單元教學(xué)視域下二次函數(shù)最值問題的研究

摘 要：隨著中考的不斷改革，二次函數(shù)最值問題又一次成為中考熱點題型.在近年中考中，多數(shù)學(xué)生表示二次函數(shù)的最值壓軸問題相對于其他問題來說難度更大，且考查重點在于學(xué)生對二次函數(shù)概念的理解和掌握情況，以及對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的分析能力.結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗來看，這類題型大多以代數(shù)式、頂點坐標(biāo)、對稱軸等形式出現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上進行數(shù)形結(jié)合的變式，幫助學(xué)生充分理解函數(shù)與方程之間的聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：單元教學(xué)；二次函數(shù)；最值問題

在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，二次函數(shù)最值問題一直是教師與學(xué)生的共同挑戰(zhàn)，特別是在中考的舞臺上，這一知識點更是被賦予了舉足輕重的地位.學(xué)生需要靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析，準(zhǔn)確找到函數(shù)的最值點，這不僅要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要學(xué)生具備良好的邏輯思維能力和空間想象能力.［1］在實際教學(xué)中，教師可以通過多種方式來幫助學(xué)生理解和掌握二次函數(shù)最值問題，加深學(xué)生對二次函數(shù)性質(zhì)的理解.同時，還要求學(xué)生通過大量的練習(xí)和案例分析，提高自身的解題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

本文從二次函數(shù)最值問題中考考情出發(fā)，討論單元教學(xué)視域下二次函數(shù)最值問題的教學(xué)策略并結(jié)合實際案例進行分析.

1 二次函數(shù)最值問題中考考情

1.1 二次函數(shù)頂點、對稱軸、開口方向的考查內(nèi)容

二次函數(shù)的頂點、對稱軸和開口方向是求解最值問題的關(guān)鍵要素.在中考中，這些要素通常會被單獨或結(jié)合在一起進行考查，具體內(nèi)容如下.

（1）頂點的考查.頂點是二次函數(shù)圖象的最高點或最低點，對于開口向上的拋物線，頂點是最低點，即最小值點；對于開口向下的拋物線，頂點是最高點，即最大值點.因此，求解二次函數(shù)的最值問題，需要先找到函數(shù)的頂點.在中考中，可能會出現(xiàn)給定二次函數(shù)的一般式或頂點式，要求求解函數(shù)的頂點坐標(biāo)，或者根據(jù)頂點坐標(biāo)判斷函數(shù)的開口方向等題型.

（2）對稱軸的考查.二次函數(shù)的對稱軸是垂直于x軸的直線，它將拋物線分為左、右兩部分，這兩部分關(guān)于對稱軸對稱.對稱軸的方程是x＝-b2a，其中a和b是二次函數(shù)一般式中的系數(shù).在中考中，可能會出現(xiàn)給定二次函數(shù)的一般式，要求求解函數(shù)的對稱軸方程，或者根據(jù)對稱軸的位置判斷函數(shù)的開口方向等題型.

（3）開口方向的考查.二次函數(shù)的開口方向取決于二次項系數(shù)a的符號.當(dāng)agt;0時，拋物線開口向上；當(dāng)alt;0時，拋物線開口向下.在中考中，可能會出現(xiàn)給定二次函數(shù)的一般式，要求判斷函數(shù)的開口方向，或者根據(jù)開口方向判斷函數(shù)的最大值或最小值等題型.

1.2 結(jié)合圖形的考查內(nèi)容

在中考中，二次函數(shù)最值問題往往會結(jié)合圖形進行考查.學(xué)生需要通過觀察圖形，分析函數(shù)的變化趨勢，進而找到最值點.這類題目通常會給出二次函數(shù)的圖象，但也有部分題目要求學(xué)生自行畫出圖象，并根據(jù)圖象內(nèi)容判斷函數(shù)的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸方程等關(guān)鍵信息，然后求解函數(shù)的最值.［2］

2 單元視域下二次函數(shù)最值問題的教學(xué)策略

2.1 分析函數(shù)與方程之間的關(guān)系，尋找最值問題的突破口

教師需要幫助學(xué)生分析函數(shù)與方程之間的關(guān)系，理解函數(shù)的最值問題與方程的根之間的關(guān)系，從而找到求解最值問題的突破口.教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，分析函數(shù)的開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸等關(guān)鍵信息，幫助學(xué)生建立起函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，形成解題的思路和方法.

2.2 利用函數(shù)圖象特征，構(gòu)建最值模型

在求解二次函數(shù)最值問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征，對最值模型進行構(gòu)建，從而提高解題能力.在進行函數(shù)圖象特征的分析時，教師要注意突出不同點之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生將知識進行系統(tǒng)化總結(jié).在對圖象進行分析時，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖象中的交點、最值點等要素，當(dāng)這些問題得到解決后，學(xué)生就可以在此基礎(chǔ)上尋找最值模型.常見的幾種最值模型如下.

（1）利用函數(shù)圖象直接觀察求出最值.函數(shù)圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀體現(xiàn)，通過觀察函數(shù)圖象，學(xué)生可以更清晰地了解函數(shù)的變化趨勢和最值情況［3］，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析函數(shù)圖象的頂點、對稱軸、開口方向等特征，構(gòu)建出最值問題的數(shù)學(xué)模型，從而簡化解題過程，提高解題效率.

（2）利用二次函數(shù)圖象特征找到解題思路.在求解二次函數(shù)最值問題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)二次函數(shù)圖象特征，選擇合適的解題策略，提高解題效率.教師可以通過公式法和待定系數(shù)法兩種方式引導(dǎo)學(xué)生解決函數(shù)最值問題.

例題 二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象與x軸交于點A（-1，0），與y軸交于點C（0，-5），且經(jīng)過點D（3，-8）.求此二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo).

解析：利用待定系數(shù)法，將點A、C、D代入二次函數(shù)解析式，得a-b+c＝0，c＝-5，

9a+3b+c＝-8，解得a＝1，

b＝-4，

c＝-5.

二次函數(shù)解析式為y＝x2-4x-5，

即y＝（x-2）2-9，則頂點坐標(biāo)為（2，-9）.

2.3 強化實踐應(yīng)用，提高學(xué)生解決問題的能力

除了以上的教學(xué)策略外，教師還可以通過強化實踐應(yīng)用的方式，提高學(xué)生解決二次函數(shù)最值問題的能力.［4］在實際生活中，很多問題都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題來求解，如最優(yōu)化問題、經(jīng)濟決策問題等.教師可以結(jié)合這些實際問題，設(shè)計一些具有實際意義的練習(xí)題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，加深對二次函數(shù)最值問題的理解，提高解決問題的能力.

2.4 立足數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的最值處理能力

除了以上提到的幾種教學(xué)策略外，教師還應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維［5］，幫助學(xué)生迅速走入二次函數(shù)最值世界.數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)包括邏輯推理、歸納總結(jié)、化歸轉(zhuǎn)換等方面，這些都是解決二次函數(shù)問題的關(guān)鍵能力.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、總結(jié)來掌握二次函數(shù)最值問題的解題規(guī)律.在解決了一系列類似的問題后，學(xué)生可以總結(jié)出一些通用的解題方法和技巧，如面積法、切線法等，高效解決二次函數(shù)最值問題，在歸納、總結(jié)的過程中還有少部分學(xué)生能舉一反三，在練習(xí)題中提升推理、邏輯能力.

此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過化歸轉(zhuǎn)換來簡化問題.一個復(fù)雜的問題往往需要簡化步驟變成簡單問題后再來解決，這樣的解決方式更加高效.在二次函數(shù)最值問題中，教師可以通過一些變換，如平移、旋轉(zhuǎn)、切割等，將函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為更易于分析的形式，從而幫助學(xué)生在二次函數(shù)圖象中找到解題方案.

2.5 學(xué)科融合，拓寬學(xué)生視野

在教學(xué)二次函數(shù)最值問題時，教師可以嘗試加強與其他學(xué)科的融合［6］，以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.例如，可以與物理學(xué)科中的運動學(xué)、力學(xué)等問題相結(jié)合，還可以與經(jīng)濟學(xué)中的最優(yōu)化問題、社會科學(xué)中的決策問題等相結(jié)合.通過跨學(xué)科融合的方式，既能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還能幫助學(xué)生建立更完整的二次函數(shù)知識體系，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時，這也符合當(dāng)今教育注重跨學(xué)科整合的趨勢，有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力.

3 結(jié)語

筆者在單元教學(xué)視域下，對二次函數(shù)最值問題進行分析和探討，發(fā)現(xiàn)其不僅是對學(xué)生基本數(shù)學(xué)知識掌握情況的考查，更是對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的檢驗.教師在平時教學(xué)過程中，要注重對學(xué)生基本解題思想和方法的引導(dǎo)，幫助學(xué)生正確掌握二次函數(shù)最值問題的解題技巧和方法，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.同時，教師也要在日常教學(xué)過程中加強對二次函數(shù)最值問題的重視，提高教學(xué)質(zhì)量.

參考文獻

［1］秦玉.關(guān)于二次函數(shù)綜合題的過程突破與解法探究——以一道面積最值與公共點問題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（2）：86-88.

［2］余葉軍，夏玉榮.問題驅(qū)動 深度參與 落實素養(yǎng)——以“二次函數(shù)應(yīng)用”教學(xué)片段為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（4）：34-35.

［3］李衛(wèi)華.基于視覺化表征的初中代數(shù)教學(xué)策略研究——以“二次函數(shù)性質(zhì)”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（4）：7-9+67.

［4］徐國紅.始于教材 顯于本質(zhì) 彰顯素養(yǎng)——一道二次函數(shù)綜合題的命制與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2024（3）：69-72.

［5］吳陽，王家正.初中數(shù)學(xué)教材中“二次函數(shù)”內(nèi)容的設(shè)計與分析——以“人教版”“康軒版”“singlee版”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（6）：14-15.

［6］羅志英.強化“三個二次”關(guān)聯(lián)，落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——二次函數(shù)、一元二次方程、不等式課堂實錄［J］.教育科學(xué)論壇，2024（10）：39-41.