在旋轉“面動成體”變式中體驗分類討論

摘要：將一個面通過旋轉的方式形成幾何體，是蘇教版七年級上冊第五章“走進圖形世界”第二節“圖形的運動”中的教學內容.雖然簡單，但很多學生在想象這個面圍繞“軸”旋轉形成幾何體時，可能無法全面把握是哪一條邊圍繞“軸”旋轉，進而導致遺漏某一種情況.本文中先從一道學生錯解題出發，通過糾錯引導學生體驗分類討論思想在解決這類問題時發揮的重要作用，然后借助變式教學促使學生進一步感悟和學會分類討論思想.

關鍵詞：“面動成體”；變式教學；分類討論思想；旋轉

1 引例及錯解呈現

現有一個長為2 cm、寬為1 cm的長方形，以它的一邊為軸旋轉一周，得到的幾何體的體積是多少（結果保留π）？

錯解一：以2 cm的長為軸旋轉一周時，得到的幾何體是圓柱，如圖1所示，所以它的體積是

π×12×2=2π（ cm3）.

錯解二：以1 cm的長為軸旋轉一周時，得到的幾何體是圓柱，如圖2所示，所以它的體積是

π×22×1=4π（ cm3）.

2 糾錯分析及訂正

2.1 糾錯分析

本題是由長方形沿著“一邊”旋轉形成一個幾何體，是典型的“面動成體”問題.從解題過程來看，學生對“面動成體”的過程比較熟悉，能準確判斷出形成的幾何體是圓柱.然而，也正是從兩種不同的錯解可以看出，學生思維定勢非常明顯，并在此影響下考慮問題的思路過于狹窄.

“一邊”是哪邊？當筆者追問學生時，學生幾乎是不假思索地回答出來.一部分回答“長方形的長”，另一部分回答“長方形的寬”，一時間學生因出現不同的答案而面面相覷.筆者抓住時機乘勝追問“你如何知道這里的‘一邊’指的是長方形的長（寬）？”自知分析錯誤的學生，此時已經啞口無言.至此可知，題中的“一邊”應有兩種可能，其一是長方形的長，其二是長方形的寬.而分別圍繞長方形的長和寬旋轉后得到的幾何體不同，那么他們的體積也可能不同.

2.2 訂正

根據上述分析，本題錯解應訂正如下：

解：因為這里的“軸”可能是長方形的長或寬，所以有兩種情況，需分類討論.

（1）當以長方形的長為軸旋轉一周時，得到的幾何體是圓柱，如圖1，它的體積是π×12×2=2π（ cm3）.

（2）當以長方形的寬為軸旋轉一周時，得到的幾何體是圓柱，如圖2，它的體積是π×22×1=4π（ cm3）.

綜上所述，得到的幾何體的體積是2π cm3或4π cm3.

3 反思

初中數學題目種類繁多，題目也有一定的難度，要求學生具有一定的創新思維和靈活性.然而，有些學生過分依賴于機械記憶和模板式的解題方法，缺乏對問題的深入思考和獨立思維能力，就導致了他們在遇到一些稍微復雜的問題時會陷入思維定勢.思維定勢是指在解決問題時，受到既定思維模式的束縛，難以尋找到新的解決方法或思路[1].這時學生無法從不同的角度去思考問題，只是機械地套用公式和模板，難以找到最佳解決方案，難以真正學到數學的精髓.由此可見，思維定勢對學生的數學學習非常不利.

基于此，學生應學會從多個角度思考問題，遇到題中未明確指定的對象，如引例中的“一邊”尚未指明具體是長方形的哪一條邊，此時，學生需就“一邊”的歸屬展開分類討論.

4 變式提升

為了讓學生進一步體驗分類討論思想并學會利用分類討論思想解決問題，筆者對引例中的問題進行了變式.變式題如下：

變式1""現有一個直角三角形，兩直角邊的長分別為3 m，4 m，斜邊的長為5 m.以它的一邊為軸旋轉一周，得到的幾何體的體積是多少（結果保留π）？

經過引例糾錯后，學生脫離了思維定勢的束縛，認識到從多個角度思考問題的重要性，同時也體驗到分類討論思想在解決這類問題時發揮的關鍵作用.為此，筆者按如下思路進行變式教學：

首先，找出題中未明確指定的對象——“一邊”.

然后，就“一邊”的歸屬展開討論——“可能是三條邊中的任意一條邊”，于是明確一共有三種情況，需分類討論.

接著，分組分類討論.將學生分成三組，每一組討論一種情況，過程是先畫圖、后計算，再進行綜合.

最后，完善解題過程.

通過本題，學生鞏固了“一邊”這個未明確指出的對象的歸屬方法.然而，并非所有題中未明確指出的對象是“一邊”，那么該如何突破思維定勢和利用分類討論思想解決問題呢？為此，筆者借助變式2提出“條件歸屬法”（也叫“關鍵詞明確法”）.具體如下：

變式2""等腰三角形中的一個角是30°，求這個等腰三角形中另外兩個角的度數.

“條件歸屬法”（也叫“關鍵詞明確法”）就是先找出題中條件或關鍵詞，然后思考其歸屬是否已明確，然后根據該條件或關鍵詞進行分類討論.

變式2的具體分析過程如下：

首先，找出題中條件或關鍵詞——等腰三角形、一個角、30°，其余兩個角.

然后，思考其歸屬是否已明確.通過分析發現，“一個角”的歸屬并未明確，因為等腰三角形中的角分為底角和頂角.那么，這里的“一個角”具體是哪一類角呢？

接著，展開討論——這個角可能是頂角，也可能是底角，所以分兩種情況討論.

最后，畫圖分類求解.

變式2的法如下：

解：（１）當30°角是該等腰三角形的頂角時，如圖３，那么此時的底角度數應是1/2（１８０°－３０°）＝７５°.

（２）當３０°角是該等腰三角形的底角時，如圖４，則另一個底角的度數也為３０°，頂角度數應是１８０°－２×３０°＝１２０°.

綜上所述，這個等腰三角形中另外兩個角的度數分別是７５°，７５°或１２０°，３０°.

5 總結

初中數學中的分類討論思想，是將一個問題或一個概念按照某種特定的標準進行分類，然后再分別討論每個分類的特點和規律[２].通過本文的一道引例和兩道變式題，不難發現這種思想對數學學習和數學問題的解決都有著至關重要的作用.

首先，分類討論思想能夠幫助我們更好地理解和掌握數學知識.通過將問題分類，我們可以更加清晰地看到每個分類中的特點和規律.這樣一來，我們就能夠更加深入地理解數學知識，并能夠將之更好地應用到實際問題中去.

其次，分類討論思想能夠培養我們的邏輯思維能力.在分類討論的過程中，學生需要根據具體問題的特點和要求，將問題進行細致的分析和分類.這就要求我們具備較強的邏輯思維能力，能夠進行合理的推理和判斷.

最后，分類討論還能夠培養我們的細致觀察和歸納總結能力.在分類討論時，我們需要對問題中的各個方面進行仔細觀察和分析，找出其中的規律和特點.只有通過對問題的細致觀察，才能夠準確地進行分類和歸納總結.

總之，在平面圖形的動態旋轉過程中，學生更需了解題中的每個條件是否明確了歸屬，切不可出現“我以為”或“想當然”的錯誤，否則極易出現漏解的情況.為此，教師不妨利用變式對學生進行思維訓練，通過“條件歸屬法”（也叫“關鍵詞明確法”）找到思維定勢的突破點.

參考文獻：

[1]陸素娥.一“疊”激起千層浪——從“面動成體”角度教學“圓柱的體積”的嘗試與思考［J］.課程教育研究（新教師教學），2015（35）：280-281.

[2]周盈.借“演繹推理”悟“面動成體”——《認識圓柱體》的教學片斷與思考[J].知識窗（教師版），2015（3）：83.