鏡像隱喻視域下小數(shù)概念誤解分析

摘 要：學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)比大小時(shí)常會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤，小數(shù)比大小時(shí)，學(xué)生繼承了整數(shù)比大小、分?jǐn)?shù)比大小和負(fù)數(shù)比大小的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，出現(xiàn)了基于“整數(shù)規(guī)則”比較大小、“分?jǐn)?shù)規(guī)則”比較大小、“零規(guī)則”比較大小、“負(fù)數(shù)規(guī)則”比較大小等各種錯(cuò)誤.小數(shù)比大小混淆是學(xué)生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對(duì)象合并或不區(qū)分的結(jié)果.多位國內(nèi)外學(xué)者闡述了物體集合隱喻、對(duì)象建構(gòu)隱喻、量尺隱喻、沿路線運(yùn)動(dòng)隱喻、鏡像隱喻，他們的隱喻思想研究對(duì)研究學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律提供了新的視角．

關(guān)鍵詞：小數(shù)比大小；錯(cuò)誤；意象圖式；鏡像隱喻

1 小數(shù)的歷史

數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)提出了用十進(jìn)制小數(shù)表示平方根的非整數(shù)部分思想.^［1］劉徽對(duì)長度的記法采用的單位是丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位，表示不盡根，指出在“忽”以下的第一位，作為以10為分母的分?jǐn)?shù)，第二位數(shù)作為以100為分母的分?jǐn)?shù)……劉徽明確指出，加定法如前，求其微數(shù)，微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)，這說明劉徽已明確地使用十進(jìn)分?jǐn)?shù)“a+b10+c100+……”來表示小數(shù).^［2］劉徽把個(gè)位以下無法標(biāo)出名稱的部分稱為“徽數(shù)”，也就是現(xiàn)在的小數(shù)；古人還用“奇零”“余數(shù)”“尾數(shù)”及“微數(shù)”等名稱來稱呼小數(shù).公元13世紀(jì)，我國出現(xiàn)了小數(shù)的記法；公元19世紀(jì)末期我國才普遍采用十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn).^［3］從本質(zhì)上說，十進(jìn)分?jǐn)?shù)與十進(jìn)小數(shù)是沒有區(qū)別的.但從表達(dá)形式和運(yùn)算過程來說，十進(jìn)分?jǐn)?shù)是遠(yuǎn)不及十進(jìn)小數(shù)簡潔優(yōu)越的．

我國古代天文學(xué)家用百進(jìn)位的小數(shù)來記錄數(shù)據(jù)，著名科學(xué)家何承天編著的《宋書》律歷志部分就已大量地記述了如圖1所示的數(shù)，即用附在整數(shù)位后面的小字來表示小數(shù)，這對(duì)后來我國小數(shù)的記法有深遠(yuǎn)影響．

十一萬八千二百九十六二十五118 296.25九萬四千三百五十七94 305.17

如圖2所示，劉瑾在其音樂著作《律呂成書》中，表示“106 368.631 2”時(shí)，把小數(shù)部分寫低一格，以示與整數(shù)部分的區(qū)別.類似地，如圖3所示，在《丁巨算法》的第十問的演草里，把“鈔六十七兩六錢八分”記作因?yàn)橐浴皟伞弊鳛閱挝唬藻X、分就是小數(shù)了．

美國數(shù)學(xué)史家卡約里（C.Florian）認(rèn)為十進(jìn)小數(shù)是近代數(shù)學(xué)史上關(guān)于計(jì)算基礎(chǔ)方面的三大發(fā)明（印度計(jì)數(shù)法、十進(jìn)分?jǐn)?shù)和對(duì)數(shù)）之一.^［4］隨著人類社會(huì)的發(fā)展，需要更精確的數(shù)量單位來進(jìn)行度量和運(yùn)算，小數(shù)就是因?yàn)殚_平方運(yùn)算的需要產(chǎn)生的.1585年，荷蘭的數(shù)學(xué)家斯蒂文（S.Stevin）在《論小數(shù)》一文中，用圓圈內(nèi)的數(shù)字表示十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的數(shù)位，并將小數(shù)應(yīng)用到計(jì)算中，使十進(jìn)小數(shù)有效地參與記數(shù)，如2.192，寫作21①9②2③^［5］，這極大地促進(jìn)了小數(shù)的普及和推廣.1953年，德國數(shù)學(xué)家克拉維斯（C.Clavius）首先用“.”表示小數(shù)點(diǎn)，這個(gè)符號(hào)比較簡明、方便，成為表示小數(shù)的一種通用方法^［6］，被人們廣泛使用．

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中，小數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容.在小學(xué)階段，以人教版教材為例，學(xué)生在小數(shù)方面所學(xué)的課程內(nèi)容主要有小數(shù)的讀法寫法、小數(shù)的性質(zhì)及意義、小數(shù)的大小比較、小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)引起小數(shù)變化、小數(shù)的單位換算、小數(shù)的近似數(shù)、小數(shù)加減法豎式計(jì)算、整數(shù)加法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)、小數(shù)乘法、小數(shù)除法等內(nèi)容，具體分布如下（見表1）．

一方面，小數(shù)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域占有重要地位，與整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、比、百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)有密切的關(guān)系；另一方面，小數(shù)的知識(shí)還廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他三大知識(shí)領(lǐng)域中，并發(fā)揮著重要的作用，如在“圖形與幾何”領(lǐng)域中計(jì)算圖形的周長、面積和體積；“概率與統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域中計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)以及在“實(shí)踐活動(dòng)”中測(cè)量物體的長度等．

2 比大小中的常見錯(cuò)誤

小學(xué)生對(duì)于小數(shù)的學(xué)習(xí)并不陌生，小數(shù)在日常生活中經(jīng)常被用于表示或記錄某些物體的數(shù)據(jù)，如人民幣、人的身高、物體的長度和質(zhì)量、學(xué)習(xí)成績、天氣的氣溫、人體的體溫等事物的數(shù)據(jù)都用小數(shù)來記錄.學(xué)生對(duì)小數(shù)有著非常豐富的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)既可以幫助學(xué)生解題，也會(huì)給學(xué)生解題帶來困擾，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.小數(shù)大小有如下幾個(gè)比較常見的錯(cuò)誤類型：依據(jù)“整數(shù)規(guī)則”比較;依據(jù)“分?jǐn)?shù)規(guī)則”比較；依據(jù)“零規(guī)則”比較；依據(jù)“負(fù)數(shù)規(guī)則”比較．

學(xué)生存在對(duì)小數(shù)本身的概念誤解（Misconception），錯(cuò)誤地認(rèn)為小數(shù)是用符號(hào)隔開的兩個(gè)整數(shù)^［7］，所以學(xué)生會(huì)受到已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響，基于“整數(shù)規(guī)則”或“整數(shù)經(jīng)驗(yàn)”進(jìn)行比大小.例如，在比較0.056、0.506、0.560、0.56大小時(shí)，有學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為0.560＞0.506＞0.56＞0.056，理由是560＞506＞56，所以0.560＞0.506＞0.56＞0.056；比較0.676 767 67和0.7的大小，學(xué)生初學(xué)時(shí)認(rèn)為0.676 767 67＞0.7，從直覺看，學(xué)生存在“小數(shù)越長，小數(shù)越大”的誤解^［7］，也稱數(shù)位溢出思想.以上錯(cuò)誤說明，初學(xué)者尚未建立比較小數(shù)大小的方法，即從高位比起.此外，學(xué)生繼承整數(shù)乘法、整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行比較，如認(rèn)為3.68×0.98＞3.68，3.68÷0.98＜3.68，存在“乘法越乘越大”“除法越除越小”的誤解．

除了整數(shù)經(jīng)驗(yàn)會(huì)影響小數(shù)比大小，分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)也對(duì)小數(shù)比大小有影響.5.62和5.736兩個(gè)小數(shù)比大小的過程中，學(xué)生認(rèn)為5.62＞5.736.學(xué)生誤認(rèn)為5.62=562，5.736=5736，因?yàn)?62＞5736，所以錯(cuò)誤地認(rèn)為5.62＞5.736，即初學(xué)者認(rèn)為小數(shù)越短，小數(shù)越大，這樣的誤解也稱分母式思維.雖然這樣的行為看起來很幼稚，但是初學(xué)者確實(shí)表現(xiàn)出了這種行為.面對(duì)一樣長的小數(shù)，學(xué)生會(huì)利用分?jǐn)?shù)比大小的經(jīng)驗(yàn)，比較小數(shù)之間的大小關(guān)系，如13＞14，所以誤認(rèn)為0.3＞0.4，把分?jǐn)?shù)比較繼承到了小數(shù)比較中．

學(xué)生存在對(duì)小數(shù)的概念誤解，認(rèn)為小數(shù)就是很小的數(shù)，小數(shù)是介于0和1之間的數(shù).所以，零越多的小數(shù)，小數(shù)越小；零越少的小數(shù)，小數(shù)越大.在0.1和0.100 00的比較中，學(xué)生誤認(rèn)為0.1＞0.100 00，這是基于“零規(guī)則”比較出現(xiàn)的錯(cuò)誤．

關(guān)于小數(shù)的概念誤解還有小數(shù)是很小的數(shù)，是小于零的數(shù)，小數(shù)是負(fù)數(shù)，即0.22被誤認(rèn)為是零以下的負(fù)數(shù).國外研究顯示，研究者對(duì)初一年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行比較大小的調(diào)查，學(xué)生會(huì)基于負(fù)數(shù)比大小的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生對(duì)小數(shù)比較的錯(cuò)誤思考，學(xué)生的理由是-3＞-4，則0.3＞0.4.^［8］

3 隱喻

隱喻，最早可追溯到傳統(tǒng)隱喻，傳統(tǒng)隱喻主要是修辭隱喻.亞里士多德（Aristotle）是西方修辭學(xué)的始祖，他認(rèn)為隱喻是一個(gè)詞替代另一個(gè)詞，表達(dá)同一意義的語言手段，即把一事物比作另一事物，從而增強(qiáng)語言表達(dá)效果.兩個(gè)詞語分別來自兩個(gè)不同的域，通過相似性建立隱喻關(guān)系.

20世紀(jì)30年代之前隱喻的研究始終沒有跳出修辭學(xué)的窠臼，直到20世紀(jì)30年代以后，隱喻研究轉(zhuǎn)向了語義學(xué)理論，英國語言學(xué)家理查茲（I. Richards）在《修辭哲學(xué)》中指出，隱喻不僅僅是一種語言現(xiàn)象，它還是人類的思維方式，日常生活中充滿著隱喻，隱喻是把表示兩個(gè)不同事物的思想放在一起，兩種思想相互作用的結(jié)果就是隱喻的意義.理查茲突破了傳統(tǒng)隱喻只關(guān)注到隱喻某些方面的局限性.從根本上講，他認(rèn)為隱喻是思想的相互交流，是語境之間的相互作用，人的思想是隱喻的.理查茲突破了傳統(tǒng)修辭學(xué)僅將隱喻作為修辭的藩籬，提出了人類思想和行為隱喻性概念.^［9］

后來，認(rèn)知科學(xué)興起，語言學(xué)、信息學(xué)、人工智能等領(lǐng)域出現(xiàn)，極大地拓展了隱喻的研究領(lǐng)域，美國學(xué)者萊考夫（G.Lakoff）和約翰遜（M.Johnson）從認(rèn)知的角度對(duì)隱喻進(jìn)行研究，在《我們賴以生存的隱喻》一書中闡述了現(xiàn)代隱喻認(rèn)知觀的基本框架.萊考夫和約翰遜認(rèn)為隱喻不僅是修辭手法和思維方式，還是人類認(rèn)知、思維、經(jīng)驗(yàn)、語言甚至是行為的基礎(chǔ)，是人類生存的基本方式.^［10］

隱喻是一種認(rèn)知現(xiàn)象，人類通過外部刺激經(jīng)過大腦形成互動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，涉身活動(dòng)所形成的思維方式用意象圖式來表達(dá)，意象圖式是人類概念化意義建構(gòu)的認(rèn)知基礎(chǔ)，人類的身體無時(shí)無刻處于各式各樣的活動(dòng)之中，身體始終處于與外部客觀世界的接觸和互動(dòng)中，意象圖式就在這些活動(dòng)中，給抽象事物賦予具體結(jié)構(gòu)（如圖4）.^［11］人類用熟悉的某一領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)（源域）來解釋抽象的另一領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)（目標(biāo)域）．

萊考夫和約翰遜認(rèn)為心智本質(zhì)上是涉身的；思維大多是無意識(shí)的；抽象概念大部分是隱喻的.^［12］隱喻是一種認(rèn)識(shí)新概念的工具，具有涉身性，自動(dòng)地、無意識(shí)地滲透在人類思想、語言和行為之中.隱喻映射將人類涉身感覺運(yùn)動(dòng)與外部世界互動(dòng)的體驗(yàn)投射到主觀經(jīng)驗(yàn)中，賦予其意義并理解意義過程.萊考夫和約翰遜說明了人類使用日常語言通過隱喻理解抽象概念，從而證明了隱喻推理是人類思想和交流的基礎(chǔ).^［13］

有學(xué)者將隱喻思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)研究中，通過隱喻來理解抽象概念.例如，“數(shù)字是一條線上的點(diǎn)”“等式是一個(gè)平衡”，這些實(shí)例通過一個(gè)熟悉的、具體的源域（線、平衡、框）來查看不太熟悉的目標(biāo)域（數(shù)字、等式、變量）.隱喻的主要特征是一個(gè)領(lǐng)域被概念化為另一個(gè)領(lǐng)域．

4 鏡像隱喻：十進(jìn)制數(shù)的位值表示法的三種心理構(gòu)造有學(xué)者

闡述了物體集合隱喻、對(duì)象建構(gòu)隱喻、量尺隱喻和沿路線運(yùn)動(dòng)隱喻，人們通過四種基本隱喻對(duì)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行認(rèn)知.^［14］鏡像隱喻是隱喻的一種，鏡像有以下三個(gè)基本組成部分：真實(shí)物體、它們的圖象（反射）和鏡像位置（某種對(duì)稱線、平衡點(diǎn)、樞軸、軸）.為了進(jìn)行概念隱喻，這些基本成分之間的關(guān)系也必須從源域到目標(biāo)域進(jìn)行轉(zhuǎn)換.有了鏡子，每個(gè)真實(shí)的物體都有自己清晰的圖象.在理解數(shù)字時(shí)，先通過物體集合隱喻實(shí)現(xiàn)從物理對(duì)象領(lǐng)域到數(shù)字領(lǐng)域{1，2，3，4，…}的映射，即物體集合來源域和算術(shù)目標(biāo)域的隱喻映射.在經(jīng)典的數(shù)列中，正數(shù)和負(fù)數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，0作為平衡點(diǎn)（第一把鏡子），{1，2，3，4，…}作為真實(shí)物體，通過平衡圖式得到的圖象是{-1，-2，-3，-4，…}（如圖5）.在數(shù)學(xué)術(shù)語中，這些圖象是自然數(shù)的加法逆.

正數(shù)和它們的倒數(shù)在自然數(shù)1周圍是平衡的.物體首先通過物體集合隱喻實(shí)現(xiàn)從物理對(duì)象到數(shù)字領(lǐng)域的隱喻映射，{1，2，3，4，…}通過鏡子“1”反射圖象（第二把鏡子），圖象是單位分?jǐn)?shù)12，13，14，…（如圖6）.在數(shù)學(xué)術(shù)語中，單位分?jǐn)?shù)是以整數(shù)來概念化，這些圖象是自然數(shù)的乘法逆．特別說明的是圖片表明正數(shù)和它們的倒數(shù)在自然數(shù)1周圍是平衡的，并不是按照數(shù)字大小進(jìn)行排列的.

第三把鏡子與概念隱喻的空間排列有關(guān)，在這里，真正的對(duì)象不是自然數(shù)，是數(shù)位{一，十，百，千，…}.作為真實(shí)物體，以個(gè)位作為第三把鏡子，它們的圖象是“小數(shù)”數(shù)位{十分之一，百分之一，千分之一，…}（如圖7）.

通常的位值計(jì)算的空間安排被學(xué)生看作是某種“數(shù)線”，數(shù)字沿著它分布.這個(gè)模型和另外兩個(gè)模型一樣，向兩個(gè)方向無限延伸，小數(shù)點(diǎn)的左邊有整數(shù)值遞增，右邊有遞減值的“十進(jìn)制數(shù)”.學(xué)生不清楚鏡子的位置，他們認(rèn)為它是小數(shù)點(diǎn)，而不是個(gè)位．

自然數(shù)是構(gòu)成其他數(shù)概念的主要元素.鏡像隱喻涉及分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的位值表示法的心理構(gòu)造，三種心理構(gòu)造不同.學(xué)生把小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)混淆的深層次原因是同一源域特征隱喻映射的不同目標(biāo)之間的混淆，錯(cuò)誤地認(rèn)為小數(shù)是負(fù)數(shù)的學(xué)生正在合并自然數(shù)的不同圖象.

部分學(xué)生錯(cuò)誤地

合并了第一列和第三列中的圖象（見表2），小數(shù)比較中繼承了分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生可能合并了第二列和第三列.位值鏡像及其相關(guān)的“數(shù)字線”是一個(gè)心理構(gòu)造，和正/負(fù)鏡像隱喻、倒數(shù)鏡像隱喻不同的是位值鏡像隱喻是數(shù)位的平衡．

5 結(jié)論與啟示

小數(shù)比較中的錯(cuò)誤并不是簡簡單單的粗心、馬虎、不認(rèn)真，也不是簡單的看錯(cuò)符號(hào).錯(cuò)誤來源于概念本身的誤解、概念與概念之間的誤解、直覺規(guī)律、隱喻過程中出現(xiàn)的混淆等．

首先，學(xué)生對(duì)小數(shù)概念本身存在以下四種常見的概念誤解：小數(shù)是用符號(hào)隔開的兩個(gè)整數(shù)；小數(shù)是很小的數(shù)；小數(shù)是小于零的數(shù)；小數(shù)是介于0和1之間的數(shù).其次，學(xué)生存在概念與概念之間的誤解，學(xué)生對(duì)小數(shù)進(jìn)行比大小時(shí)錯(cuò)誤地繼承了整數(shù)經(jīng)驗(yàn)、分?jǐn)?shù)經(jīng)驗(yàn)和負(fù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，出現(xiàn)了基于“整數(shù)規(guī)則”比較大小、基于“分?jǐn)?shù)規(guī)則”比較大小、基于“零規(guī)則”比較大小、基于“負(fù)數(shù)規(guī)則”比較大小等錯(cuò)誤.再次，學(xué)生存在直覺上的誤解，誤認(rèn)為小數(shù)越長小數(shù)越大，小數(shù)越短小數(shù)越大，零越少小數(shù)越大，乘法越乘越大，除法越除越小.最后，自然數(shù)是構(gòu)成其他數(shù)概念的主要元素；鏡像隱喻涉及分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的位值表示法的心理構(gòu)造，三種心理構(gòu)造不同.其中的正/負(fù)鏡像隱喻和倒數(shù)鏡像隱喻在正式的數(shù)學(xué)系統(tǒng)中被識(shí)別加法的逆和乘法的逆，但是位值鏡像及其相關(guān)的“數(shù)字線”是一個(gè)心理構(gòu)造，是數(shù)位的平衡.小數(shù)比大小中的混淆是學(xué)生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對(duì)象合并或不區(qū)分的結(jié)果．

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