebh3L3-Ebh32L20-Ebh32L2Ebh33L（8）

式（6）彈簧片的柔度矩陣和式（8）彈簧片的剛度矩陣具體化了TIAN等［5］提出的通用性單元剛度矩陣理論和單元柔度矩陣理論，本文得出了有關彈簧片的單元柔度矩陣和單元剛度矩陣的具體項。

特別地，當柔性組件只受到彎矩時，由剛度矩陣可得其旋轉剛度為

KM=Ebh33L（9）

分析式（9），旋轉剛度與彈簧片的彈性模量E、寬度b和長度h的立方成正比關系，與彈簧片的長度L成反比關系，為了直觀地觀察彈簧片參數與旋轉剛度的關系，利用數學工具進行輔助。假設彈簧片的彈性模量E=200 GPa，b=3 mm，h=0.2～0.4 mm，L=3～5 mm，依據彈簧片的模型與參數關系建立變量視圖，如圖8所示。彈簧片厚度h對旋轉剛度KM的影響比彈簧片變形長度L對旋轉剛度KM的影響更明顯，隨著彈簧片厚度h的增大，旋轉剛度KM的增大幅度較大。

通過以上研究可對交叉彈簧片組進行動力學分析，包括動力學建模、動力學特性分析和動態響應研究。在一些機械臂、機構乃至系統中引入柔性關節可以消除關節間、機構間和部分組織間的摩擦與運動間隙，所以交叉彈簧片組的動力學分析尤為關鍵。

可以將系統化簡為多個有限自由度的離散系統進行求解，分離出原系統的固有頻率和振動微分方程，可表示為

Mx¨+Kx·=0（10）

式中，M為系統的質量矩陣；K為系統的剛度矩陣。

假設該微分方程的特解是

x1=Aisin（ωt+φ）" i=1，2，3，…（11）

其中，系統中各坐標做同步諧振動，所以特解又可以表示為

x=Asin（ωt+φ）（12）

其中，A為振幅向量。將特解代入微方程可得

|K-ω2M|A=0（13）

要使方程有有效解，則

det|K-ω2M|=0（14）

解析方程，得到n階固有頻率的值，從小到大排列，分別表示一階固有頻率、二階固有頻率，依次類推：

0≤ω1≤ω2≤…≤ωn（15）

圖9所示為彈性組件的簡化物理模型，其中，梁A1B1表示先前分析的單根彈簧片，彈簧片組中α=45°，依據柔性關節的實際運動方式，主要研究分析運動端的轉動動力學。

假設運動過程中，運動端圍繞交叉點做圓周運動，則圓周半徑為

r=12Lcos α（16）

彈簧片的質量相對于運動端整體的質量極小，可忽略不計，則運動端整體的轉動慣量可表示為

J=mmr2（17）

式中，mm為運動端整體的質量。

柔性關節的動能為

T=12Jθ·2（18）

柔性關節的勢能為

V=4×12KMθ2（19）

依據拉格朗日方程

Jθ¨+4KMθ·=0（20）

可得柔性關節運動端的一階固有頻率為

f=22πKMmmL（21）

2" 交叉彈簧片型彈性組件實例設計

最適合柔性關節的彈性組件應滿足以下兩條設計要求：①從節省能源消耗的角度出發，彈性組件應該在運動方向上剛度小，在非運動方向上剛度大；②從結構可靠性角度出發，彈性組件應該具有良好的抗疲勞性。上述要求可通過結構設計和材料選型來解決，既需理論對初始設計進行評估，同時也需找到最合適的金屬材料。

查閱金屬材料手冊，考慮工程應用和材料特性，選擇304不銹鋼材料，它含有馬氏體不銹鋼和奧氏體不銹鋼，在具備柔度的同時還具有硬度，滿足在實現柔性組件擺動的同時，也能承受非擺動方向的負載，同時304不銹鋼具有良好的耐腐蝕性、高強度耐熱性、優良的加工性能，其彈性模量為193 GPa，泊松比為0.27，屈服強度為300 MPa。

彈性組件的結構設計主要側重于彈簧片的設計，考慮彈性組件在工作時的安全性和穩定性，最大彈性時的等效應力應該滿足彎曲強度的條件：

σmax≤σs（22）

σmax=σM+σx（23）

σM=MmaxWz

式中，σmax為彈簧片彈性變形中最大的等效應力；σs為材料的屈服強度；σM為彎曲時的應力；σx為受外力載荷Fx時的應力；Mmax為最大彎矩；Wz為橫截面的抗彎界面系數。

假設柔性組件中彈簧片所受外力Fx的行程在彈簧片長度L的10%以內，又根據材料力學中直梁的抗彎截面系數Wz=bh2/6，可以計算出最大旋轉角度和屈服強度之間的關系：

θmax≤48L216EhL-Eh2σs（24）

式（24）可以作為彈性組件初始設計評估公式。實例設計中，取彈簧片的厚度h=0.3 mm。又考慮到彈性組件的維修性設計，為便于更換和安裝，限制了彈簧片的寬度和長度，取三組不同尺寸的彈簧片作為三組實例設計，三組彈性組件尺寸參數如表1所示。以第一組彈性組件為例，第一組實例圖見圖10。

基于彈性組件剛度特性和柔性關節運動端的一階固有頻率模型，在三維建模中柔性關節端板的負載質量為14 g。第一組彈性組件的剛度和固有頻率的關系見式（21），由此可以計算出第一組彈性組件的固有頻率理論值為111.89 Hz。

3" 實例實驗驗證與分析

3.1" 彈性組件有限元仿真分析

根據上述彈性組件設計實例，構建三維數字模型，利用ANSYS Workbench進行有限元仿真分析。為精確獲得彈性組件的力學特性，對其在機器人柔性關節中的工作狀態進行模擬，如圖11所示，沿著彈性組件中交叉彈簧片連接兩端，固定端上為固定約束，運動端上施加彎矩。

有限元仿真分析得到運動端端面相對于靜止時Z軸的最大位移ΔZ，最大位移點相距回轉中心的水平距離記為d0，通過公式

KM=Mθ=Marctan（ΔZ/d0）（25）

可以計算出有限元分析獲得的彈性組件的旋轉剛度。當 d0=5.5 mm時，第一組彈性組件有限元仿真施加彎矩的計算結果如表2所示。

根據以上有限元分析方法，對三組柔性彈性組件都進行仿真分析，得到三組彈性組件的有限元仿真分析結果，如表3REF_Ref159683669＼h＼*MERGEFORMAT所示。

根據以上對彈性組件的剛度特性分析，可設計實驗驗證剛度特性，同時也有助于進一步對柔性關節整體運動端的動力特性進行分析。

通過模態分析解析系統的固有頻率，對柔性關節進行模態有限元仿真分析。第一組彈性組件的運動端負載有端板，給柔性關節運動端施加0.1 rad/s的旋轉速度，固定端施加固定支撐，約束平面的自由度，仿真得到前6階的固有頻率，如表4所示。

由仿真結果可以看出，柔性關節在固定約束之后，一階固有頻率和二階固有頻率具有較大的變化幅度，說明彈性組件在該系統中起到柔性的作用。

對上述固有頻率進行驗證，在外力作用下，柔性關節呈現出的頻率響應結果如圖12所示。

由圖12可知，幅值峰值對應的頻率為112.5 Hz，確定為一階固有頻率，響應變形云圖見圖13。

由此可知，柔性關節的一階固有頻率理論值為111.89 Hz，仿真實驗的結果為112.5 Hz，其一階固有頻率的誤差為0.5%，誤差幾乎可以忽略不計，證明柔性關節運動端的固有頻率建模是合理準確的。

3.2" 彈性組件剛度測量實驗

為了驗證彈性組件剛度矩陣和剛度有限元分析結果的正確性，同時驗證實例設計的彈性組件的可行性，搭建圖14所示的實驗系統。為了精確測量實例設計的彈性組件旋轉剛度，在設計過程中使4個探測點和配重帽的重心與彈性組件的質心重合，這樣能保證彈性組件只受彎矩載荷。導軌選擇交叉滾子導軌滑臺，其摩擦力小，且可以承受較大的軸向和徑向作用力，接觸面積大，彈性變形小，確保實驗過程中導軌不會產生位移誤差。接觸壓力傳感器的探測頭選用硬質合金材料，這種材料剛度較大，不易變形，也不會對實驗造成位移誤差。另外，因彈性組件旋轉剛度較小，為精確該剛度值的大小，采用壓力傳感器和距離間接測量。

依據剛度計算原理，彈性組件的旋轉剛度計算公式為

KM=Mθ=Fndarctan（ΔZn/d）（26）

ΔZn=Zn+1-Zn" n=0，1，2，…

其中，Zn為微位移進給裝置的位移；Fn為壓力傳感器的讀數；d為回轉軸到壓力傳感器的垂直距離，d=20 mm。參數d、Zn和Fn的原理如圖15所示。

搭建實驗系統（圖16a），直流電源為實驗系統中的壓力傳感器提供動力源，組裝彈性組件與配重帽，置于交叉滾子導軌之上。實驗準備階段（圖16b）使壓力傳感器盡可能地靠近探測頭，但是壓力傳感器與探測頭不接觸，相互之間沒有作用力。開始實驗時，緩慢進給位移，使壓力傳感器逐漸靠攏探測頭，直到出現作用力時，記錄該位置為零位。圖16c、圖16d分別為實際過程及其局部放大圖，實驗過程中有多次進給位移，壓力Fn與力臂d的乘積即為彈性組件的彎矩，微位移進給裝置提供線性位移Zn，通過幾何關系可以轉換成角度，記錄位移Zn和壓力Fn的數值，用于計算實驗結果。

依據式（26）計算第一組彈性組件的旋轉剛度，結果見表5。同理，依據實驗計算方法，對三組彈性組件依次進行實驗測量，三組彈性組件的旋轉剛度結果見表6。

三組彈性組件12次實驗的旋轉剛度結果如圖17所示。由圖17可以得出，第一組彈性組件仿真值和理論值的最大誤差為7.30%，第二組彈性組件仿真值和理論值的最大誤差為4.32%，第三組彈性組件仿真值和理論值的最大誤差為6.70%，有限元分析的仿真值高于理論值。第一組彈性組件旋轉剛度仿真值穩定于1.2968 N·m/rad，第二組仿真值穩定于1.0729 N·m/rad，第三組仿真值穩定于0.9547 N·m/rad；第一組彈性組件旋轉剛度實驗值和理論值的最大誤差為0.65%，第二組實驗值理論值的最大誤差為2.60%，第三組實驗值理論值的最大誤差為1.49%，結果表明，實驗值略大于理論值；第一組彈性組件旋轉剛度實驗值穩定于1.2153 N·m/rad，第二組實驗值穩定于1.0490 N·m/rad，第三組實驗值穩定于0.9162 N·m/rad。

綜上，通過理論值、仿真值和實驗值可知，基于梁約束理論推導彈性組件的力學模型，基于本構關系推導柔度矩陣、剛度矩陣，對設計交叉簧片型彈性組件來說是可行的。

3.3" 誤差分析

第一組彈性組件剛度特性仿真值和理論值的最大誤差為7.30%，實驗值和理論值的最大誤差為0.65%，理論值、仿真值和實驗值三者之間的最大誤差為7.59%；第二組彈性組件剛度特性仿真值和理論值的最大誤差為4.32%，實驗值和理論值的最大誤差為2.60%，理論值、仿真值和實驗值三者之間的最大誤差為4.32%；第三組彈性組件剛度特性仿真值和理論值的最大誤差為6.70%，實驗值和理論值的最大誤差為1.49%，理論值、仿真值和實驗值三者之間的最大誤差為6.70%。三組彈性組件剛度特性仿真值、理論值和實驗值三者之間的誤差棒圖見圖18。從誤差棒圖中可以直觀地觀察到，旋轉剛度在合理的誤差范圍，三組棒圖的最大值、最小值是仿真值和理論值。

柔性關節的動力學特性中，一階固有頻率的理論值為111.89 Hz，仿真和實驗的結果為112.5 Hz，一階固有頻率的理論值、仿真值和實驗值誤差為0.5%。

誤差產生的原因多樣，首先，建模過程中雖然有一定約束條件，但彈性組件在實際過程中受力復雜、約束條件較多，導致約束假設引起誤差值。其次，有限元分析過程中，數字模型的網格劃分、分析過程中也會引入誤差值。最后，在實驗過程中，壓力傳感器的靈敏度、人為觀察微位移進給裝置的讀數都會引入誤差。

4" 結論

本文設計了一種用于柔性關節的彈性組件，此彈性組件以并聯交叉彈簧片作為響應，筆者認為該彈性組件具有一定的通用性，可應用于康復機器人、仿生機器人等機器人領域。基于梁約束理論推導彈性組件的力學模型，依據柔性關節運動端構建動力學模型，可作為依據為特定應用做初始估計。分別對三組數據樣本進行理論估計、有限元評估和實驗驗證，第一組彈性組件旋轉剛度的理論值為1.2097 N·m/rad，有限元分析得到的旋轉剛度穩定于1.2968 N·m/rad，實驗驗證值的旋轉剛度穩定于1.2153 N·m/rad，三者之間的最大誤差為7.59%；第二組彈性組件旋轉剛度的理論值為1.0293 N·m/rad，有限元分析得到的旋轉剛度穩定于1.0729 N·m/rad，實驗驗證值的旋轉剛度穩定于1.0490 N·m/rad，三者之間的最大誤差為4.32%；第三組彈性組件旋轉剛度的理論值為0.9032 N·m/rad，有限元分析得到的旋轉剛度穩定于0.9547 N·m/rad，實驗驗證值的旋轉剛度穩定于0.91625 N·m/rad，三者之間的最大誤差為6.70%。對第一組柔性關節進行動力學仿真，其一階固有頻率為112.5 Hz，最后從三個方面分析了誤差源。

綜上所述，基于梁約束理論，依據本構關系對本文提出的交叉彈簧片型彈性組件進行設計是可行的，為彈性組件設計提供了簡便的設計思路、新的設計理念和設計方法。

參考文獻：

［1］" SCHMIT P，HOFFMANN M. Engineering a Compliant Mechanical Amplifier for MEMS Sensor Applications［J］. Journal of Microelectromechanical Systems， 2020，29（2），214-227.

［2］" AJPA B， BJWA B， CYZA B， et al. Design and Analyze of Flexure Hinges Based on Triply Periodic Minimal Surface Lattice［J］. Precision Engineering， 2021，68：338-350.

［3］" ZHANG Jing， YAN Kai， Kou Ziming. Design and Analysis of Flexible Hinge Used for Unfolding Spacecraft Solar Panels［J］. Journal of Aerospace Technology and Management， 2019， 11：e3319.

［4］" 董飛.新型大行程柔性鉸鏈的設計及在仿生機器人中的應用［D］. 上海：上海工程技術大學，2021.

DONG Fei. Design of New Large-stroke Flexible Hinge and Its Application in Bionic Robot［D］. Shanghai：Shanghai University of Engineering Science，2021.

［5］" TIAN Yangling， YANG Mingxuan， WANG Fujin， et al. A Unified Element Stiffness Matrix Model for Variable Cross-section Flexure Hinges in Compliant Mechanisms for Micro/Nano Positioning［J］.Microsystem Technologies，2019， 25（11）：4257-4268.

［6］" PRATT G，WILLIAMSON M. Series Elastic Actuators［C］∥IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Pittsburgh， 1995：394-406.

［7］" PRATT G，WILLIAMSON M， DILLWORTH P， et al. Stiffness Isnt Everything［C］∥Experimental Robotics IV Lecture Notes in Control and Information Sciences. Berlin， 1997：253-262.

［8］" DIFTLER M A，MEHLING J S， ABDALLAH M E， et al. Robonaut 2—the First Humanoid Robot in Space［C］∥2011 IEEE International Conference on Robotics and Automation. Shanghai， 2011：2178-2183.

［9］" LAGODA C， SCHOUTEN A C， STIENEN A H A， et al. Design of an Electric Series Elastic Actuated Joint for Robotic Gait Rehabilitation Training［C］∥2010 3rd IEEE RAS amp; EMBS International Conference on Biomedical Robotics and Biomechatronics. Tokyo， 2010：21-26.

［10］" 李揚，崔士鵬，劉伊威.一種抗沖擊柔性關節的設計及仿真分析［J］.機械傳動，2017，41（11）：163-167.

LI Yang， CUI Shipeng， LIU Yiwei. Design and Simulation Analysis of an Impact-resistant Flexible Joint［J］.Mechanical Transmission， 2017，41（11）：163-167.

［11］" 史延雷，張明路，張小俊，等.一種旋轉型機器人柔性關節設計與分析［J］.中國機械工程，2016，27（18）：2494-2500.

SHI Yanlei， ZHANG Minglu， ZHANG Xiaojun， et al. Design and Analysis of a Flexible Joint for Rotating Robot［J］. China Mechanical Engineering， 2016，27（18）：2494-2500.

［12］" 劉一帆. 基于柔性關節的上肢康復機器人設計與安全控制研究［D］. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2021.

LIU Yifan. Research on Design and Safety Control of Upper Limb Rehabilitation Robot Based on Flexible Joint［D］. Harbin ：Harbin Industrial University， 2021.

［13］" 曲祥旭，曹東興，張姍.一種扭簧變剛度柔性關節的設計與研究［J］.機械工程學報，2021，57（13）：114-123.

QU Xiangxu， CAO Dongxing， ZHANG Shan. Design and Research of a Flexible Joint with torsion spring Variable Stiffness［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2021，57（13）：114-123.

［14］" 付鐵，曹雨婷.基于柔性關節的下肢康復機器人設計與分析［J］.北京理工大學學報，2021，41（1）：43-47.

FU Tie， CAO Yuting. Design and Analysis of Lower Limb Rehabilitation Robot Based on Flexible Joint［J］. Journal of Beijing Institute of Technology， 2021， 41 （1）：43-47.

［15］" 叢明，畢聰，王明昊，等.面向手功能康復訓練的軟體機器人設計［J］.中國機械工程，2022，33（8）：883-889.

CONG Ming， BI Cong， WANG Minghao，et al. Design of Soft Robot for Hand Function Rehabilitation Training［J］. China Mechanical Engineering， 2022，33（8）：883-889.

（編輯" 袁興玲）

作者簡介：

李" 琦， 男，1999年生，碩士研究生。研究方向為機器人技術。E-mail：2630606807@qq.com。

高" 宏（通信作者），男，1980年生，高級實驗師。研究方向為機器人技術、機械設計及理論。E-mail：13126608468@163.com。