關于時間中點與位移中點的兩個結論及其應用

摘" 要：時間中點與位移中點，是描述質點運動的兩個重要概念.關于時間中點與位移中點，有兩個結論.結論一指出，在勻變速運動中，質點在一段時間內的平均速度等于該段時間中間時刻的瞬時速度；結論二指出，在勻變速運動中，合外力的作用線通過時間中點及相對應的位移中點，且合外力的方向由時間中點相對應的點指向位移中點.本文在推證結論的基礎上例舉應用.

關鍵詞：勻變速運動；時間中點；位移中點

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0117-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：許冬保 （1963—），男，江西省九江人，正高級教師，特級教師.從事高中物理教學研究.

時間中點與位移中點，是描述質點運動的兩個重要概念.時間中點即中間時刻.在直線運動中，位移中點即中間位置；在曲線運動中，位移中點即質點相對某參考點位置矢量變化量的中點.關于時間中點與位移中點的相關論述，充斥在教學輔導參考書［1-2］之中的莫過于如下的內容：在勻變速直線運動中，若已知始、末速度，便可求出中間位置的速度與中間時刻的速度，且中間位置的速度大于中間時刻的速度.在勻變速運動中，本文提出與時間中點與位移中點相關的兩個結論，并在推證的基礎上介紹其應用.

1" 結論一

在勻變速運動中，質點在一段時間內的平均速度等于該段時間中間時刻的瞬時速度.

對于勻變速直線運動，結論一顯然是成立的.在勻變速曲線運動中仍然成立［3-4］.下面以平拋運動為例驗證.

設質點以初速度v0做平拋運動，如圖1，經時間t運動至Q點，Q點坐標為（x、y），位移l與x軸偏角為α；若P點為質點在t2的位置，速度為v，其兩個分量分別為vx、vy，速度v與x軸偏角為β.由平拋運動的規律，有

x=v0t，y=12gt2，l=x2+y2，tanα=yx.

vx=v0，vy=12gt，v=v2x+v2y，tanβ=vyvx.

圖1" 平拋運動速度分析

聯立解得

v=v20+14g2t2， tanα=tanβ=gt2v0.

t內質點運動的平均速度大小為 v-=lt=v20+14g2t2，顯然 v-=v.

綜上：做勻變速曲線運動的質點，在一段時間t內的平均速度等于t2時刻的速度.強調指出的是，此處速度相等既包括大小也包括方向；速度方向相同在圖形上表現為軌跡線上某點切線方向（即瞬時速度方向）與相應的一段弦（即位移方向）是平行關系.

2" 結論二

在勻變速運動中，合外力的作用線通過時間中點及相對應的位移中點，且合外力的方向由時間中點相對應的點指向位移中點.

以下依勻變速直線運動及勻變速曲線運動進行分析.

2.1" 勻變速直線運動中時間中點與位移中點間的關系

如圖2，質點由A向B做勻加速直線運動，中間時刻、中間位置對應圖中P、Q兩點，由于中間位置的速度大于中間時刻的速度，因此P在Q之左側，顯然加速度方向由P指向Q.

圖2" 勻加速直線運動分析" 圖3" 勻減速直線運動分析

如圖3，質點由A向B做勻減速直線運動，同理可知，P在Q之右側，加速度方向由P指向Q.

由牛頓運動定律知，合外力方向與加速度方向相同，因此，在勻變速直線運動中，合外力方向是由中間時刻對應的點指向中間位置的.

2.2" 勻變速曲線運動中時間中點與位移中點間的關系

對于勻變速曲線運動，以斜上拋運動為例，進行論證.以下分幾種情形進行討論.

2.2.1" 質點與拋出點在同一水平線上

如圖4，質點以初速度v0做斜上拋運動，a為拋出點，b

點與a處在同一水平面上.若質點僅受重力作用，則質點做勻變速曲線運動.建立圖示坐標系，最高點為p.由對稱性知，質點沿ap段運動時間與沿pb段運動時間相等.取ab連線中點c，則重力的作用線一定通過pc連線，重力方向豎直向下，由p指向c.

圖4" 斜拋運動最高點分析

2.2.2" 質點在通過拋出點水平線的上方

考查質點在拋出點上方（圖5）的情形，圖中apb為研究的一段曲線，b′為b在x軸上的投影.若過p點的切線方向與ab連線平行，則p點為質點在ab曲線上運動中間時刻的位置；作p在x軸上的投影c′，因質點在水平方向做勻速運動，故c′為ab′連線中點；作ab連線中點c，則c、c′必為Δabb′的中位線，顯然，p、c、c′在同一豎直線上.因此，重力的作用線一定通過pc連線，方向由p指向c.

圖5" 斜拋運動拋出點上方分析

質點在拋出點水平線下方的情形，同理可證.

2.2.3" 質點在拋物線上的任意兩位置

如圖6，對質點在任意一段曲線apb進行分析.a′、b′分別為a、b在x軸上的投影.若過p點的切線方向與ab平行，則p點為質點沿apb曲線運動的中間時刻的位置；作p點在x軸上的投影c′，因質點的水平分運動為勻速運動，故c′為a′b′連線中點.如圖7，過c′點作ab平行線a″b″；a″、b″分別在aa′連線及b′b延長線上，容易得到 Δa″c′a′Δb″c′b′，則pc′連線與ab連線之交點c，一定在ab連線之中點.因此，重力的作用線一定通過pc連線，方向由p指向c.

圖6" 斜拋運動任意一段曲線分析1

圖7" 斜拋運動任意一段曲線分析2

3" 結論應用

3.1" 斜面上平拋運動的應用

例1" 如圖8，在傾角為θ的斜面上，以初速度v0水平拋出一小球，經過一段時間后，小球仍落在斜面上.若不計空氣阻力，重力加速度為g.則從拋出開始計時，求：

（1）經多長時間小球離斜面的距離最大；

（2）小球離斜面距離最大處與小球位移中點之間的距離.

解析" （1）如圖9，建立坐標系，小球離開斜面的距離達到最大時（對應a點），其速度方向一定平行斜面；將a點的速度沿x、y坐標軸進行分解，有 v0tanθ=gt，解得 t=v0tanθg.

圖8" 斜面上的平拋運動

（2）因v與Oc平行，故由結論1知，a點是平拋運動中間時刻的位置.a點的縱坐標為 ya=12gt2；取Oc中點b，由結論2知，重力作用線通過ab連線.小球到達c點時，有 yc=12g2t2=2gt2，則b點的縱坐標為 yb=12yc=gt2.

因此 ab之長度為Δy＝yb-ya=12gt2.

代入問題（1）中所得時間t，得 Δy=v20tan2θ2g.

圖9" 斜面上的平拋運動分析

點評" a點是小球離開斜面距離最大的點，因此，a點的速度方向平行于斜面，且a點為中間時刻的位置.本題第（2）問，還有另一種分析方法：沿平行斜面及垂直斜面兩個方向建立坐標系，并將速度v0及加速度g進行分解，則小球在垂直于斜面方向的初速度大小為v0sinθ、加速度大小為gcosθ，可以得到小球離開斜面的最大距離為 H=v20sin2θ2gcosθ；根據結論2，ab為豎直方向，則ab之長度為 Δy＝Hcosθ，所得結果同上.

3.2" 平面上類平拋運動的應用

例2" 如圖10，水平面內有一固定直角坐標系，質量為m=1 kg的質點從原點O以一定的初速度沿+y方向運動，同時對質點施加兩個恒力，其中F1 沿-y方向、大小為10 N，F2沿第一象限角平分線、大小未知，質點恰沿拋物線x=4y2運動，且通過點P（14m，14m），則 （" ）.

圖10" 質點沿拋物線運動

A.F2的大小為10 N

B.質點初速度大小為5 m/s

C.從O點運動到P點的過程中，F2對質點所做的功為5 J

D.從O點運動到P點的過程中，F1對質點的沖量大小為5N·s

解析" 對拋物線方程x=4y2微分，有 dydx=18y.為在拋物線上尋找與OP平行的切線方向，令dydx=tan45°=1，縱坐標為 y=18m，對應圖11中的a點.由結論一知，a點為質點運動中間時刻的位置.根據P點的坐標及過OP直線的分布可知，OP連線中點b的縱坐標為 y=18m.由結論二及曲線運動中力與運動的關系知，合外力方向一定平行x軸由a指向b.因此 F1=F2sin45°，F=F2cos45°.解得F2=102 N.由牛頓運動定律知，質點運動的加速度大小為a=Fm=10 m/s2.

圖11" 質點受力與運動情況的分析

由類平拋運動規律，得 14=v0t，14=12at2.解得 t=510 s，v0=52 m/s［5］.

在O點到P點的過程中，F2對質點做功為

W=F2·OP=5 J.

在O點到P點的過程中，F1對質點的沖量I=F1·t=5 N·s.

綜上，正確選項是C、D.

點評" 試題給出初速度方向，結合拋物線軌跡，能夠判定質點作類平拋運動，且O點為平拋運動起始點.根據平拋運動的定義，可以得到質點所受合外力的方向必沿x軸正方向，如此分析，對學生的理解能力及推理能力要求較高.根據結論一、二進行分析推理，思路簡潔明了，有利于促進思維品質的優化.

3.3" 電場中類平拋運動的應用

例3" 在勻強電場中，一帶正電的粒子僅在電場力作用下的一段運動軌跡如圖12，電場未畫出.軌跡上c點處的切線與ab連線平行，c點處速度方向如圖，d為ab連線的中點.下列說法正確的是

（" ）.

A.粒子在ac間運動的時間等于在bc間運動的時間

B.粒子在c點時速度最小

C.場強方向沿cd連線方向，且由c指向d

D.場強方向與ab連線方向垂直圖12" 勻強電場中粒子運動

解析" 由題意知，帶電粒子在勻強電場中做勻變速曲線運動.已知軌跡上c點處的切線與ab連線平行，由結論一知，拋物線上的c點即為粒子運動的中間時刻的位置.

已知“d為ab連線的中點”，由結論二知，cd連線方向即為電場力的方向，粒子帶正電，則電場強度的方向由c指向d.速度最小處，粒子的速度方向一定與電場力的方向垂直.綜上，正確選項是A、C.

點評" 該例表明，勻變速曲線運動中的結論一、二，同樣適用于分析勻強電場中的情形.應用結論分析問題，既簡潔明了又快捷高效.

4" 結束語

綜上，對于勻變速曲線運動，結論一與結論二“聯姻”使用，可謂相輔相成、相得益彰.在問題解決中，通過化難為易、化繁為簡，能有效促進學科能力與素養的提升.

參考文獻：［1］

張大同，趙偉.高中物理精英讀本（上）［M］.上海世紀出版集團，2014：21-22.

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［3］ 曹闖.“中間時刻速度等于平均速度”對于勻變速曲線運動也成立［J］.中學物理，2014（1）：64.

［4］ 許冬保，朱文惠.勻變速曲線運動的一個結論及其應用［J］.數理化學習，2018（3）：55-56.

［5］ 許冬保.質點沿拋物線運動的三種分析方法［J］.數理化解題研究，2021（13）：74-75.

［責任編輯：李" 璟］