基于后繼運算的新定義問題的一次命題實踐

摘 要：本文以一道基于后繼運算的新定義問題為例，展示命題思路及命題過程，總結命題經驗與教學方法，并給出了與此背景有關的開放性的問題，以期為一線教師教學提供一些參考.

關鍵詞：后繼運算；新定義；命題實踐

新定義試題是近兩年來各級各類考試的熱點，尤其在2024年高考中大放異彩.該題型以全新定義的數學對象或運算方式為基礎，考查學生的思維能力，其形式新穎，考查功能顯著，降低了盲目做題和套路訓練的收益，一定程度上能起到抑制題海戰術的作用，對落實數學核心素養，培養學生的創新思維也有著積極的引導作用.基于以上背景，筆者在學校高二下學期期中考試中，命制了一道基于后繼運算的新定義問題，并將命題過程、試題內容、測試結果和命題反思等內容整理成文，以期為教學提供指導.

1 題目呈現

原創題 對于a，b∈N*，定義a⊙a=a+1，a⊙b=max{a+1，b+1}，其中max{x1，…，xn}=xi（i=1，…，n），xi為x1，…，xn中最大的數.例如，max{1，1}=1，max{1，2}=2，max{1，2，5}=5.根據以上內容，對于a，b，c∈N*，請回答下列問題.

（1）（（（a⊙a）⊙a⊙…）⊙a）⊙an個a=""" （用a和n表示）.

（2）滿足（a⊙b）⊙c=4的有序數對（a，b，c）有幾個？

（3）滿足（a⊙b）⊙c=n的有序數對（a，b，c）有幾個？

（4）滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=n的有序數對（a，b，c）有幾個？

考查目標：考查學生利用不等式和計數原理解決實際問題的能力，以及對新定義問題理解和分析的能力.

設計思路：本題是筆者為學校高二下學期期中考試命制的題目，基于已學知識，希望考查不等式、計數原理等主干內容，并滲透分類討論、轉化與化歸等數學思想.同時，本題是一道以符號語言為載體的新定義問題，學生需要通過閱讀材料提取信息，進而完成解答，對學生數學抽象與邏輯推理等核心素養有著較高的要求．

2 命題背景

運算等級是算術的基本概念之一，在算術運算中，根據其運算的難易程度劃分的運算級別稱為運算等級.例如，加法是一級運算，乘法是二級運算，乘方是三級運算.

對于上述運算，有時還采用高級運算和低級運算兩個相對概念來加以區分.例如，對于一級運算來說，二級運算是高級運算，但對于三級運算來說，二級運算是低級運算.

事實上，用來描述自然數的基本性質和規律的皮亞諾公理中曾提到“后繼數”，即每一個確定的自然數a，都有一個確定的后繼數a′，a′也是自然數，其所代表的“后繼運算”可以看成是比加法更低級的運算.這樣的運算在數論以及計算機語言中也有著廣泛的應用.

基于以上背景，筆者考慮將一元后繼運算推廣到二元和多元后繼運算，以探究運算律以及得到相同運算結果的不同運算方案為目的，設計了若干題目．

3 命題過程

3.1 初稿呈現

（1）（（（a⊙a）⊙a⊙…）⊙a）⊙an個a=""" （用a和n表示）.

（2）求證：（a⊙b）+c=（a⊙c）+（b⊙c）.

（3）（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）一定成立嗎？做出判斷并給出證明.

（4）滿足（a⊙b）⊙c=4的有序數對（a，b，c）有幾個？一般地，滿足（a⊙b）⊙c=n的有序數對（a，b，c）有幾個？

（5）滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=4的有序數對（a，b，c）有幾個？一般地，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=n的有序數對（a，b，c）有幾個？

（6）若a，b，c≤5，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）的有序數對（a，b，c）有幾個？一般地，若a，b，c≤n，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）的有序數對（a，b，c）有幾個？

3.2 命題思路及修改過程

在命題時，為了揭示后繼運算是比加法運算更低級的運算，筆者設計了第（1）問.從運算原理上看，第（1）問的本質是多次后繼運算，可以用加法運算簡化；從考查目標上看，第（1）問可以引導學生通過閱讀材料理解新定義運算的實際意義，為解決后續問題做鋪墊.

初稿中的第（2）問和第（3）問是為了引導學生通過證明發現，該新定義運算滿足分配律但不滿足結合律，其推導過程會對后續復雜問題的處理帶來啟發.同時，其獨特的性質也會引起學生探究新知的欲望，讓試題活起來，激發學生學習數學的內驅力.

在磨題的過程中，組內教師討論認為初稿中的第（2）問比較簡單，且受限于試題篇幅，故將其刪去.另外，由于第（4）問和第（5）問的存在，學生已經能從題干中猜到該運算不滿足結合律，故初稿中的第（3）問無需單獨出現，可以蘊藏在后兩問中，讓學生在解決問題的過程中自行發現并探究.

最終決定將初稿中第（4）問的特殊情形和一般情形分別作為定稿的第（2）問和第（3）問，既給予了學生適當的提示，也體現了從特殊到一般的數學推理方法；將初稿中第（5）問的一般情形作為定稿的第（4）問，作為對定稿第（3）問的升華，同時也作為該運算不符合結合律的一個例子，讓學生在考試結束后仍有興趣去思考和探究，希望能起到以考促學的效果，讓學生實現全過程學習.

初稿中的第（6）問想說明的是，在此新定義運算的基礎上，可以通過增加參與運算的變元個數或改變變元取值范圍等方法，生成一系列有關問題，從而體現了該命題背景的開放性和可延展性.基于以上特征，本題可以作為教師專題教研或學生自主探究模板的題目，可起到拋磚引玉、以點及面的效果．

4 試題分析

4.1 第（1）問試題分析

分析：由題意，相同元素a與a之間每作一次⊙運算都等價于在前一次運算結果的基礎上加1，n個a依先后次序共運算了n-1次，故結果為a+n-1.本題也可對a和n取特殊值，進而歸納得到結果.從閱卷情況來看，有很多學生選擇這種做法.在面對新情境問題時，由特殊到一般通常是一種有效的分析方法，在日常教學中也可多向學生滲透此方法.

4.2 第（2）問試題分析

分析：借助定義中的max符號計算（a⊙b）⊙c的結果，有（a⊙b）⊙c=max{max{a+1，b+1}+1，c+1}=max{a+2，b+2，c+1}.該表達式是本題的題眼，在第（3）問和第（4）問的推理過程中也起到至關重要的作用.

（a⊙b）⊙c=4，即max{a+2，b+2，c+1}=4時，對a，b，c的取值進行分類討論，得到（a，b，c）共有10個.在解題時，需要注意c=1或2時，對（a，b）中重復元素進行剔除.

4.3 第（3）問試題分析

分析：由第（2）問分析可知，（a⊙b）⊙c=n，即max{a+2，b+2，c+1}=n時，對a，b，c的取值進行分類討論，得到（a，b，c）共有3n2-13n+14個.在解題時，需要注意c=1，…，n-2時，對（a，b）中重復元素進行剔除.

4.4 第（4）問試題分析

分析：借助定義中的max符號計算a⊙（b⊙c）的結果，有a⊙（b⊙c）=max{a+1，max{b+1，c+1}+1}=max{a+1，b+2，c+2}.對比（a⊙b）⊙c的結果可知，（a⊙b）⊙c和a⊙（b⊙c）不恒相等，即該運算不滿足結合律.

第（4）問要解決的問題是計算（a⊙b）⊙c和a⊙（b⊙c）恰好都等于n，即滿足max{a+2，b+2，c+1}=max{a+1，b+2，c+2}=n的（a，b，c）的所有可能.事實上，由第（3）問的推理過程可知，第三類中的所有情況均不成立，只需要在第一類和第二類中考慮，最終得到（a，b，c）共有n2-3n+1個.在解題時，需要注意b=1，…，n-3與b=n-2兩種情況之間已經沒有重復元素.

5 測試結果及分析

5.1 測試數據

本題為本校高二下學期期中考試第17題，分值設置為“3+3+6+3”，測試對象為全體高二學生，共收到665份有效試卷.學生得分情況統計表（見表1）、各分值人數統計圖如下（如圖1）.

5.2 結果分析

筆者獨自完成了此題的批閱工作，并結合閱卷實況和測試數據統計結果做簡要分析．

5.2.1 從特殊到一般

由表1可知全體平均分為5.72，十分接近前兩問的總分6分.從圖1中也能夠發現，有70%左右的學生只能拿到前兩問以內的分數.筆者閱卷時發現，前兩問都做對的學生中有很多也是使用的枚舉法，缺少有條理的分類討論流程.這種情況說明在有限的考試時間內，學生對新定義問題的處理能力還停留在表層階段，即通過取特殊值或找規律等方法得到具體的數字結果.

該結果提示教師，在帶領學生學習和探索新定義問題的解題策略時，一方面，要幫助學生掌握本題中所體現的從特殊到一般的推理方式，即通過取特殊值或找規律的方法先拿到一部分結果，從而得到一定的過程分；另一方面，需要協助學生構建從具體數字推理上升到抽象符號推理的橋梁，尋找特殊和一般之間的聯系，步步為營，先敢于，再善于使用字母和符號推理，得到一般情形下的結果.在這一過程中，學生數學抽象和邏輯推理的核心素養將得到有效提升．

5.2.2 符號語言規范化

筆者將本題高分段和低分段的代表性答卷進行對比后發現，獲得高分甚至滿分的學生，絕大部分都能夠較為規范地使用符號語言進行邏輯推理和分類討論，其卷面整潔，運算過程和結果清晰.相反，得分較低的學生卷面書寫較為隨意，究其原因，可能與沒有充分理解題意以及題目中所給的符號有關.

該結果提示教師，一方面，在日常課堂教學中要規范解答題的書寫過程，給學生做好典范；另一方面，在帶領學生進行新情境問題的專項訓練時，可多換位思考，站在學生的角度與其一起剖析相關問題，引導學生善用轉化與化歸思想，將陌生情境化為能用熟悉的知識點解決的情境，從而實現對創新型試題的有效突破.^［1］

6 命題反思與體會

6.1 理論指導與反思

數學創新型試題是指依據數學課程標準的理念和要求，依托一定數學命題原理和技術，在題目背景、題目形式、解題方法等方面具有新穎性和獨特性的數學題.數學創新型試題能夠較好地診斷和培養學生的數學創新意識與能力，有效提升學生數學核心素養，在各級各類考試中都有著重要的地位.^［2］

常見的數學創新型試題包括引入新定義、融入數學史、滲透高觀點等類型.本次命題成果屬于引入新定義型創新試題，這類創新題的運算規則通常面向集合、向量、函數等數學對象，并選取一些不常見的特殊符號作為運算符號.學生在面對此類問題時往往具有強烈的陌生感和恐懼感，并在解題的過程中出現概念理解不透徹、運算準確度不夠高等問題，究其原因，還是在數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養方面有所欠缺.教師在日常教學中應重視對學生有關能力的培養.

此外，作為命題者，一方面，要在命題過程中對學生可能遇到的困難做出預判，以此為依據設置恰當的問題或做出適當的引導和鋪墊；另一方面，要在題目實測后及時收集數據，與有關學生和教師交流得到反饋，從而積累命題經驗，不斷提升命題水準．

6.2 個人心得與體會

考試后筆者與學生交流考試感受，尤其是關于本題的想法，學生給出的反饋主要有以下兩點：一是在考場上被新定義嚇到，無從下手；二是考試結束后訂正試卷時又覺得題目很有趣，題目本身難度不大，但是很鍛煉思維能力.借此機會，筆者鼓勵學生可以仿照本題自己設計新定義問題，與同學相互切磋琢磨，學生興趣高漲，學習數學的積極性得到了提升.

經歷了這次從命題、閱卷到與學生互動得到反饋，教師帶領學生進行自主命題的數學探究活動的完整過程，教育形成了閉環.在這一過程中，教師拓寬了自己的專業視野，提升了自己的業務能力；學生體會到了命題者的思想，甚至自己成為命題者，感知題目的溫度，在提升自身數學素養的同時，感受到數學學習的樂趣.

由此，筆者認為命題和解題不僅是教師必備的職業技能，也是教師和學生深入交流的一種方式.教師應充分利用這一方式構建與學生友好交流的紐帶和橋梁，讓考試結果不再是冰冷的分數，而是鼓勵學生繼續探索新知的動力．

參考文獻

［1］沈健.賞析數學競賽中的新定義型試題［J］.數學通訊，2022（8）：58-60+62．

［2］宋燕伶，羅荔齡，彭剛.例談高中數學創新型試題的命制策略［J］.數學通訊，2022（24）：44-48+53．