波利亞解題理論在高中數學教學中的應用

摘 要：作為高中數學的核心知識，基本不等式描繪了物體在數量上的差異，它不僅是學習數學的關鍵基石，也是探索數量關系的主要工具和方法.數學家波利亞代表作《怎樣解題》里的“怎樣解題表”，展示了他的解題理念，其教學經驗的精髓鼓勵著年輕人不斷去思考，從而培養他們的數學精神，這與我國新課程標準的教學理念是一致的.因此，將波利亞解題理論與高中基本不等式的教學相融合具有很重要的實踐意義．

關鍵詞：波利亞解題理論；基本不等式；教學研究

波利亞解題理論是一種目前廣為流傳的解題理論，并且這一理論在流傳過程中，逐漸被運用到了數學的解題教學中.因此，在高中數學解題教學中，波利亞解題理論可以幫助學生學習解題技巧，提高解題效率.^［1］本文把波利亞解題理論融入基本不等式的教學中，不只是為高中的基本不等式教學提供了強大的理論依據，也有利于推動高中基本不等式教學向更深層發展．

1 “基本不等式的應用”教學設計

1.1 教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）利用練習題，使學生精通基本不等式以及它們的變化，理解基本不等式的三個約束條件，也就是“一正，二定，三相等”.

（2）經過深入研究習題，使學生可以理解基本不等式的基本運用，并能利用這些不等式來處理基本的最大（小）值問題.教師總結出幾種常見的簡化求最值的方式，從而在這個過程中增強學生的邏輯推理技巧.

（3）通過解答練習題，讓學生深入領悟利用基本不等式尋找最大（小）值的核心概念，進一步訓練他們的觀察、推斷和分析運用基本不等式的全面思考技巧，感受到歸納、變換以及類比等數學概念，并且逐漸認識到波利亞解題理論對于學生的引領作用，從而增強他們的問題處理技巧．

1.2 教學重難點

本節課的教學重難點如下.

教學重點：運用基本不等式來處理基礎的求最大（小）值的問題.

教學難點：采用多種策略構建基本不等式，尋找函數的最值．

1.3 教學過程

（1）知識回顧.

師：經過之前的教學，我們已經了解了幾個不等式，請大家回顧一下，包括哪些不等式？

預設：學生回答，教師板書.

重要不等式：a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

基本不等式：a+b2 ≥ab（agt;0，bgt;0）.

以上兩個式子只有當且僅當a=b時，等號成立.

【設計意圖】在對基本不等式的運用進行闡釋之前，對知識的復習是不可或缺的步驟，通過回顧不等式的核心概念，為接下來練習題的闡述奠定基礎.

（2）理解題目階段的教學.

問題 當xgt;0時，求12x+4x的最小值？

師：請問該如何解讀這個問題？這個問題的預設條件是什么？你要怎樣解？

【設計意圖】教師指導學生仔細研究教材，識別教材內的已有數據以及提供的條件，清晰地定義需要處理的問題，并探索應對這些問題的策略.

（3）擬訂方案階段的教學.

師：請問題目所需的公式具備哪些獨特性？對于我們來說，怎樣去尋找答案？

預設回答：在這個公式中，兩個數的乘積是一個恒定值，我們應該采用不等式來解決.

師：你能挑選出一種不等式來計算這個公式的最大值嗎？

預設回答：如果問題中的x是一個正數，那么我們需要采用基本不等式，這個基本不等式對所有的正數都適用.

【設計意圖】教師指導學生探索已有數據與未知數據之間的聯系，把難題變成他們都了解的主題，以此來促進學生的思考，增強解決問題的能力.

（4）執行方案階段的教學.

師：基于之前的分析，大家主動利用基本不等式去處理此問題，同時尋求其最小值，我們已經在黑板上實現了全部的問題處理流程.

由于x＞0，那么12xgt;0，4xgt;0，12x+4x≥212x·4x=83.當且僅當12x=4x，即x=3時，等號成立，也就是說，在x＞0的情況下，12x+4x的最小值是83.

【設計意圖】在實施策略的階段，首要任務是鼓勵學生單獨進行策略的實施，以此形成全面的思維流程，進而使他們對問題有更深入和清楚的認識，并能夠更準確地運用基本不等式.^［2］然后，教師要引導學生共同編制解決策略，確保其符合標準，以此提高他們運用基本不等式的能力，幫助他們彌補知識上的不足.

（5）回顧反思階段的教學.

教師指導學生重新審視解題的全過程，強調解題核心在于：①公式中兩項的相加是固定的，可以采用基本不等式；②對題目中的已知條件進行分析，如果x是一個正數，那么我們就可以利用基本不等式來驗證解答過程的完備性.

2 “基本不等式的實際應用”教學設計

2.1 教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）利用基本不等式來處理日常生活的各種問題，并從中感受到基本不等式的實際意義.

（2）有能力從特定的問題中抽取出數值聯系，然后構建一個不等式，以便處理真實的應用情況.

（3）以日常生活為基礎，通過獨立研究或實踐互動的方式，把真實的問題變成數學問題，構建有用的數學模型，親身經歷數學建模的步驟，體驗到數學與實際生活的緊密關聯．

2.2 教學重難點

本節課的教學重難點如下.

教學重點：運用基本不等式來處理日常生活中的最優解問題.

教學難點：從真實的問題中提煉出數學問題的模型．

2.3 教學過程

（1）復習回顧.

師：經過先前的基本不等式的學習，我們已經具備了解決一些基本的最大（小）值問題的能力.今天，我們將通過實際案例，深入探討基本不等式的實際應用.

【設計意圖】對于習題課程的預備階段，復習是極其關鍵的，這不僅能加強先前的理論掌握，也能奠定接下來的學習基礎.教師需要向學生闡述，基本不等式是實際應用中處理問題的強大手段，使他們深刻理解不等式的重要性.

（2）理解題目階段的教學.

問題 2021年6月17日上午9點22分，長征二號F遙十二運載火箭在酒泉衛星發射中心順利地發射出神舟十二號飛船.神舟十二號的生產過程中，采用了很多優質材料，其中，甲工廠負責制造特定的零件，且保持著每小時x千克的穩定生產速率.在這個過程中，A材料每小時的消耗量達到（kx2+9）千克.我們已經知道，在每小時生產1千克的零件的過程中，會消耗10千克的A材料.如果我們計劃生產m千克的零件，那么我們將消耗y千克的A材料.我們把y的數值視作x的函數.為了減少1000千克零件所需的A材料，工廠應該選擇何種生產速度呢？請指明A材料的最小使用量為多少？

師：該如何解讀這個題？你有可能在這里找到哪些要素？問題中的已知數量是什么？

（3）擬訂方案階段的教學.

師：請大家深思熟慮，如果我們想知道消耗物資和生產效率的聯系，我們應該做些什么？

預設回答：需要計算出時間，并列出所需的時間表達式.

師：你們是否可以發現問題里的等式聯系？

預設回答：y=mx（x2+9）=mx+9x.

師：如何才能在制造1000千克這個零件時，盡可能減少所需的A材料？你如何理解這句話的含義？如何將其變為數學問題？

預設回答：當m=1000時，計算y=mx（x2+9）=mx+9x的最小值.

【設計意圖】處理真實問題就是將問題“具體化” “數字化”的過程.在擬訂方案的階段，需要學生尋找已有的資料，以及已知數值和未知數值的聯系.針對陌生之處，學生應當再次研究課本，以此吸收知識，把陌生之處變得熟悉，有效地把現實問題變為數學問題，進一步促進數學思考，增強解決問題的技巧.在這個階段，學生能夠借助波利亞提倡的圖形方式，清晰地理解各個變量的關系，從而為后續的問題處理做好預備.

（4）執行方案階段的教學.

師：請大家思考一下，怎樣才能得到最低的數字？

預設回答：假設在公式里，x與9x的乘積是固定的，我們需要使用基本不等式來計算出最小值.

師生活動：教師給出標準解答過程.

根據問題的含義，k+9=10，也就是k=1，那么制造m千克的零件所需的時間是mx.因此，y=mx·（kx2+9）=mx+9x（1≤ x≤10）.換句話說，假設一家工廠想生產1000千克的零件，所需的A材料數目應為y=1000x+9x≥1000×29=6000.當且僅當x=9x，即x=3時，等號成立.所以這家工廠需要設定每小時3千克的生產速率，此時A材料的使用量最低，A材料的最小使用量為6000千克.

構想目標：通過把真實的問題細分和數值化，學生可以構造出相對簡單的數學模型，也可以直觀地運用基本不等式來處理問題.

（5）回顧反思階段的教學.

教師和學生一起思考和交流，歸納出利用基本不等式來解決實際問題的步驟.

首先，在處理問題的過程中，我們需要先明確問題的性質，然后把真實的問題轉變為數學上的問題，最后運用數學的理論來解答這些問題.其次，明確問題的含義，在設定參數時，通常將需要的參數定義為函數.再次，構建對應的函數公式，將真實的問題轉化為最大（小）值的問題.最后，關注自變量的設置區間，并在預設的區間中計算出函數的最大（小）值.

【設計意圖】“領悟”是數學的關鍵.“領悟”的方法是反思.對于波利亞解題理論，核心環節在于反思與回顧，教師需要引領學生深入探討問題的思考過程，其中涵蓋了對問題內涵的理解以及對其進行的剖析．

3 結語

作為高中必修課程，基本不等式的理解對于深入探討其他的不等式以及接下來的學習過程有著重要的作用.本文以波利亞解題理論為基礎，進行基本不等式課程的教學設計，使得學生在教師的指導下，對基本不等式的知識有全新的理解，培養學生優秀的解題技巧，并促進學生數學思維的發展.在真實的教學過程中，教師需要根據實際狀況的差異，靈活地進行調整，適時地進行教學優化．

參考文獻

［1］朱宏雷.波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用探究［J］.數學學習與研究，2024（8）：29-31．

［2］李輝.例談波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用［J］.語數外學習（高中版上旬），2021（5）：55．