多維視角類比遷移，自我建構(gòu)發(fā)展思維

摘 要：筆者從不同視角出發(fā)，經(jīng)歷探究四邊形外角和的過程，類比遷移三角形內(nèi)角和、外角和，四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我建構(gòu)，將碎片化知識(shí)連在一起，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)體系，促進(jìn)知識(shí)的同化順應(yīng)，促使思維的高階發(fā)展.教師在教學(xué)中把課堂真正還給學(xué)生，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，能在合作交流中獲得意外驚喜.

關(guān)鍵詞：多維視角；類比遷移；自我建構(gòu)；外角和

課堂是學(xué)習(xí)的主陣地，是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）中指出，教師應(yīng)改進(jìn)教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu).^［1］引導(dǎo)學(xué)生思考是不變的宗旨，如何設(shè)計(jì)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思考，是教師需要深入研究的話題.本文從不同的視角出發(fā)，依據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，類比遷移已學(xué)知識(shí)，由未知轉(zhuǎn)化成已知，由陌生的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成熟悉的知識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.學(xué)習(xí)，不是一個(gè)被動(dòng)接受的過程，而是一個(gè)向上求取、積極主動(dòng)的過程，筆者以“探究四邊形外角和”為例，進(jìn)行課堂教學(xué)研究.

1 教學(xué)內(nèi)容

1.1 內(nèi)容分析

探究四邊形外角和屬于多邊形內(nèi)角和與外角和的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)外角的定義和三角形的外角和后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)四邊形的外角和.學(xué)生之前研究過三角形外角和為360°，有一定的經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上探究四邊形外角和，進(jìn)行方法的類比遷移，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，這是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過程，能夠較好地促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考.四邊形的外角和推向一般的多邊形，如五邊形、六邊形等，繼續(xù)類比遷移，形成學(xué)習(xí)的知識(shí)體系.所以，探索四邊形的外角和這一部分起到承上啟下的作用，實(shí)現(xiàn)知識(shí)上的同化順應(yīng)，也加深學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)推動(dòng)思維的進(jìn)階發(fā)展.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷四邊形外角和的探究過程，類比遷移三角形外角和的證明過程，進(jìn)行知識(shí)的整體建構(gòu).

（2）從不同視角出發(fā)，由已知到未知，進(jìn)行類比遷移，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.

（3）在合作交流中，感悟研究的一般路徑，促進(jìn)思維的發(fā)展.

1.3 教學(xué)重難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：探究四邊形外角和的證明過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.

教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)分析和解決問題，建構(gòu)學(xué)習(xí)的知識(shí)體系.

2 教學(xué)過程

2.1 開門見山，明確研究方法

師：這節(jié)課我們探究四邊形外角和，你會(huì)如何著手研究？

生1：探究四邊形外角和，我們可以類比四邊形內(nèi)角和的探究思路，從三角形到四邊形，從已知到未知進(jìn)行拓展.

師：我們在研究陌生的內(nèi)容時(shí)，想想之前學(xué)過的知識(shí)、方法，類比遷移，從已知到未知不斷拓展，也是解決問題的途徑.其他同學(xué)還有想法嗎？

生2：探究四邊形外角和，也可以先特殊化，如果四邊形是長方形，每個(gè)外角都是90°，那么外角和就為360°，然后我們再研究一般的四邊形.

師：生2運(yùn)用從特殊到一般的思想方法，在我們的學(xué)習(xí)中，有些問題第一眼看過去一籌莫展，強(qiáng)化條件，將其特殊化處理，也是解決問題的重要方法.

【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)評學(xué)生的發(fā)言是課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，對于發(fā)言者來說，是一種肯定，學(xué)生認(rèn)真傾聽，本身也是一種學(xué)習(xí)，效果比“一言堂”好.數(shù)學(xué)教學(xué)需要深層次的評價(jià)，及時(shí)點(diǎn)評能加深學(xué)生的印象，使思維具有深刻性.學(xué)生能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，將其運(yùn)用在具體問題中，是非常好的突破.

2.2 一題多解，切換不同視角

師：一般的四邊形外角和該如何研究？

生3：可以利用內(nèi)角和進(jìn)行證明.如圖1所示，求∠1+∠2+∠3+∠4的總和，∠1=180°-∠5，同理，∠2、∠3、∠4也可以轉(zhuǎn)化成內(nèi)角，那么∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-（∠5+∠6+∠7+∠8）=180°×4-180°×2=360°.

師：通過外角的定義，將∠1、∠2、∠3、∠4轉(zhuǎn)化為內(nèi)角，借助已學(xué)的多邊形內(nèi)角和知識(shí)解決問題，是不錯(cuò)的途徑.還有其他方法嗎？

生4：如圖2所示，連接AC，∠4是△ACD的外角，則∠4=∠5+∠7.同理，∠2=∠6+∠8，那么∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+（∠6+∠8）+∠3+（∠5+∠7）=（∠1+∠5+∠6）+（∠3+∠7+∠8）=360°.

師：這種方法利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的結(jié)論，將四邊形分割成兩個(gè)三角形，借助三角形的外角性質(zhì)解決問題，在研究多邊形內(nèi)角和時(shí)，就是采用此方法，這就是方法上的類比遷移.

生5：如圖3所示，延長線段AD、BC交于點(diǎn)M，∠1是△AMB的外角，則∠1=∠M+∠6，那么∠1+∠2+∠3+∠4=∠M+∠6+∠2+∠5+∠4=（∠M+∠4+∠5）+（∠2+∠6）=180°+180°=360°.

師：生5的想法很有意思，將四邊形補(bǔ)成三角形，∠1當(dāng)成△AMB的外角，∠3轉(zhuǎn)化為∠5，通過三角形的內(nèi)角和外角性質(zhì)，靈活解決此題.思維很靈活，怎樣看待一個(gè)角，當(dāng)成內(nèi)角還是外角，視角不同，就會(huì)出現(xiàn)不同的思路，這就是我們需要的發(fā)散性思維.

生6：將∠1、∠2、∠3、∠4全看成內(nèi)角.如圖4所示，連接EH、HG、GF、EF，∠1、∠2、∠3、∠4分別看成△AEH、△EBF、△CGF、△HDG的內(nèi)角，借助四次三角形內(nèi)角和及一次四邊形內(nèi)角和解決問題.

師：生6的視角是將四個(gè)目標(biāo)角都當(dāng)成內(nèi)角看，大膽地構(gòu)造圖形.我們心中有什么，將會(huì)看到什么，變換思維，美妙的解法應(yīng)運(yùn)而生，思維的廣度就此打開.

生7：如圖5所示，過點(diǎn)D作DE∥AB，DH∥CB，可以得到∠1=∠5，∠2=∠EDH，∠3=∠6，從而∠1+∠2+∠3+∠4就是一個(gè)周角，即四個(gè)角和為360°.

師：生7的作法非常巧妙，借助平行線，將四個(gè)外角“搬”到一起，形成一個(gè)周角.平行線的作用如此之大，我們看到這一章學(xué)習(xí)的框架，三角形內(nèi)角和、外角和都是建立在平行線的基礎(chǔ)上生長出來的，大家能觸類旁通、類比遷移、回顧反省，在頭腦里形成知識(shí)框架，這就是自我建構(gòu)、主動(dòng)學(xué)習(xí).

2.3 類比遷移，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

在探索完四邊形外角和之后，教師繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)思考以下兩個(gè)問題.

（1）五邊形外角和是多少？六邊形外角和呢？

n邊形外角和呢？

（2）回顧四邊形外角和的證明思路，總結(jié)思路方法.

【設(shè)計(jì)意圖】由三角形外角和為360°的證明方法遷移至四邊形，促使學(xué)生不斷回顧、反思、總結(jié)，不僅要回顧外角的相關(guān)知識(shí)，還能為之后的證明提供圖形語言，動(dòng)手操作，探索研究，溫故知新.繼續(xù)類比遷移到五邊形、六邊形、n邊形，得出多邊形外角和都是360°的一般性結(jié)論，學(xué)生能建立知識(shí)之間的聯(lián)系，將碎片化知識(shí)拼成一張圖，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化，在潛移默化中發(fā)展學(xué)生的思維.

2.4 閱讀材料，拓展思維廣度

張景中院士在《數(shù)學(xué)家的眼光》這本書里提到以下一個(gè)直觀的例子.

如圖所示，設(shè)想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子，每經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)，它的前進(jìn)方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個(gè)頂點(diǎn)處的外角.爬了一圈，回到原處，方向和出發(fā)時(shí)一致了，角度改變量之和恰好是360°.^［2］

【設(shè)計(jì)意圖】如何直觀地解釋多邊形外角和為360°，張景中院士在這本書里給出了答案，有趣形象，耐人尋味.站在一定高度上看問題，更能看清問題的全貌，思維的廣度就此打開，思維也在無形中得到發(fā)散和生長.

3 教學(xué)反思

3.1 立足聯(lián)系，多維視角看問題

教師要從生命的高度看課堂教學(xué)，讓課堂煥發(fā)出生命的活力，讓課堂成為學(xué)生生命有意義的構(gòu)成部分.在問題探索的過程中，教師適時(shí)追問啟發(fā)學(xué)生，幫助學(xué)生建構(gòu)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，由未知轉(zhuǎn)化為已知，由陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化成熟悉的內(nèi)容，使知識(shí)銜接得自然、流暢，思維自然地發(fā)散、生長.

在探索四邊形外角和的過程中，生3將外角都轉(zhuǎn)化為內(nèi)角，生4全部看成三角形的外角，生5將外角和內(nèi)角綜合運(yùn)用，生6全部看成內(nèi)角，生7借助平行線將角都“搬”在一起，環(huán)環(huán)相扣，用不同的視角看問題，四邊形外角的身份可以自由切換，當(dāng)成內(nèi)角或者外角，方法也多樣化，實(shí)現(xiàn)一題多解.最后的思維拓展，用一只螞蟻的視角直觀地解釋多邊形外角和，可讀性很強(qiáng)，引起學(xué)生的興趣.一道題的不同視角，給學(xué)生帶來啟發(fā)，解釋知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵.

3.2 自我建構(gòu)，類比遷移促思考

建構(gòu)主義理論一直強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的意義在于學(xué)習(xí)者的自我建構(gòu)，課堂教學(xué)中最重要的是創(chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)環(huán)境.^［3］基于此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自我建構(gòu)的過程，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)教學(xué)，深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

生1和生2提到類比思想、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是研究問題的通性通法.在探究四邊形外角和的過程中，類比遷移三角形外角和、四邊形內(nèi)角和的研究過程，引導(dǎo)學(xué)生有意義建構(gòu)知識(shí)，思維在知識(shí)的同化和順應(yīng)中得到發(fā)展.求n邊形外角和，其實(shí)是方法思路的類比遷移，對于學(xué)生來說，已不是問題.數(shù)學(xué)追求的不僅僅是結(jié)果，過程和結(jié)果同樣重要，在過程中探索發(fā)現(xiàn)、交流討論，自我搭建“腳手架”，從而做到真正的數(shù)學(xué)理解，激發(fā)出學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

3.3 相信學(xué)生，集思廣益獲驚喜

《課標(biāo)（2022年版）》指出：“有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)和教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”^［4］教師應(yīng)相信學(xué)生，把課堂真正還給學(xué)生，營造主動(dòng)思考、積極討論的氛圍，激發(fā)學(xué)生頭腦風(fēng)暴，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)體系.

課堂的時(shí)間是寶貴的，許多教師會(huì)顧慮教學(xué)任務(wù)無法完成，將知識(shí)“教”給學(xué)生，學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，思維并沒有得到較大的提升和發(fā)展.探究四邊形外角和看似只是一道題，其實(shí)是之前思想方法的總和，將前面所學(xué)的知識(shí)打通，串成一條線，將碎片化的知識(shí)緊密聯(lián)系在一起，如果由學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系，看似在此消耗的時(shí)間變多了，實(shí)際上鍛煉了學(xué)生的思考能力，在以后類似的問題上找到了解決問題的方法，學(xué)生有成功的體驗(yàn)，就會(huì)有信心將方法沿用下去，無形中培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生深度思考，將核心素養(yǎng)落地生根.教學(xué)中不能僅僅強(qiáng)調(diào)題目的數(shù)量，而忽略題目的質(zhì)量，講透一道題比講十道題更有效果，大膽讓學(xué)生嘗試，由學(xué)生說，由學(xué)生思考，才是教學(xué)真諦所在，收獲諸多驚喜.四邊形外角和的證明過程豐富多彩，學(xué)生看問題的視角不同，思考的過程也不一樣，大家進(jìn)行分享交流，從而讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

參考文獻(xiàn)

［1］［4］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 張景中.數(shù)學(xué)家的眼光［M］.北京：中國少年兒童出版社，2007.

［3］ 陳安琪.初中數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)策略研究［D］.西寧：青海師范大學(xué)，2023.