多自由度慣容系統(tǒng)耗能體系減震性能的實(shí)用分析方法

摘要： 本文推導(dǎo)了由設(shè)置慣容系統(tǒng)的高層建筑結(jié)構(gòu)組成的耗能體系隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的簡(jiǎn)明封閉解，并探究了慣容系統(tǒng)在建筑結(jié)構(gòu)中的設(shè)置方案，提出了慣容系統(tǒng)耗能體系實(shí)用分析法。根據(jù)串聯(lián)型慣容系統(tǒng)的力學(xué)構(gòu)造圖及在建筑結(jié)構(gòu)中的設(shè)置方案，建立了耗能體系耦合地震動(dòng)方程。針對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程中阻尼和剛度參數(shù)不易求解的問(wèn)題，利用有限元技術(shù)和動(dòng)力學(xué)原理獲得了以實(shí)模態(tài)振動(dòng)參數(shù)表示的無(wú)控結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的等效形式，并重構(gòu)了串聯(lián)型慣容系統(tǒng)耗能體系的地震動(dòng)方程。基于功率譜密度函數(shù)的二次式分解法推導(dǎo)出建筑結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面位移、層間位移及慣容阻尼力等系列響應(yīng)譜矩的簡(jiǎn)明封閉解。通過(guò)算例驗(yàn)證了所提簡(jiǎn)明封閉解的正確性；并研究了實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)于系列響應(yīng)0～2階譜矩的影響和慣容系統(tǒng)設(shè)置樓層位置對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)減震效果的影響。研究表明，在對(duì)多自由度耗能結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)分析時(shí)，采用無(wú)控結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析時(shí)振型參與質(zhì)量比累計(jì)達(dá)到100%所對(duì)應(yīng)的實(shí)振型個(gè)數(shù)可獲得穩(wěn)定的分析精度和計(jì)算效率；以減少無(wú)控結(jié)構(gòu)層間位移作為串聯(lián)型慣容系統(tǒng)在建筑結(jié)構(gòu)中的布置策略是可行的。本文可為復(fù)雜建筑結(jié)構(gòu)設(shè)置串聯(lián)型慣容系統(tǒng)的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析提供參考。

關(guān)鍵詞： 串聯(lián)型慣容系統(tǒng)； 二次式分解法； 譜矩； 封閉解； 實(shí)用分析法

中圖分類號(hào)： TU311. 3； TU352. 1""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）12-2034-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.12.005

收稿日期： 2023-09-04； 修訂日期： 2023-12-07

基金項(xiàng)目："安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（2023AH051381，2022AH051956）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51978224）。

引" 言

大量的地震災(zāi)害表明，強(qiáng)烈的地震動(dòng)會(huì)導(dǎo)致土木工程結(jié)構(gòu)損壞，并伴隨著大量的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失，探尋經(jīng)濟(jì)有效的減震技術(shù)一直是工程界的研究熱點(diǎn)［1?3］。被動(dòng)控制技術(shù)是目前工程上應(yīng)用較為廣泛的一類減震技術(shù)，通過(guò)在結(jié)構(gòu)中設(shè)置阻尼器、減震器等裝置以降低地震動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，具有性能可靠、成本低、維護(hù)和管理簡(jiǎn)單的特點(diǎn)［4?7］。慣容系統(tǒng)［8］是一種新型被動(dòng)控制裝置，通過(guò)慣性作用和阻尼作用實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)減震效果［9?10］，具有良好的應(yīng)用前景［11］。

KAWAMATA等［12］通過(guò)試驗(yàn)研究了加速度液體質(zhì)量塊對(duì)建筑結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的抑制作用，該研究是最早研究慣容系統(tǒng)對(duì)建筑結(jié)構(gòu)減震性能的成果。慣容系統(tǒng)的顯著優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)特定機(jī)械原理［3， 10， 13］，在不改變阻尼器物理質(zhì)量的情況下數(shù)倍提高阻尼器的慣性，從而達(dá)到減震的效果。IKAGO等［3］和SAITO等［14］基于滾珠螺桿式慣容實(shí)現(xiàn)機(jī)制，研發(fā)了一種平動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化的機(jī)制，將較小物理質(zhì)量放大至數(shù)千倍慣性質(zhì)量，能夠獲得較顯著的減震效果。羅浩等［15］將黏滯單元與質(zhì)量單元串聯(lián)起來(lái)，基于位移增效機(jī)制提出了一種慣容阻尼器，研究表明該慣容阻尼器具有良好的減震特性。目前慣容系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于各類結(jié)構(gòu)的減震（振），如建筑結(jié)構(gòu)的抗震［16］和抗風(fēng)［17］、橋梁纜索振動(dòng)控制［18］、車輛減振［19］等。

利用慣容系統(tǒng)進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)的減震耗能研究方面也已取得了一定的成果。HU等［20］基于固定點(diǎn)理論研究了慣容系統(tǒng)與隔震結(jié)構(gòu)組成的耗能體系的最優(yōu)阻尼器參數(shù)的計(jì)算方法；參數(shù)優(yōu)化分析是基于耗能體系頻域響應(yīng)函數(shù)開(kāi)展的，而實(shí)際上結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)值的計(jì)算是頻響函數(shù)在頻域上的積分值，兩者勢(shì)必會(huì)存在偏差。ZHANG等［21］給出了單自由度結(jié)構(gòu)設(shè)置慣容系統(tǒng)組成的耗能體系在白噪聲譜激勵(lì)下響應(yīng)方差的解析表達(dá)式，但白噪聲譜是一種理想的地震動(dòng)激勵(lì)模型，所得結(jié)果應(yīng)用范圍有限。LAZAR等［22］基于固定點(diǎn)理論對(duì)比研究了TMD系統(tǒng)與慣容系統(tǒng)的最優(yōu)慣容名義頻率計(jì)算方法，并探究了設(shè)置慣容系統(tǒng)的多自由度結(jié)構(gòu)在時(shí)程激勵(lì)下的減震特性。以上地震動(dòng)激勵(lì)研究采用時(shí)程形式或者理想白噪聲譜激勵(lì)形式，而實(shí)際地震動(dòng)具有顯著的隨機(jī)性［23］，因其復(fù)雜性常采用表達(dá)式復(fù)雜的隨機(jī)激勵(lì)形式［24?25］。雙過(guò)濾白噪聲激勵(lì)模型［26］是工程界最常用的平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型，可較準(zhǔn)確地描述場(chǎng)地土特性對(duì)地震動(dòng)的影響。GE等［27?28］綜合利用復(fù)模態(tài)法、虛擬激勵(lì)法和有理式分解法提出了功率譜密度函數(shù)的二次式分解法，推導(dǎo)出了建筑結(jié)構(gòu)在過(guò)濾白噪聲激勵(lì)［27］及李鴻晶譜激勵(lì)下［28］的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)0面位移、層間位移及慣容系統(tǒng)出力等系列響應(yīng)0～2階譜矩的封閉解，具有較好的分析效率。

本文利用二次式分解法［27?28］，對(duì)設(shè)置串聯(lián)型慣容系統(tǒng)（series inertia damper， SID）的高層建筑結(jié)構(gòu)在雙過(guò)濾白噪聲隨機(jī)地震激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)位移及串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力等響應(yīng)的簡(jiǎn)明封閉解進(jìn)行研究，并探究慣容系統(tǒng)設(shè)置位置對(duì)建筑結(jié)構(gòu)減震性能的影響。首先，根據(jù)串聯(lián)型慣容系統(tǒng)的力學(xué)構(gòu)造圖及在建筑中的設(shè)置方式，建立耗能體系耦合地震動(dòng)方程。其次，針對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程中阻尼和剛度參數(shù)不易求解的問(wèn)題，基于有限元技術(shù)和動(dòng)力學(xué)原理獲得以實(shí)模態(tài)振動(dòng)參數(shù)表示的無(wú)控結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程等效形式，并重構(gòu)慣容系統(tǒng)耗能體系的地震動(dòng)方程。然后，基于功率譜密度函數(shù)的二次式分解法推導(dǎo)出建筑結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面位移、層間位移及慣容系統(tǒng)出力等系列響應(yīng)0～2階譜矩的封閉解，給出串聯(lián)型慣容系統(tǒng)在工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的實(shí)用分析方法。

1 串聯(lián)型慣容系統(tǒng)-建筑結(jié)構(gòu)耦合地震動(dòng)方程重構(gòu)

在建筑結(jié)構(gòu)部分樓層中設(shè)置串聯(lián)型慣容系統(tǒng)以形成耗能體系，如圖1所示。地震激勵(lì)下耗能體系的運(yùn)動(dòng)方程為：

（1）

式中" 分別為建筑結(jié)構(gòu)各集中質(zhì)量相對(duì)于地面的位移、速度和加速度向量，均為含有n個(gè)元素的列向量，n為建筑結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量個(gè)數(shù)；M，C和K分別為建筑結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，均為n階方陣；I為元素為1的n×1階向量；為慣容系統(tǒng)樓層位置矩陣，為n×L階矩陣，L為設(shè)置慣容阻尼器的總質(zhì)量點(diǎn)數(shù)，該矩陣非零元素的特點(diǎn)為：當(dāng)在建筑結(jié)構(gòu)編號(hào)為s和p的兩個(gè)集中質(zhì)量間設(shè)置編號(hào)為k的串聯(lián)型慣容系統(tǒng)時(shí)，H（s，k）=1，H（p，k）=-1；為串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力的向量，為L(zhǎng)×1階矩陣，可顯式表示為，其中，為第k個(gè)慣容系統(tǒng)出力，上標(biāo)“T”表示矩陣轉(zhuǎn)置；為場(chǎng)地土地面水平運(yùn)動(dòng)加速度。

在式（1）所示的建筑結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程中，剛度矩陣和阻尼矩陣的取值與所采用的材料力學(xué)性能和構(gòu)件尺寸有關(guān)，結(jié)構(gòu)力學(xué)方法不易獲得。由于慣容系統(tǒng)的剛度部分相對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)（無(wú)控結(jié)構(gòu)）來(lái)說(shuō)非常小，工程上常忽略其對(duì)無(wú)控結(jié)構(gòu)自振特性的影響。為此，本文提出通過(guò)有限元技術(shù)對(duì)無(wú)控結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模及分析，獲得自振圓頻率和實(shí)模態(tài)振型，并將其作為無(wú)控結(jié)構(gòu)的剛度矩陣等效形式，利用瑞利阻尼假設(shè)求解主體結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，從而避開(kāi)建筑結(jié)構(gòu)剛度和阻尼求解繁瑣的問(wèn)題。

根據(jù)實(shí)模態(tài)振型解耦法，建筑位移可表示為：

（2）

式中" 為實(shí)模態(tài)廣義坐標(biāo)向量，為N×1階矩陣，N為實(shí)模態(tài)個(gè)數(shù)；為無(wú)控結(jié)構(gòu)的實(shí)模態(tài)振型，為n×N階矩陣。

利用式（2）及實(shí)模態(tài)解耦法，則式（1）可重構(gòu)為：

（3）

式中" 分別為對(duì)時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)；為N階單位矩陣；，其中，“diag”表示對(duì)角陣運(yùn)算，為無(wú)控結(jié)構(gòu)第i階自振圓頻率；為無(wú)控結(jié)構(gòu)阻尼比；。

串聯(lián)型慣容系統(tǒng)構(gòu)造圖［11］如圖2所示，當(dāng)在結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)s和p處設(shè)置編號(hào)為k的串聯(lián)型慣容系統(tǒng)時(shí)，存在如下關(guān)系式：

（4a）

（4b）

式中" ，和分別為為慣容器的慣容系數(shù)、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；，和分別為編號(hào)k的慣容系統(tǒng)的彈簧元件、阻尼元件和慣容元件兩端的相對(duì)位移；分別為對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；分別為慣容系統(tǒng)與設(shè)置的建筑結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)p和s相對(duì)于地面的位移。

在進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，結(jié)構(gòu)位移、慣容系統(tǒng)出力及其構(gòu)件兩端的相對(duì)位移都是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。可利用式（4a）獲得串聯(lián)型慣容系統(tǒng)各構(gòu)件兩端的相對(duì)位移的導(dǎo)數(shù)與慣容系統(tǒng)出力的關(guān)系式為：

（5）

式中" 分別為對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)；和分別為對(duì)時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

同理，將式（4b）中慣容系統(tǒng)構(gòu)件兩端相對(duì)位移和建筑結(jié)構(gòu)位移對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到：

（6）

式中" ，分別為，對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)。

把式（5）代入式（6），則建立串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力與結(jié)構(gòu)位移的關(guān)系式為：

（7）

至此，建立了慣容系統(tǒng)出力與建筑結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面位移的微分型關(guān)系式（7），結(jié)合式（2）可建立建筑結(jié)構(gòu)中所有串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力與結(jié)構(gòu)位移的關(guān)系式為：

（8）

式中" 分別為對(duì)時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)；； 。

式（8）建立了慣容系統(tǒng)出力與建筑結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)廣義坐標(biāo)的關(guān)系式，其與式（3）聯(lián)立可建立慣容系統(tǒng)?高層建筑結(jié)構(gòu)耦合的動(dòng)力方程為：

（9）

其中：

（10）

式中" 分別為對(duì)時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)；；；；；，均為0元素矩陣，其中為N×L階矩陣，為L(zhǎng)×1階矩陣。

2 串聯(lián)型慣容系統(tǒng)-建筑結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的封閉解

為獲得串聯(lián)型慣容系統(tǒng)?建筑結(jié)構(gòu)耗能體系中的結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處位移、相鄰兩側(cè)豎向構(gòu)件的層間位移及串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力等系列響應(yīng)的封閉解，引入狀態(tài)變量，對(duì)式（9）進(jìn)行重構(gòu)，得到：

（11）

式中" ；表示對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)；，均為0元素矩陣，其中為N+L階矩陣，為N+L×1階矩陣。

2.1 系列響應(yīng)統(tǒng)一形式頻域解

由復(fù)模態(tài)理論［23， 29?30］可知，存在對(duì)角陣P和左、右特征向量V，U使方程（11）復(fù)模態(tài)解耦。引入復(fù)模態(tài)變換：

（12）

式中" z為復(fù)模態(tài)廣義參數(shù)。

根據(jù)復(fù)模態(tài)理論［23， 29?30］，式（11）存在復(fù)模態(tài)解耦式：

（13）

式中" 為對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)；，為含有s個(gè)元素的列向量，s=2×（N+L）。

式（13）的分量形式為：

（14）

式中" zi，ηi，pi分別為z，η，P的分量。

由虛擬激勵(lì)法［27?28，31］可知，式（14）的頻域解為：

（15）

式中" 表示圓頻率自變量；為的頻域解；為地震動(dòng)激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)；。

由式（10）和（12）可知，慣容系統(tǒng)出力的頻域解為：

（16）

式中" 為的頻域解；為慣容系統(tǒng)出力的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)。

由式（2），（10），（12）及實(shí)模態(tài)解耦法可知，建筑結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處的位移和速度的頻域解分別為：

（17a）

（17b）

式中" 分別為的頻域解；和分別為結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處的位移和速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)，其中為結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型的第k行、第l列元素，為右特征向量矩陣U的第l行、第i列元素。

由式（17）及層間位移定義可知，豎向構(gòu)件相鄰兩層集中質(zhì)量的相對(duì)位移可表示為結(jié)構(gòu)層間位移和層間位移變化率，兩者的頻域解分別為：

（18a）

（18b）

式中" 分別為的頻域解；和分別為層間位移和層間位移變化率的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)。

由式（16）～（18）可知，串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力、建筑結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處的位移及其變化率、層間位移及其變化率等響應(yīng)量具有相同形式的表達(dá)式，故上述響應(yīng)量的頻域解可統(tǒng)一表示為：

（19）

式中" 為響應(yīng)量的第i個(gè)模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)。

2.2 系列響應(yīng)0～2階譜矩和方差封閉解

由虛擬激勵(lì)法［31］可知，的功率譜為：

（20）

式中" 為的共軛項(xiàng)。

將式（15）代入式（20），運(yùn)用功率譜二次式分解法［27?28， 30］，響應(yīng)量Y的功率譜的二次式表示為：

（21）

當(dāng)?shù)卣饎?dòng)激勵(lì)采用雙過(guò)濾白噪聲激勵(lì)模型時(shí)，其功率譜密度函數(shù)［26］為：

（22）

式中" 為地震激勵(lì)模型的常參數(shù)。

基于有理式分解法［27］可獲得式（22）的二次分解式為：

（23）

式中" ； ；；；；；；，其中“conj”表示求參數(shù)的復(fù)共軛值。

把式（23）代入式（21），則系列響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)的二次分解式為：

（24）

其中：

（25）

結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0～2階譜矩及方差是描述響應(yīng)量隨機(jī)振動(dòng)特性的重要參數(shù)，是基于Vanmarke動(dòng)力可靠度分析的基礎(chǔ)［32?33］。響應(yīng)的0階譜矩等于其方差，響應(yīng)的2階譜矩是其變化率的方差，為此可通過(guò)譜矩分析獲得結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的上述4種參數(shù)。由譜矩［32］定義可知，響應(yīng)的q階譜矩為：

（26a）

（26b）

（26c）

式中" ；分別為響應(yīng)量Y的方差和其變化率的方差。

將式（24）代入式（26a），利用二次式在［0，+∞）上積分有解析解，可獲得響應(yīng)量0～1階譜矩的封閉解［27?28］為：

（27）

其中：

（28）

式中 ； ，其中下標(biāo)a=g，f；下標(biāo)w=m，n。

由式（26）同樣獲得了系列響應(yīng)的二階譜矩和方差。

3 算" 例

為驗(yàn)證本文所提計(jì)算串聯(lián)型慣容系統(tǒng)?高層結(jié)構(gòu)組成的耗能體系隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的0～2階譜矩封閉解的正確性，研究無(wú)控原結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型數(shù)的取值對(duì)分析結(jié)構(gòu)的影響及串聯(lián)型慣容系統(tǒng)設(shè)置位置對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響，通過(guò)數(shù)值算例逐一開(kāi)展研究。

圖3為12層鋼筋混凝土建筑結(jié)構(gòu)的一榀框架構(gòu)件布置圖，荷載從屬寬度為6.6 m；結(jié)構(gòu)柱尺寸為：1～5層為0.7 m×0.7 m，6～12層為0.5 m×0.5 m；結(jié)構(gòu)梁尺寸為0.3 m×0.7 m，梁柱采用C30混凝土，彈性模量為3.0×104 MPa。結(jié)構(gòu)豎向荷載由混凝土結(jié)構(gòu)自重（重度為26 kN/m3）、鋪裝荷載（1.5 kN/m2）、樓板荷載（2.5 kN/m2）和豎向活荷載（2.0 kN/m2）組成，動(dòng)力分析的質(zhì)量矩陣按集中質(zhì)量法確定，根據(jù)現(xiàn)行規(guī)范［34］集中質(zhì)量由荷載組成，其恒載系數(shù)為1.0，活荷載系數(shù)為0.5。阻尼采用瑞利模型，阻尼比為5%。串聯(lián)型慣容系統(tǒng)的參數(shù)取值為：=1.01×107 N/m，=7.5×106 N·s/m，=1.0×106 kg。

利用MIDAS Civil有限元軟件對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，圖4為結(jié)構(gòu)的MIDAS模型，梁的慣性矩取實(shí)際尺寸截面計(jì)算的2.5倍；圖中數(shù)字為節(jié)點(diǎn)編號(hào)，通過(guò)特征值分析后可獲得結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型、自振圓頻率及節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量等動(dòng)力分析所需要的參數(shù)。表1給出了無(wú)控結(jié)構(gòu)前13階自振圓頻率。雙過(guò)濾白噪聲激勵(lì)的參數(shù)為：ωg=8.67 rad/s，ξg=0.8，ωf=0.4ωg，ξf=0.8，S0=166.22×10-4 m2/s3。

3.1 系列響應(yīng)簡(jiǎn)明封閉解的驗(yàn)證及實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)分析精度的影響

為驗(yàn)證所提耗能體系地震動(dòng)響應(yīng)簡(jiǎn)明封閉解的正確性，研究多自由度結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)響應(yīng)分析精度的影響，在1～4層和9～12層設(shè)置慣容系統(tǒng)，具體位置如圖5所示。

3.1.1 系列響應(yīng)簡(jiǎn)明封閉解的驗(yàn)證

虛擬激勵(lì)法由林家浩等［31］提出，是已被證明能有效分析隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方法，下面給出虛擬激勵(lì)法下無(wú)控結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處位移和慣容系統(tǒng)出力的計(jì)算公式的推導(dǎo)。

利用虛擬激勵(lì)法對(duì)式（3）進(jìn)行改寫，得到：

（29）

式中" 分別為的傅里葉變換。

對(duì)式（8）進(jìn)行傅里葉變換，得到：

（30）

由式（30）可知，可表示為：

（31）

將式（31）代入式（29），可獲得建筑結(jié)構(gòu)關(guān)于廣義坐標(biāo)的頻域解為：

（32）

其中：

。

建筑結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處位移的響應(yīng)功率譜密度函數(shù)為：

（33）

式中" 為集中質(zhì)量處位移功率譜列向量；“”表示向量點(diǎn)乘運(yùn)算。

由式（32）及（33）可知，慣容阻尼器阻尼力的功率譜密度函數(shù)為：

（34）

式中" 為的功率譜密度函數(shù)列向量。

由虛擬激勵(lì)法可知，結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處位移及串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力的q（q=0，1，2）階譜矩可分別由功率譜積分獲得：

（35a）

（35b）

由式（33）和（34）可知，結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量處位移及慣容系統(tǒng)出力的功率譜密度函數(shù)為列向量，且為圓頻率的高次多項(xiàng)式，故式（35）表示的積分只能采用梯形面積數(shù)值法求解。式（34）為關(guān)于圓頻率的偶函數(shù)，且采用梯形面積法積分時(shí)，積分區(qū)間無(wú)法取為無(wú)窮大，只能取有限積分區(qū)間，式（35）的實(shí)際計(jì)算公式為：

（36a）

（36b）

式中" 為數(shù)值積分區(qū)間上限；，其中，表示頻域變量積分間距。

由式（36）可知，利用虛擬激勵(lì)法計(jì)算結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)0～2階譜矩的計(jì)算精度和效率受積分上限和積分間距取值的影響。經(jīng)試算，本文的=500 rad/s即可達(dá)到高精度。由數(shù)值積分原理可知，取值越小，計(jì)算越精確，為此，取值為4個(gè)工況，即，1.0，0.1和0.01 rad/s。圖6～11給出了集中質(zhì)量處位移及串聯(lián)型慣容系統(tǒng)出力的0～2階譜矩兩種方法的對(duì)比圖。

從圖6～11中可知，隨著取值逐漸變小，虛擬激勵(lì)法計(jì)算結(jié)果逐漸逼近本文方法，從而說(shuō)明所提封閉解的正確性。由圖6～8并結(jié)合圖4中各樓層節(jié)點(diǎn)編號(hào)可以發(fā)現(xiàn)，同一樓層處建筑結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)處位移的0階、1階和2階譜矩基本相同，驗(yàn)證了現(xiàn)行建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范［34］對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)樓板平面內(nèi)剛度無(wú)限大假設(shè)的合理性。由建筑結(jié)構(gòu)1～5層和6～12層的構(gòu)件截面相同以及圖9～11可知，在構(gòu)件尺寸和樓層高度相同的條件下，隨著樓層的增高，串聯(lián)型慣容系統(tǒng)響應(yīng)譜矩?cái)?shù)值降低；由慣容系統(tǒng)編號(hào)1 和2可知，在構(gòu)件尺寸相同的條件下，樓層高度越高，譜矩?cái)?shù)值越小。

從兩種方法的分析效率來(lái)看，工況為0.1和0.01 rad/s的耗時(shí)分別為2.96和29.04 s，而本文方法耗時(shí)僅為1.27 s，本文方法具有較高的分析效率，且無(wú)需考慮積分上限和積分間距的影響。

3.1.2 實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)計(jì)算精度和分析效率的影響

實(shí)際工程中，應(yīng)用實(shí)模態(tài)解耦法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析時(shí)，取結(jié)構(gòu)振動(dòng)的前若干階振型即可滿足工程精度的要求。MIDAS Civil有限元軟件通過(guò)振型參與質(zhì)量比來(lái)衡量各階振型對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響程度，表2列出了實(shí)模態(tài)振型參與質(zhì)量比與振型數(shù)的關(guān)系，從表中可知前13階振型參與質(zhì)量比為100%（結(jié)構(gòu)共48個(gè)實(shí)模態(tài)振型）。

設(shè)置慣容系統(tǒng)后，需要研究振型對(duì)慣容系統(tǒng)?建筑結(jié)構(gòu)地震動(dòng)計(jì)算精度的影響，在確保耗能體系減震分析精度的條件下，以較少的實(shí)模態(tài)振型數(shù)來(lái)提高分析效率。3.1.1節(jié)的研究表明，本算例中同一高度處的各節(jié)點(diǎn)譜矩值相同，即滿足平截面假定，故研究實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響可取結(jié)構(gòu)一根柱子上各節(jié)點(diǎn)響應(yīng)值（即節(jié)點(diǎn)號(hào)1～13）。根據(jù)表2，為探究實(shí)模態(tài)振型數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析的影響，給出了3種工況下結(jié)構(gòu)位移的0～2階譜矩與全振型工況的對(duì)比圖，如圖12～14所示。

從圖12～14中可知，考慮前1階振型時(shí)，結(jié)構(gòu)位移的0～2階譜矩與考慮全部振型時(shí)偏差非常大，且不同節(jié)點(diǎn)處的位移計(jì)算精度差別亦較大。考慮前5階振型時(shí)，響應(yīng)量的計(jì)算精度相對(duì)只考慮1階振型時(shí)有較大提高。考慮前13階振型時(shí)，結(jié)構(gòu)位移的偏差極小，可作為響應(yīng)譜矩計(jì)算的振型數(shù)。通過(guò)與表2對(duì)比發(fā)現(xiàn)，設(shè)置慣容裝置后多自由度結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)響應(yīng)分析可按多自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)振型參與質(zhì)量比達(dá)到100%來(lái)選擇實(shí)模態(tài)振型數(shù)，從而達(dá)到更好的分析精度。

從計(jì)算耗時(shí)來(lái)看（耗時(shí)包括振型的讀取和響應(yīng)量的計(jì)算耗時(shí)），考慮前13階振型總耗時(shí)25.63 s；考慮全部振型（前48階）總耗時(shí)92.58 s。耗時(shí)主要發(fā)生在實(shí)模態(tài)振型讀取時(shí)，而譜矩的計(jì)算耗時(shí)分別為0.21和0.96 s。取參與質(zhì)量比達(dá)到100%時(shí)對(duì)應(yīng)的振型數(shù)進(jìn)行工程分析，在確保分析精度的條件下可顯著提高分析效率。

3.2 串聯(lián)型慣容系統(tǒng)設(shè)置位置對(duì)結(jié)構(gòu)減震效果的影響

工程上利用慣容系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)減震是通過(guò)將慣容系統(tǒng)設(shè)置在建筑結(jié)構(gòu)的兩樓層間來(lái)實(shí)施的。在層間位移越大的樓層設(shè)置阻尼器，減震效果越好。為此，提出在無(wú)控結(jié)構(gòu)層間位移較大的樓層作為慣容系統(tǒng)設(shè)置位置的優(yōu)化策略，即首先獲得無(wú)控結(jié)構(gòu)層間位移方差，然后在層間位移較大的樓層處或相鄰樓層設(shè)置慣容系統(tǒng)，以分析其減震效果。

圖15給出了無(wú)控結(jié)構(gòu)的層間位移及層間位移限值線，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1～11層的層間位移均超過(guò)規(guī)范限值［34］（限值為H/550，H為層高）。為此制定3種慣容阻尼器設(shè)置方案，方案1：在2層和6層設(shè)置；方案2：在超限樓層中隔層設(shè)置，即第2，4，6，8，10層設(shè)置，并在位移較大的6，8層設(shè)置2組阻尼器；方案3：在所有超限的樓層設(shè)置，即在第1～11層設(shè)置并在位移較大的6～8層設(shè)置2組阻尼器。圖15給出了3種串聯(lián)型慣容系統(tǒng)設(shè)置方式下的層間位移。

從圖15中可知，方案1可顯著降低阻尼器所在樓層（2和6層）的層間位移，其他樓層的層間位移也會(huì)有所降低；方案2可有效降低所有慣容系統(tǒng)所在樓層的層間位移，但對(duì)于無(wú)控結(jié)構(gòu)層間位移較大的7層和9層，未能低于限值；方案3為在層間位移超限的所有樓層處設(shè)置阻尼器，可顯著降低所有樓層的層間位移并低于限值。

以上分析說(shuō)明，慣容系統(tǒng)可有效降低所在樓層的層間位移，以降低層間位移為策略布置阻尼器，能夠以最經(jīng)濟(jì)的阻尼器布置數(shù)量達(dá)到抗震的目的。

4 結(jié)" 論

本文研究了設(shè)置串聯(lián)型慣容系統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)在雙過(guò)濾白噪聲隨機(jī)地震激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)位移及慣容系統(tǒng)出力等響應(yīng)的簡(jiǎn)明封閉解，提出了耗能系統(tǒng)實(shí)用分析法，結(jié)論如下：

（1）基于有限元技術(shù)對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由振動(dòng)分析，獲得以阻尼比和自由振動(dòng)圓頻率表示的建筑結(jié)構(gòu)實(shí)模態(tài)等效動(dòng)力方程，解決實(shí)際結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程阻尼和剛度不易獲得的問(wèn)題。

（2）運(yùn)用響應(yīng)功率譜密度二次分解法，建立慣容?高層結(jié)構(gòu)耗能建筑體系相對(duì)于地面的絕對(duì)位移、層間位移和慣容系統(tǒng)出力的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)0～2階譜矩的封閉解，所提方法可推廣至線性結(jié)構(gòu)基于其他復(fù)雜平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的隨機(jī)響應(yīng)分析中。

（3）大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)按多自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)需要考慮多個(gè)振型的影響，建議選擇自由振動(dòng)分析時(shí)振型參與質(zhì)量比累計(jì)為100%時(shí)對(duì)應(yīng)的振型數(shù)，可獲得穩(wěn)定解，并具有較好的分析效率。

（4）以減少結(jié)構(gòu)層間位移作為減震策略來(lái)進(jìn)行高層結(jié)構(gòu)串聯(lián)型慣容系統(tǒng)布置，能夠以最經(jīng)濟(jì)的阻尼器設(shè)置方案達(dá)到減震的目的。

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Practical analysis method for seismic reduction performance of multiple-degree-of-freedom structure with inerter

DENG Lin1，3， GE Xin-guang2， LI Zuo-hua4

（1.School of Architecture and Civil Engineering， Huangshan University， Huangshan 245041，China；2.School" of Civil Engineering and Architecture， Liuzhou Institute of Technology， Liuzhou 545616，China；3.Prefabricated Building Technology Innovation Center of Huangshan City， Huangshan 245041，China；4.School of Civil and Environmental Engineering，Harbin Institute of Technology （Shenzhen）， Shenzhen 518055，China）

Abstract：" A practical analysis method for inertia damper energy dissipation systems composed of building structures with inertia dampers is proposed， including of concise closed-form solutions for the random seismic response and a practical setting strategy for inertia dampers. Based on the mechanical structure diagram of the series inertial damper and installation method in buildings， the coupled seismic motion equation of the energy dissipation system is established. In response to the difficulty in solving the damping and stiffness parameters in the actual dynamic equations of structures， an equivalent form of the uncontrolled structure represented by real modal vibration parameters is obtained based on finite element technology and dynamic principles， and the dynamic equation of the inertia damper energy dissipation system is reconstructed. Based on the quadratic decomposition method of the power spectral density function， closed-form solutions of the spectral moments of the building structure relative to ground displacement， interlayer displacement， and inertial damping force are derived. The correctness of the proposed concise closed form solution is verified through numerical examples， and the influence of real mode number on the 0～2 spectral moment of series response and the influence of floor position of inertia dampers on the seismic reduction effect of structures are studied. Results show that， using the number of actual vibration modes corresponding to the cumulative participation coefficient of 100% in the free vibration analysis of uncontrolled structures can achieve stable analysis accuracy and computational efficiency for the response analysis of multi-degree of-freedom energy dissipating structures， and to use reducing interlayer displacement of uncontrolled structures as the placement strategy for installation of inertial dampers is simple and feasible. This paper can provide a reference for the analysis of random ground motion response of complex building structure with series inertia capacity system.

Key words： series inertia damper（SID）；quadratic decomposition method；spectral moments；closed-form solution；practical analysis method

作者簡(jiǎn)介： 鄧" 林（1980―），男，碩士，副教授。 E-mail： denhere@163.com。

通訊作者： 李祚華（1978―），男，博士，教授。 E-mail： lizuohua@hit.edu.cn。