初中幾何入門教學的建議和思考

摘要：三角形內角和定理的證明是初中階段進入幾何證明的開篇，但是，有的教師在教學實踐中缺少立足于學生認知現狀的自然過渡.在教學“三角形內角和為180°”一課時，教師可以借助小學階段的撕、拼直觀操作活動，再結合學生已有的知識儲備，較自然地獲得推理論證的途徑.

關鍵詞：三角形內角和；直觀操作；推理論證

幾何入門教學歷來被重視，但是學生的學習效果并不是很理想.初中的學生在添加輔助線、證明思路的獲得上頗為困難.本文中以“三角形的內角和為180°”一課為例，針對幾何入門教學做一些探討.

1 理解數學知識的地位和作用

個別教師在三角形內角和這一課時教學中，沒有引導學生關注初中階段和小學階段數學學習的區別與聯系，而是直接指出“在小學階段已經學習過三角形的內角和等于180°，今天我們一起來證明這個結論”，然后就開始向學生直接展示如何添加輔助線進行證明，最后用幾何語言書寫.但是，學生對于為什么進入初中后要證明這個結論，以及為什么要如此作輔助線不得而知.這樣的教學沒有做到前后知識的連貫，只是一味地將知識灌輸給學生，使得學生不能達到對知識的結構性理解與建構.

2 深度理解學生

教學活動的出發點是學生的發展，教師在授課前應充分了解學生.具體體現在以下三點：

（1）學生的知識儲備.學生在小學階段已經掌握了哪些知識，進入初中階段，前面學習的哪些知識可以為今天這節課提供幫助？學生在小學階段已經知道“三角形內角和等于180°”這個結論，但是并沒有證明；在今天這節課之前，學生已經學習了線段、射線、直線和角的相關知識，還學習了平行線的性質和判定定理.

（2）學生的認知經驗.在小學階段，學生是通過測量或撕紙得到三角形的內角和等于180°的，即是通過形象的觀察和操作得到的.進入初中階段，學生要經歷從前面實驗幾何的合情推理到后面論證幾何的演繹推理，思維水平正處在形象思維到抽象思維的過渡時期[1].學生不僅要學習具體的新知識，還要體會直觀操作和幾何論證的區別與聯系，并且理解證明的必要性.

（3）學生可能存在的學習困難.七年級的學生正處于小學向初中的過渡時期，在學習三角形內角和定理時，主要存在以下幾個方面的困難：第一是作圖、識圖困難，他們還停留在小學階段的直觀感受；第二是探索證明的思路困難，特別是構造正確的輔助線對大多數學生來說更是難上加難；第三是幾何語言的表述困難，學生對于幾何語言的書寫還比較陌生，對于文字語言、符號語言的轉換還比較困難；第四個是知識難以結構化[2].

3 教學過程應關注學生思維的發展

師：小學我們就知道，三角形的內角和等于180°.那在小學階段是怎么得到這個結論的呢？

生1：分別測量三角形三個角的度數，再把它們加起來；還能把三個角撕下來，拼在一起形成平角.（學生上臺展示.）

師：很好，看來同學們小學的基礎非常扎實.同學們剛才提到的測量以及撕、拼操作，都存在一定的誤差，那進入初中，我們能不能用所學的知識來證明它呢？

教學說明：從小學知識入手，讓學生動手參與到課堂中來，并從中感受到初中數學與小學數學的區別和聯系.

師：這是（圖1）生1剛才說的撕、拼的結果，此時∠EAF是一個什么角？

生：平角.

師：那請問同學們，怎么確定點E，A，F在同一條直線上呢？

生2：∵∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∴AE∥BC，AF∥BC.

∴點E，A，F在同一條直線上（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）.

∴∠1+∠BAC+∠2=180°.

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

教學說明：從小學的測量以及撕、拼操作，到初中階段的推理證明，感受數學的嚴謹性，引導學生逐步形成證明思路.

師：非常好！但是我們不可能每次拿著一個三角形都靠撕角的方法來解決吧，類比撕、拼的方法，如果任意給你一個三角形，又該如何處理呢？

生2：如圖2，過頂點A作其對邊BC的平行線.

∵EF∥BC，

∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C.

又∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°.

師：很好，通過推理，我們就從小學階段的測量和撕、拼操作轉化為初中階段的幾何證明.

教學說明：從動手操作到純幾何證明，引導學生將實際問題轉化為數學問題，并能夠用數學語言來表述.

師：要證明三角形內角和為180°，除了平角外，你還能想到什么？

生：兩直線平行，同旁內角互補.

師：那怎樣構造出同旁內角呢？

生3：∠EAC和∠C.

師：非常好！那相當于就是過頂點A作角A對邊的什么？

生：作平行于BC的射線.

師：有沒有同學能夠按照這個思路證明呢？

生4：如圖3，過點A作射線AE∥BC.

∵AE∥BC，

∴∠EAB＝∠B，

∠C+∠EAC=180°.

∴∠EAB+∠BAC+∠C=180°.

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

師：很好，幾何語言也很正確！那如果在它的基礎上延長CA，如圖3，又該如何證明呢？

生5：∵AE∥BC，

∴∠C＝∠2，∠B=∠1.

又∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠B+∠C+∠BAC=180°.

師：非常完美，給你點贊！通過剛才的推導過程，我們知道要證明三角形的內角和為180°，主要是構造出平角或者同旁內角.那么，如果在三角形的邊上或者三角形的內部（外部）任取一點P，可否通過作輔助線證明三角形內角和等于180°呢？這個問題留著同學們課后探討.

教學說明：鼓勵學生從不同角度思考問題，發散思維.

在本節課的教學中，教師要讓學生知道，為什么小學階段已經學習過三角形內角和等于180°，但是到了初中階段還要繼續研究并對其進行證明.對于初中的學生，思維的發生發展既要有合情推理也要進行演繹推理，做到二者相輔相成、相互支撐，才更有利于他們的幾何入門學習[3].在初中“圖形與幾何”領域的教學中，要善于引導學生利用合情推理發現一些結論，并理解證明的必要性；再依據學過的數學原理來論證這些結論的正確性，發展學生的直觀想象、數學抽象和邏輯推理能力.

4 結束語

幾何的教學方法多種多樣，但教師應重在幫助學生掌握研究平面圖形的一般方法和技巧，形成知識體系，鍛煉學生自己解決問題的能力.數學的學習是螺旋上升的，教師需要理解學生現狀，清楚知道不同學段有不同的教學要求，重視對學生知識的構建以及數學遷移能力的培養.通過合理的教學設計和實施方法，注重培養學生各方面的素養，從而使其能更好地適應未來的發展需要.

參考文獻：

[1]孟惠.初中幾何課教學中提升學生的數學核心素養——以《三角形的內角和是180°》為例[J].讀寫算，2021（10）：191-192.

[2]李婷.HPM視角下的“三角形內角和定理”教學設計[J].中小學數學（初中版），2021（5）：54-56.

[3]陳靜.波利亞解題思想在初中幾何命題教學中的實踐研究——以“三角形的內角和定理”為例[J].數學教學研究，2022，41（6）：37-41.