運用托勒密定理，巧解幾何題

摘要：中考數學中常常會遇到在四點共圓的條件下求解線段長度或某些線段長度關系的問題或逆問題，托勒密定理是解決此類問題的一個簡單適用的工具.本文中通過解題方法的對比，說明運用托勒密定理可以幫助學生打開新思路，高效解題.

關鍵詞：托勒密定理；中考數學；幾何證明

1 定理內容及證明

托勒密定理："圓內接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

已知圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

證明：如圖1，在線段BD上取一點E，使得∠1=∠2.

又∠ADE=∠ACB，因此易得

△ADE∽△ACB，所以ADAC=EDBC，即

AD·BC=ED·AC.

如圖2，又因為∠DAC=∠EAB，∠ABD=∠ACD，易得△ADC∽△AEB，所以ABAC=BECD，即

AB·CD=BE·AC.②

由①+②，可得AB·CD+AD·BC=BE·AC+ED·AC，即

AC·BD=AB·CD+AD·BC.

廣義托勒密定理："對于任意凸四邊形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

證明：如圖3，取一點E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易得△ABE∽△ACD，所以ABAC=BECD，可得

AB·CD=BE·AC.③

又因為ABAC=AEAD，即ABAE=ACAD，且∠BAC=∠EAD，所以△ABC∽△AED.所以BCED=ACAD，可得

AD·BC=ED·AC.④

由③+④，可得AB·CD+AD·BC=BE·AC+ED·AC≥AC·BD.

故AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

2 定理應用

在近幾年的中考中，關于圓的壓軸題越來越復雜，有時學生難以找到思路，而掌握一定的數學模型可以幫助學生快速找到解題方法.

例1""（2017臨沂中考改編）如圖4，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關系？

分析：遇到探究線段長度關系的題目，通常可以先想辦法將線段放在同一條線段上或者同一三角形內觀察.

法1：（常規法）由條件知△ABD為等邊三角形，所以將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，如圖5.

易證，△ACE為等邊三角形，所以BC+CD=DE+CD=CE=AC.

法2：（運用托勒密定理）由已知∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，可以推出△ABD為等邊三角形，且A，B，C，D四點共圓，如圖6.

由托勒密定理，得AC·BD=AB·CD+AD·BC.又因為AB=AD=BD，所以易得AC=CD+BC.

評注：此題蘊含了托勒密模型，可以看成是托勒密模型的一個特殊變形，當AB=AD=BD時，即△ABD為等邊三角形時，AC=CD+BC.這可以當作托勒密定理的拓展進行記憶，當遇到此模型與更加復雜的條件結合時，可以提取出此模型主體，便于在練習中加速思考出解題辦法.

例2""（2022云南中考）如圖7，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O.P是⊙O的劣弧BC上的任意一點.連接PA，PC，PD，延長BC至點E，使BD2=BC·BE.

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若四邊形ABCD是正方形，連接AC.當P與C重合時，或當P與B重合時，把PA+PCPD轉化為正方形ABCD有關線段長的比值，可得PA+PCPD=2.當P既不與C重合也不與B重合時，PA+PCPD=2是否成立？請證明你的結論.

解析：（1）DE與⊙O相切.

因為BD2=BC·BE，所以BDBC=BEBD.容易證得△CBD∽△DBE，所以∠DCB=∠BDE=90°.

又BD為⊙O的直徑，所以DE與⊙O相切.

（2）法1：（常規法）如圖8，過點D作DM⊥DP，延長PC交DM于點M.由∠MDC+∠CDP=∠ADP+∠CDP=90°，易得∠MDC=∠ADP.又因為∠MDP=90°，∠DPM=45°，所以△MDP為等腰直角三角形，則可得MD=DP.由此可得，△CMD≌△APD，所以PA+PC=MC+PC=MP=2PD，即PA+PCPD=2.

法2：（運用托勒密定理）根據托勒密定理，可得

AC·PD=PA·CD+AD·PC.

又AC=2AD=2CD，所以PA·CD+AD·PC=（PA+PC）·AD=AC·PD=2AD·PD，可得PA+PCPD=2.

評注：本題是以正方形、等腰直角三角形和圓為背景，以圓內接四邊形為載體的幾何定值問題，試題梯度合適，解法多樣，綜合考查了初中幾何部分核心知識[1].通過對比一般的旋轉方法和托勒密定理法可以發現，運用托勒密定理不用作輔助線便能得到答案，若是在選擇題中，可通過托勒密定理快速算出結果，省時高效.

例3""如圖9，在四邊形ABCD中，BC=CD且∠BCD=90°，AB=4，AD=3，求對角線AC的最大值.

解法1：（常規法）如圖10，通過旋轉構造，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得△EDC，[JP+1]易證△ACE為等腰直角三角形，所以AC=22AE，AE取最大值時便可知AC的最大值.因為A，D，E三點共線時AE可取最大值為7，所以AC的最大值為722.

解法2：（運用托勒密定理）由廣義托勒密定理，可得AC·BD≤AB·CD+AD·BC，所以AC≤AB·CD+AD·BCBD=4CD+3BCBD.又因為CD=BC=22BD，所以AC≤722.當AC取最大值72/2時，A，B，C，D四點共圓.

評注：托勒密定理便于記憶、內容簡潔且形式優美，有助于處理圓的內接凸四邊形的線段長度、邊長這類問題.因此，在面對有托勒密模型的選擇填空題時，優先使用托勒密定理更加省時方便，做題更加高效.

通過上述例子我們可以發現，若在關于線段長度的問題中，能在題目中找到符合托勒密定理使用條件的凸四邊形，特別是在選擇題與填空題中，可以巧用此定理節省考試時間.我們可以通過熟練運用此定理，為解幾何問題提供一種快速有效的思路.在教學中，教師平時多幫助學生積累優化的解題策略，有利于培養學生的發散思維能力，也有利于提高學生對模型的分析和應用能力，更有利于重塑學生的知識建構能力，從而提高學生的數學素養[2].

托勒密定理不僅是幾何學中的一項基本定理，而且在解決復雜的幾何問題和應用數學中發揮著重要的作用.首先，托勒密定理可以作為工具讓學生將復雜問題抽象為簡單幾何模型，以圓和內接凸四邊形為基礎，利用定理的幾何特性來描述復雜問題，從而轉化為更易處理的問題.同時，學習托勒密定理需要進行嚴密的邏輯推理和證明，通過這樣的過程，可以培養學生分析問題、推理論證的能力，這對于數學素養的提升至關重要.最后，托勒密定理具有簡潔優美的形式和深刻的幾何意義，學習托勒密定理有助于培養學生對數學美感的欣賞和理解，增強學生對數學的興趣和熱愛.

托勒密定理是數學學習中的重要一環，通過學習和應用這一定理，不僅能提高幾何學和應用數學方面的素養，還能培養學生的邏輯推理能力以及數學建模和問題解決能力.同時，通過欣賞托勒密定理的數學美感，學生也能夠增進對數學學科的熱情，為深入學習和探索更多數學知識奠定堅實的基礎.

參考文獻：

[1]李加祿.2022年云南省中考數學第23題解法探討與變式推廣[J].理科考試研究，2022（22）：16-20.

[2]李永樹，張雪婷.注重解法研究 提高解題能力[J].數理化學習（初中版），2022（3）：6-9.