基于分數階灰色馬爾可夫模型的港口貨物吞吐量預測研究

摘" 要：預測港口貨物吞吐量有助于港口管理者更好地了解港口的運作效率和運輸流程，精確地規劃港口的建設和發展，確保港口能夠滿足未來的貨運需求。文章基于2011—2022年福州港貨物吞吐量歷史數據，利用分數階灰色馬爾可夫模型（FGM（1，1）模型）對福州港未來三年貨物吞吐量進行預測。結果表明，與傳統的GM（1，1）模型和FGM（1，1）模型相比，新的模型預測精度更高，預測值與實際值擬合度更高，預測結果可以為港口的總體布局、建設規模以及集疏運等配套設施的建設和經濟的發展提供有力的支持。

" 關鍵詞：FGM（1，1）模型；馬爾可夫鏈；吞吐量預測；灰色預測

" 中圖分類號：F552.7" " 文獻標志碼：A" " DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.24.003

Abstract： Predicting port cargo throughput helps port managers better understand the operational efficiency and transportation processes of the port， accurately plan the construction and development of the port， and ensure that the port can meet future freight needs. This article is based on the historical data of cargo throughput at Fuzhou Port from 2011 to 2022， and uses a fractional order grey Markov model （FGM （1，1） model） to predict the cargo throughput of Fuzhou Port in the next three years. The results show that compared with the traditional GM （1，1） model and FGM （1，1） model， the new model has higher prediction accuracy and a higher degree of fit between the predicted and actual values. The prediction results can provide strong support for the overall layout， construction scale， construction of supporting facilities such as collection and distribution， and economic development of the port.

Key words： FGM （1，1） model; Markov chain; throughput prediction; gray prediction

收稿日期：2024-04-18

作者簡介：邱明晟（2001—），男，福建仙游人，上海理工大學管理學院碩士研究生，研究方向：物流管理；李" 林（1966—），女，遼寧營口人，上海理工大學管理學院，副教授，碩士生導師，研究方向：管理科學與工程、工業工程、質量管理。

引文格式：邱明晟，李林. 基于分數階灰色馬爾可夫模型的港口貨物吞吐量預測研究[J]. 物流科技，2024，47（24）：10-15.

0" 引" 言

改革開放以來，中國經濟全球化進程加快，世界航運中心逐步向亞太地區（尤其是以中國為核心）轉移。在此過程中，沿海港口作為連接陸海重要橋梁和對外貿易重要門戶，其運作能力和物流規模顯著提升，對港口城市經濟發展、上下游產業繁榮和工業品進出口有巨大促進作用[1]。港口作為基礎性、樞紐性設施，是經濟持續發展的堅實支柱[2]。港口作為全球海運供應鏈重要一環，其吞吐量不僅是競爭力和效率核心指標，更是評估港口生產運營狀況及規劃和執行策略有效性的關鍵依據。因此，準確預測港口吞吐量有助于了解港口運營狀況，為港口未來發展規劃提供數據支持，確保港口在全球化背景下持續、健康、高效發展[3]。

近年來，國內外預測港口貨物吞吐量的方法很多，如BP神經網絡、支持向量機以及系統動力學等。陳雄寅[4]運用BP神經網絡，結合當地腹地經濟指標對泉州港的物流需求進行了預測，然而這種方法需要對大量數據樣本進行訓練，而實際上，港口貨物吞吐量受到國家政策、社會經濟、地理環境等多重因素的影響，各因素的具體影響程度難以精確量化[5]。程文忠等[6]則采用SVM對九江港的吞吐量進行了預測，但支持向量機預測的核心在于核函數的選取，而當前成熟的核函數及其參數的選擇往往依賴于人的主觀經驗[7]。相比之下，Chung等[8]通過分析變量間的因果關系，運用系統動力學方法預測了朝鮮港口的貨物運量。相較于傳統預測方法，系統動力學在解決社會現象中的非線性關系問題上更具優勢。

鑒于當前港口吞吐量預測呈現影響因素難以精確量化、樣本數據相對有限、影響因素隨時間發生變化，導致吞吐量產生波動的特點[9-10]，本文以2011—2022年福州港貨物吞吐量數據為例，采用灰色模型對福州港未來三年的貨物吞吐量進行預測，并將傳統的一階累加灰生成拓展為分數階累加灰生成，使得構建的模型更符合新信息優先的原理[11]，并利用馬爾可夫過程無后效性的特點彌補灰色模型在數據出現波動時的誤差[12]，以期為港口運營和政府政策制定提供有力的數據支持。

1" 模型建立

1.1" FGM（1，1）模型

灰色系統理論是由中國學者鄧聚龍教授于20世紀80年代提出的[13]，經過四十余年的發展，其模型在理論研究和實際應用方面都取得了顯著進步，有效性和實用性已得到廣泛認可。累加生成是灰色系統理論中由灰變白的一種方法，在構建灰色預測模型時，累加生成有助于揭示序列灰量積累過程的發展態勢，使混亂的原始數據中隱藏的積分特性或規律得以顯現。隨后，通過對累加后滿足灰指數規律的序列進行指數模擬，構建出灰色預測模型[14]。

FGM（1，1）模型首先建立r階累加序列，接著建立一階白化微分方程，利用最小二乘法求得參數解得到預測模型，建立1—r階累加序列，最后將模型結果還原得到預測結果。FGM（1，1）模型如下。

a.建立r階累加序列

令原始非負時間序列為[Xn=x1，x2，…，xn]，基于此序列，建立[r0lt;rlt;1]階累加序列：

[Xrn=xr1，xr2，…，xrn]。 （1）

其中：[Xrn=i=1kCk-ik-i+r-1xi]，[Ck-ik-i+r-1=k-i+r-1k-i+r-1…r+1rk-i！]，[C0r-1=1]，[Ck+1k=0]。

b.建立一階白化微分方程

[dxrdt+axr=b] （2）

上述微分方程解的形式為：[c=x1-bae-at+ba]。 （3）

c.最小二乘法求解參數[a]和[b]

[u=ab=BTB-1BY] （4）

其中：[B=-0.5xr1+xr21-0.5xr2+xr31??-0.5xrn-1+xrn1]，[Y=xr2-xr1xr3-xr2?xrn-xrn-1]。

d.得出模型時間響應式并求[r]階序列

[Xr=xr1，xr2，…，xrn] （5）

e.基于[r]階序列構建1-[r]階累加序列

[X1=xr1-r1，xr1-r2，…，xr1-rn] （6）

f.還原序列得到原始數據的預測值

[xn=xr1-rn-xr1-rn-1] （7）

1.2" Markov模型

馬爾可夫過程是一種隨機過程，該理論于20世紀初由俄國數學家Markov所提出[15]。理論指出，對于隨機過程[Xn，n=0，1，2，…]，若它只取有限或可列多個值（我們以[1，2，…]來標記[E1]，[E2]，…，稱它們是過程的狀態并記為E，稱為過程的狀態空間），并且對任意[n]≥0，對一切的狀態[i ， j ， i0 ， j0" ，…，jn-1]有：

[PXn+1=jX0=i0 ，X1=i1，，…，Xn-1=in-1，Xn=i，=PXn+1=jXni，]。 （8）

則稱隨機過程[Xn，n=0，1，2，…]為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的最大特點就是它所具備的“無后效性”（即馬爾可夫性），馬爾可夫性指出，客觀事物的下一步狀態只與它此刻的狀態有關，并不需要對它以往狀況的認識[16]。利用馬爾可夫鏈模型對FGM（1，1）模型所得的預測結果進行修正，其建模過程如下。

a.狀態劃分

FGM（1，1）模型的相對誤差[δn]為：

[δn=xn-xnxn]。 （9）

由FGM（1，1）模型計算出的預測值與實際值可以計算出各個數值的相對誤差，根據誤差范圍和樣本個數，劃分出[n]個狀態區間，對應的每個狀態區間可表示為[Ei=e1i，e2ii=1，2，…，n]，其中[e1i]和[e2i]分別表示狀態[Ei]區間的最大限制和最小限制。

b.構建狀態轉移矩陣

定義[P（n）ij]表示由狀態[Ei]經過[n]步轉移到狀態[Ej]的概率，那么樣本的狀態轉移概率[P（n）ij]可表示為：

[P（n）ij=Q（n）ijQi]。 （10）

其中：[Q（n）ij]表示狀態[Ei]經過[n]步轉移到狀態[Ej]的次數，[Qi]表示樣本處于[Ei]狀態的總次數。由此可得狀態轉移矩陣：

[P（n）=P（n）11P（n）12…P（n）1nP（n）21P（n）22…P（n）2n???P（n）n1P（n）n2…P（n）nn]。 （11）

c.馬爾可夫預測值修正

根據所得的狀態轉移矩陣修正[r]階灰色預測值，對相對誤差的狀態區間[Ei]取中間值，得到模型預測公式為：

[y=xn1±0.5e1i+e2i]。 （12）

當預測值高于實際值時，式中符號取正；當預測值低于實際值時，式中符號取負；當預測值與實際值較為接近（指相對誤差[≤]0.02）時不予修正。

1.3" 模型檢驗

模型檢驗是模型開發和應用過程中不可或缺的環節，它對于確保模型的質量、可靠性和有效性具有重要意義。本文通過平均相對誤差、后驗差檢驗和小概率誤差對模型進度進行檢驗。殘差序列[εk=xn-xn]，樣本序列標準差[S1=1nk=1nxn-x2]，殘差序列標準差[S2=1nk=1nεk-ε2]。

a.平均相對誤差

[M=1nk=1nεkxn] （13）

b.后驗差比值

[C=S2S1] （14）

c.小概率誤差

[p=εk-εlt;0.674 5S1] （15）

d.模型精度表[17]（見表1）

2" 數值實驗及結果

選用《福建統計年鑒》中2011—2022年福州港貨物吞吐量（見表2）作為原始數據進行分析研究，分別采用灰色預測模型和FGM（1，1）預測模型，對樣本尾數誤差最小的一組數據繼續做馬爾可夫修正，并比較灰色馬爾可夫預測模型和FGM（1，1）-Markov模型的精度，找出精度最優的模型并預測未來3年的港口吞吐量情況。

2.1" FGM（1，1）預測

以2011—2022年福州港貨物吞吐量數據為建模樣本，則原始非負時間序列為[Xn]={10 221.08，11 410.22，12 759.03，14 391.14，13 967.23，14 515.66，14 838.16，17 876.32，21 255.49，24 896.84，27 352.42，30 164.10}。

首先確定最優階數r的取值，累加階數不同，模型的平均相對誤差和樣本尾數誤差也不盡相同。按照上述建模過程，利用Matlab對數據進行傳統GM（1，1）和FGM（1，1）求解。該樣本在分數階灰色模型預測中，[r=0.1]時，[r∈]（0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0）樣本的尾數誤差最小，其中，[r=1]時，FGM（1，1）模型就是GM（1，1）模型。不同階數[r]對應的平均相對誤差和樣本尾數誤差如表3所示。由表3可知，隨著累加階數r的增加，樣本的尾數誤差呈逐漸增加的趨勢，既然模型的特點是降低樣本的尾數誤差，而馬爾可夫修正是利用最近一年的狀態對下一年的狀態進行預測，故應選取尾數誤差最小的累加階數[18]，即[r=0.1]。

0.1階累加序列為：

[x0.1n]={[x0.11]，[ x0.12]，…，[x0.112]}={10 221.08，12 432.33，14 462.21，16 688.12，16 852.36，17 785.65，18 572.85，21 860.33，25 823.45，30 213.70，33 553.59，37 228.53}。

最小二乘法求解參數[a]和[b]為：

[ab=BTB-1BY=-0.118 4-40.940 2]。

其中：

[B=-11 326.701-13 447.271-15 575.161-16 770.241-17 319.001-18 135.031-20 172.381-23 841.891-28 018.581-31 883.641-35 391.061]，[Y=2 211.252 029.882 225.91164.24933.29698.773 375.923 963.124 390.243 339.893 674.94]。

時間響應函數為：

[yk+1]=9 875.34[e0.118 4 k]+345.74。

0.1階累加序列為：

[Xr=xr1，xr2，… ， xrn]

={10 221.08，11 462.50，12 859.98，14 433.14，16 204.05，18 197.59，20 441.74，22 967.99，25 811.82，29 013.14，32 616.90，36 673.68}。

還原序列為：

[X1=xr1-r1，xr1-r2，… ， xr1-rn]

={10 221.08，20 661.47，31 915.26，44 255.28，57 899.45，73 059.06，89 955.52，108 828.89，129 943.74，153 594.23，180 108.91，209 855.81}。

對所得的一階累加序列模擬值做累減運算，得出FGM（1，1）模型的預測值，如表4所示。

2.2" FGM（1，1）-Markov預測

根據表4中的相對誤差劃分出四個狀態區間（狀態區間劃分表見表5）。

得狀態轉移矩陣：

[P=01001301313014340001323]。

對各年份進行狀態區間劃分，如表7所示。

馬爾可夫預測值修正。以2017年預測值為例，狀態處于[E1]，由此計算經馬爾可夫模型修正后的預測值為y=[16 896.461-0.5×-0.138 7+-0.068 7] =15 311.01。同理可以計算出其余年份的馬爾可夫修正值，如表8所示。需注意，當相對誤差≤0.02時，預測值不予修正。

3" 模型預測結果對比與精度檢驗

通過計算得出FGM-Markov預測值，并將其與GM（1，1）模型、FGM（1，1）模型、灰色馬爾可夫模型預測值相比較。對比數據如表9所示。

參照模型精度等級劃分表（表1），對3種預測模型進行誤差、后驗差和小概率誤差檢驗，如表10。由表10可知GM（1，1）預測模型和FGM（1，1）預測模型的精度等級為三級，分數階灰色馬爾可夫預測模型的精度等級為一級；相較于GM（1，1）和FGM（1，1）預測模型，分數階灰色馬爾可夫預測模型的平均誤差均值分別下降了74.65%，72.42%；后驗差比值也為最小，精度等級有所提高。圖1也可以更直觀地看出分數階灰色馬爾可夫模型的預測數據擬合度更高。模型更具參考價值。

4" 福州港未來三年貨物吞吐量預測

通過灰色預測與分數階灰色預測模型分別計算出福州港未來三年貨物吞吐量，分別利用馬爾可夫模型進行修正。以2023年數據為例，FGM模型預測值為33 392.03萬噸。

由表7可知2022年福州港貨物吞吐量處于狀態[E3]，則初始狀態向量為P =（0，0，1，0），可計算出2023年狀態轉移向量P1為（0，[14]，[34]，0），故下一步轉移狀態最有可能處于[E3]狀態；計算得2023年預測量為32 199.05萬噸。同理，預測2024—2025年福州港貨物吞吐量，如表11所示。

5" 結" 語

鑒于FGM模型在樣本少時，解的擾動界小，模型穩定性較好的優勢（分數階灰色預測模型及其應用研究），采用該模型預測港口貨物吞吐量，并考慮到港口貨物吞吐量數據受各種因素影響增長趨勢存在波動的不確定性，采用馬爾可夫鏈優化FGM模型。實驗結果表明，FGM-Markov模型相比于單一的灰色模型和分數階灰色模型，預測效果更優，能夠更好地描述港口的貨物吞吐量變化趨勢，有利于協調港口經濟發展，為港口建設與發展提供一定的支持作用。

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