對數平均不等式的證明、背景、隔離及其推廣

摘" 要：先給出對數平均不等式及其新穎證明，然后從廣義對數平均的單調性得到不等式鏈，并給出證明，這就得到了對數平均不等式的背景和隔離，最后將對數平均不等式進行推廣，并得到不等式鏈.

關鍵詞：對數平均不等式；背景；隔離；推廣；不等式鏈

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0032-05

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：李映芝（1989.11—），女，貴州省遵義人，研究生，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

對數平均不等式在高考題與模擬題中頻繁出現，已經有不少文獻對其進行研究［1］. 筆者先從基本不等式的視角給出對數平均不等式的新穎證明，然后從廣義對數平均的單調性說明其背景，最后給出對數平均不等式的隔離與推廣.

1" 對數平均

定義" 兩個正數a，b的對數平均為［2］L（a，b）=b-alnb-lna，a≠b，a，a=b.

事實上，由洛必達法則，得

limb→ab-alnb-lna=limx→ax-alnx-lna

=limx→a11/x

=limx→ax=a.

2" 對數平均不等式

設bgt;agt;0，則ablt;b-alnb-lnalt;a+b2.①

①式稱為對數平均不等式.

3" 對數平均不等式的新穎證明

常規的證明方法是構造函數，利用函數的單調性；或者利用幾何意義（函數y=1x的凹性），比較梯形與曲邊梯形的面積［3］.下面筆者另辟蹊徑，從基本不等式的角度給出對數平均不等式的新穎證明.

證明" ①式等價于

2a+blt;lnb-lnab-alt;1ab（bgt;agt;0）. ②

設f（x）=lnb+xa+x，則

lnb-lna=lnba

=f（0）-f（+

SymboleB@ ）

=-∫+

SymboleB@ 0f ′（x）dx

=（b-a）∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）.③

由基本不等式，得

（x+ab）2lt;（x+a）（x+b）lt;（x+a+b2）2（xgt;0）.④

由③④，得

lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）

gt;∫+

SymboleB@ 0dx［x+（a+b）/2］2

=-1x+（a+b）/2" +

SymboleB@ 0

=2a+b，

lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b）

lt;∫+

SymboleB@ 0dx（x+ab）2

=-1x+ab" +

SymboleB@ 0

=1ab.

故②式得證.

評析" 通過構造函數f（x）=lnb+xa+x，利用微積分基本定理，得到lnb-lnab-a=∫+

SymboleB@ 0dx（x+a）（x+b），再結合基本不等式得到④式，然后放縮即可得證.證明思路清晰，證明方法新穎［4］.

4" 對數平均不等式的背景

定義" 兩個正數a和b的廣義對數平均（Stolarsky平均）［5］為：

Lr（a，b）=［br-arr（b-a）］1r-1，a≠b，b，""""""""" a=b.

1975年，Stolarsky.K.B［6］證明了：當a≠b時，Lr（a，b）是r的嚴格遞增函數.

經過計算，可得：

定理1" 當r=-1，0，1，2，及agt;0，bgt;0，a≠b時，有

L-1（a，b）=ab（幾何平均），

L0（a，b）=limr→0Lr=b-alnb-lna（對數平均），

L1（a，b）=limr→1Lr=1e（bbaa）1b-a（指數平均），

L2（a，b）=a+b2（算術平均）.

證明" L-1（a，b）=ab和L2（a，b）=a+b2是顯然的.由洛必達法則，并注意到agt;0，bgt;0且a≠b，故

limr→0br-arr（b-a）=limr→0brlnb-arlnab-a=lnb-lnab-a.

于是L0（a，b）=limr→0Lr=b-alnb-lna.

又因為lnLr=1r-1lnbr-arr（b-a），所以

limr→1lnLr=limr→1ln{（br-ar）/［r（b-a）］}r-1

=limr→1r（b-a）br-ar·（brlnb-arlna）r（b-a）-（br-ar）（b-a）r2（b-a）2

=limr→1［（brlnb-arlna）r-（br-ar）］r（br-ar）

=limr→1（brlnb-arlnabr-ar-1r）

=1b-aln（bbaa）-1，

故L1（a，b）=limr→1Lr=1e（bbaa）1b-a.

由Lr（a，b）的單調性和定理1，得到

定理2" 當bgt;agt;0時，Lr（a，b）有不等式鏈

L-

SymboleB@ （a，b）lt;…lt;L-1（a，b）lt;L0（a，b）lt;L1（a，b）lt;L2（a，b）lt;…lt;L+

SymboleB@ （a，b），

即alt;…lt;ablt;b-alnb-lnalt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2lt;…lt;b.⑤

由廣義對數平均（Stolarsky平均）的單調性及以上兩個定理，可窺見對數平均不等式的背景及其來龍去脈.

5" 對數平均不等式的一個隔離

定理3" 當bgt;agt;0時，有

ablt;b-alnb-lnalt;a+ab+b3

lt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2.

證明" （1） b-alnb-lnalt;a+ab+b3等價于

b/a-1ln（b/a）lt;1+b/a+b/a3.

令x=bagt;1，則只需證

2（1+x+x2）lnxgt;3x2-3.

設f（x）=2（1+x+x2）lnx-3x2+3（xgt;1），則

f ′（x）=（2+4x）lnx+2x+2-4x.

因為xgt;1，所以f ″（x）=4lnx+2（x-1）x2gt;0.

所以f ′（x）在（1，+

SymboleB@ ）單調遞增.

故f ′（x）gt;f ′（1）=0.

所以f（x）在（1，+

SymboleB@ ）單調遞增.

故f（x）gt;f（1）=0.

即2（1+x+x2）lnxgt;3x2-3.

（2）下面證明：ablt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2.

先證明如下引理：

引理" 設f（x）是［a，b］上的連續凹函數，則

f（a）+f（b）2lt;1b-a∫baf（x）dxlt;f（a+b2）.

證明" （ⅰ）對x1，x2∈［a，b］和λ∈（0，1），

令x=（1-λ）a+λb，因為f（x）是凹函數，所以

∫baf（x）dx=（b-a）∫10f［（1-λ）a+λb］dλ，

gt;（b-a）∫10（1-λ）f（a）+λf（b）dλ

=（b-a）12f（a）+12f（b）

=（b-a）f（a）+f（b）2.

所以f（a）+f（b）2lt;1b-a∫baf（x）dx.

（ⅱ）因為f（x）是凹函數，令x0=a+b2，則

f（x）lt;f（x0）+f ′（x0）（x-x0）.

所以∫baf（x）dxlt;（b-a）f（x0）+f ′（x0）∫ba（x-x0）dx=f（x0）.

所以1b-a∫baf（x）dxlt;f（a+b2）.

由（ⅰ）（ⅱ）知引理得證.

因為

e1b-a∫balnxdx=e1b-a（blnb-b-alna+a）

=e1b-a［lnbbaa-（b-a）］

=e1b-alnbbaa-1

=1e（bbaa）1b-a，

所以

ablt;1e（bbaa）1b-alt;a+b2

elnablt;e1b-a∫balnxdxlt;elna+b2

lna+lnb2lt;1b-a∫balnxdxlt;lna+b2.

令f（x）=lnx，則f（x）是［a，b］上的凹函數，根據引理可得

lna+lnb2lt;1b-a∫balnxdxlt;lna+b2.

問題得證.

（3）a+ab+b3lt;1e（bbaa）1b-a的證明留給讀者完成.

評析" H（a，b）=a+ab+b3稱為a，b的Heron平均.

記L=L0（a，b）=b-alnb-lna，

I=L1（a，b）=1e（bbaa）1b-a，

則定理3即：

Glt;Llt;13G+23Alt;Ilt;A.

下面繼續探究G，L，A之間的關系，并將其進行推廣.

6" 對數平均不等式的推廣

在Llt;13G+23Alt;I的基礎上，2001年J.Sandor［7］得到如下結果

I2lt;13G2+23A2.

受到上式的啟示，筆者研究了G，L，A的類似關系，得到

L2lt;13G2+23A2.⑥

再將⑥式進行推廣，得到如下的結論.

定理4" （1）設0≤λ≤23，則L2lt;λG2+（1-λ）A2.

（2）設λ≥1，則L2gt;λG2+（1-λ）A2.

證明" 要證（1），即證

（b-alnb-lna）2lt;λab+（1-λ）（a+b）24.

兩邊同時除以a2，并令x=bagt;1，得

（x-1lnx）2lt;λx+（1-λ）（1+x）24.

設h（x）=［4λx+（1-λ）（1+x）2］ln2x4（x-1）2（xgt;1），則只需證h（x）gt;1即可.

求導，得

h′（x）=

-lnx2x（x-1）3·

（2xlnx-3λx2+3λx+x+1-x2-x3-λ+λx3+2x2lnx），

設g（x）=2xlnx-3λx2+3λx+x+1-x2-x3-λ+λx3+2x2lnx，xgt;1，則

g′（x）=3+2lnx-6λx+3λ-3x2+3λx2+4xlnx，

g″（x）=2x-6λ-6x+6λx+4+4lnx，

g（x）=-2x2-6+6λ+4x

=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2.

顯然，因為xgt;1，0≤λ≤23，所以

g（x）=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2

≤2（-1-3x2+2x2+2x）x2

=-2（x-1）2x2lt;0.

從而g″（x）在（1，+

SymboleB@ ）上單調遞減.

所以g″（x）lt;g″（1）=0.

從而g′（x）在（1，+

SymboleB@ ）上單調遞減.

所以g′（x）lt;g′（1）=0.

從而g（x）在（1，+

SymboleB@ ）上單調遞減.

所以g（x）lt;g（1）=0.

故h′（x）gt;0.

從而h（x）在（1，+

SymboleB@ ）上單調遞增.

由洛必達法則，得

limx→1+h（x）=

limx→1+18x-8

·{

［4λ+2（1-λ）（1+x）］ln2x+2［4λx+（1-λ）（1+x）2］lnxx}

=limx→1+{14（1-λ）ln2x+12［4λ+2（1-λ）（1+x）］lnxx+14［4λx+（1-λ）（1+x）·1-lnxx2］

=2［4λ+4（1-λ）］8=1.

所以h（x）gt;h（1）=1.（1）得證.

當λ≥1時，因為xgt;1，所以

g（x）=2（-1-3x2+3λx2+2x）x2

≥2（-1-3x2+3x2+2x）x2

=2（2x-1）x2gt;0.

類似可得，h（x）在（1，+

SymboleB@ ）上單調遞減.

所以h（x）lt;h（1）=1，（2）得證.

注意到，bgt;agt;0，Glt;A，從而當0≤qlt;λ≤1時，有

λG2+（1-λ）A2lt;qG2+（1-q）A2.⑦

事實上，

λG2+（1-λ）A2-［qG2+（1-q）A2］

=（λ-q）G2-（λ-q）A2

=（λ-q）（G2-A2）lt;0.

由⑦式及定理4，得到不等式鏈

G2lt;…lt;34G2+14A2lt;…lt;L2lt;23G2+13A2lt;…lt;12G2+12A2lt;13G2+23A2lt;A2.

7" 結束語

對數平均不等式活躍在最近幾年的高考試題中，所以有必要對其進行深度研究.從廣義對數平均的單調性可知對數平均不等式的背景就是L-1（a，b）lt;L0（a，b）lt;L2（a，b），而且還得到了對數平均不等式的隔離，最后將對數平均不等式進行推廣，并獲得關于L，G，A的不等式鏈.對數平均不等式的隔離及其不等式鏈也許會成為高考命題人命制導數題的背景，讀者值得留意.

參考文獻：

［1］

藍云波，何洪標.活躍在各類考試中的對數平均不等式［J］.數學教學，2016（05）：22-25.

［2］ 李鴻昌，徐章韜.關于對數平均的一個不等式的推廣［J］.數學通報，2023，62（08）：50-52.

［3］ 甘志國.對數平均不等式及其應用［J］.數學通訊，2019（15）：9-12.

［4］ 張君.對數平均不等式的六種新穎證明及其應用［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2023（11）：40-42.

［5］ 匡繼昌.常用不等式［M］.5版.濟南：山東科學技術出版社，2021.

［6］ K.B.Stolarsky.Generalizations of the Logarithmic Mean［J］.Mathematics Magazine，1975，48（2） ：87-92.

［7］ József Sándor，Tiberiu Trif.Some new inequalities for means of two arguments［J］.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，2008，25（8）：525-532.

［責任編輯：李" 璟］