2023年高考物理全國乙卷第33題的深入分析

摘" 要：文章對2023年高考物理全國乙卷一道選考題目進(jìn)行剖析.通過改變題目給出的封閉容器的形狀，得到一個與原來高考題目背景材料類似的變式，并對變式問題進(jìn)行分析求解.

關(guān)鍵詞：封閉容器；等溫變化；圓柱形；三棱柱；水銀柱；倒置

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0097-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：王偉民（1964—），男，本科，中學(xué)高級教師，從事物理解題研究.

理想氣體狀態(tài)方程問題是近幾年高考物理的熱點(diǎn)問題.

此類問題，在知識層面可以考查學(xué)生對理想氣體的體積、壓強(qiáng)和溫度之間橫向關(guān)系的掌握情況；在能力方面，重點(diǎn)考查學(xué)生數(shù)理結(jié)合思想處理物理問題的能力，因?yàn)檫@類問題的求解過程，通常需要將理想氣體狀態(tài)方程和相關(guān)數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合.

1" 原題呈現(xiàn)

例1" （2023年高考物理全國乙卷選考題33（2））如圖1所示，豎直放置的封閉玻璃管由管徑不同、長度均為20 cm的A、B兩段細(xì)管組成，A管的內(nèi)徑是B管的2倍，B管在上方.管內(nèi)空氣被一段水銀柱隔開，水銀柱在兩管中的長度均為10 cm.現(xiàn)將玻璃管倒置，使A管在上方，平衡后，A管內(nèi)的空氣柱長度改變1 cm.求B管在上方時，玻璃管內(nèi)兩部分氣體的壓強(qiáng).（氣體溫度保持不變，以cmHg為壓強(qiáng)單位）圖1" 水銀在玻璃管內(nèi)圖示

2" 題目分析及解答

本題內(nèi)容簡短，僅用一百多字符的篇幅就把需要交代的物理情景和要求解的物理問題敘述得清楚明白，沒有任何歧義或費(fèi)解之處，體現(xiàn)了編者高超的編擬原創(chuàng)題目的水平.題目以粗細(xì)不等的兩個柱形玻璃管組成的容器，封閉一定量的氣體和水銀的組合設(shè)置物理模型，考查學(xué)生是否具有靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜物理問題的能力［1］.

解析" B管在上方時，設(shè)B管上方封閉氣體的壓強(qiáng)為px（單位cmHg，下同），則A管下方封閉氣體壓強(qiáng)為px+20.玻璃管倒置后，假如里面的水銀柱相對容器的位置保持不變，則兩部分封閉氣體的壓強(qiáng)也將分別保持不變，這樣，密閉容器中上面封閉氣體的壓強(qiáng)將大于下面封閉氣體的壓強(qiáng).再考慮水銀柱自身重力的影響，

水銀柱

相對容器會向下移動，而隨著水銀柱的不斷下移，上面封閉氣體的體積增大，壓強(qiáng)減小，下面封閉氣體的體積減小，壓強(qiáng)增大，當(dāng)水銀柱向下運(yùn)動到上、下方向所受氣體壓力差（指下面壓力大于上面壓力的情形）與水銀柱重力相等位置時，水銀柱相對容器保持靜止，水銀柱在容器中最終情形如圖2所示.

圖2

玻璃管倒置后與原玻璃管比較圖示

因?yàn)锳管的內(nèi)徑是B管內(nèi)徑的2倍，所以，A管橫截面積是B管橫截面積的4倍，跟原來液柱相對容器的位置相比，倒置并穩(wěn)定之后，A管中的水銀面下降的高度ΔhA=1 cm，B管水銀下面的液面下降ΔhB=4 cm.因此，倒置后管內(nèi)水銀柱的總高度變?yōu)?3 cm，即上下兩部分封閉氣體的壓強(qiáng)差為23 cmHg.因?yàn)橐欢康睦硐霘怏w做等溫變化時壓強(qiáng)與體積成反比，所以，倒置后A容器上方封閉的氣體壓強(qiáng)為1011（px+20），B容器下面封閉氣體的壓強(qiáng)為106px，則有：106px-1011（px+20）=23.解得：px=54.36，所以px+20=74.36.即B管在上方時，玻璃管內(nèi)上面部分氣體的壓強(qiáng)為54.36 cmHg，下面部分氣體的壓強(qiáng)是74.36 cmHg.

在題設(shè)其他條件不變的情況下，如果將容器設(shè)置為一個粗細(xì)均勻的40 cm長的封閉管子豎直放置之后，再倒置的情形，如圖3所示，根據(jù)題設(shè)條件我們也可以確定問題的答案，而且解題過程相對會簡單一些［2］.如果我們將容器的形狀改為其他非柱形形狀，那么，對應(yīng)的物理過程將會變得更為復(fù)雜一些.

圖3

柱形玻璃管倒置后與原來玻璃管對比圖

3" 原高考題目的變式及解析

例2" 如圖4所示，橫截面是狹窄等腰三角形的密封薄壁三棱柱形狀的容器橫放在水平桌面上，圖中看到的三角形是橫放三棱柱的主視圖，其三條棱垂直于畫面并往畫面內(nèi)部延伸，三條棱長度很短，均為2 cm，截面等腰三角形底邊的高為40 cm，容器內(nèi)部的空氣被一段高為20 cm的水銀隔開，此時，其尖端A端和粗端B端封閉空氣的高度均為10 cm.現(xiàn)將容器倒置，使粗端A端在上方，并且倒置后側(cè)面等腰三角形底邊的高線垂直于水平面，跟原來的狀況相比，倒置后粗端A端的空氣高度改變了ΔhA=30-2201（單位cm），試求倒置后下面尖端封閉氣體的壓強(qiáng)與原來未倒置時這部分封閉氣體壓強(qiáng)的比值（氣體溫度保持不變，以

cmHg為壓強(qiáng)單位）.

圖4

水銀在棱柱型容器內(nèi)圖示

分析" 該變式將密封容器的形狀由原來的兩個圓柱體的組合改換為三棱柱形狀，而且求解的問題為求解倒置前后某一部分氣體壓強(qiáng)先后之比［3］.

解析" 設(shè)容器側(cè)面等腰三角形底邊長是底邊高線長度的a倍，為40a，由幾何知識可知，該等腰三角形底邊高線上距離尖端h位置的水平線被兩腰截得的線段長度為ha.因此，圖4所示情形中，等腰三角形對應(yīng)有水銀部分的梯形，上下底的長度分別為10a和30a.倒置后的情形如圖5（2）所示，由題目條件可知，倒置后容器中水銀上邊的液面到尖端的距離為2201（以下長度單位cm，面積單位cm2），因此，水銀上邊液面的水平寬度為2201a，所以，液面下降過程中水銀上邊的液面在其側(cè)面等腰三角形上掃過的梯形面積為：

圖5

棱柱型容器倒置后與原容器對比圖示

S梯形A=12（30a+2201a）（30-2201）=48a.

相對于水銀面原來的位置，容器倒置并穩(wěn)定后，設(shè)水銀下表面下降的距離為ΔhB=y，則下降后的該液面到尖端的距離為10-y，所以，下降后該液面寬為（10-y）a.因此，水銀下面的液面下降過程中在容器側(cè)面等腰三角形上掃過梯形的面積為：

S梯形B=12［（10-y）a+10a］y=12（20-y）ya.

水銀在下降過程中，上下兩個液面在等腰三角形側(cè)面上掃過的兩個梯形面積相等，即：

S梯形B=S梯形A.

所以，12（20-y）ya=48a.

整理得：y2-20y+96=0.

解得：y1=8，y2=12.

因?yàn)樵瓉砑舛顺蠒r水銀上面的液面距離尖端10 cm，倒置后該液面下降的距離不可能大于10 cm，因此y2=12舍去.所以，倒置后下面的液面下降了8 cm.因此，下面封閉氣體側(cè)面等腰三角形的高為2 cm，是原來容器正立時，這部分封閉氣體側(cè)面等腰三角形高10 cm的15，由相似三角形的性質(zhì)可知，倒置后下面封閉氣體側(cè)面等腰三角形的面積與容器正立時，這部分封閉氣體側(cè)面等腰三角形面積之比為1∶25，因此，倒置后下面尖端封閉氣體的體積與原來未倒置時這部分封閉氣體的體積之比為1∶25，根據(jù)氣體等溫變化的狀態(tài)方程可知，倒置后下面封閉氣體的壓強(qiáng)與原來氣體壓強(qiáng)的比為25∶1.

4" 對變式問題容器倒置后液面下降距離的設(shè)定

對這個變式問題，容器倒置后水銀會相對容器下降，我們在題設(shè)中設(shè)定了水銀上面液面下降的距離是一個無理數(shù)ΔhA=30-2201，這樣設(shè)定的用意，是為了使得要求解的結(jié)果是一個整數(shù)——選定整數(shù)結(jié)果后，倒推得出的ΔhA=30-2201這一數(shù)據(jù).

答案是否定的.

如圖5（2）所示，倒置之后水銀相對容器在原位置的時候，水銀下方的空間是確定的，而水銀在容器中下降的過程中，其體積保持不變，所以，水銀上面液面在下降過程中掃過的體積一定不大于水銀下方空氣的體積（實(shí)際上，連等于也不可能，因?yàn)槿舳唧w積相等，則下方的空氣體積被壓縮為零了，其壓強(qiáng)將趨于無窮大，這顯然是不可能的）.假設(shè)水銀上面液面下降的距離為h，則有：

S梯形EFGHlt;S△OCD.

即12［（30-h）a+30a］hlt;12×10a×10.

整理得：h2-60h-100gt;0.

解得：hgt;30+202或hlt;30-202.

因?yàn)榈怪弥笏y還沒有相對容器下降時，水銀上面的液面距離最下端的尖端O點(diǎn)的距離30 cm，hgt;30+202不合題意，舍去，因此，取hlt;30-202，在此范圍內(nèi)取值，可以求得水銀下表面在對應(yīng)過程中下降的距離.我們在變式中選取的ΔhA=30-2201，就是該范圍內(nèi)的一個可以使得尖端封閉氣體在兩種情況下壓強(qiáng)之比為整數(shù)的一個數(shù)據(jù).

5" 結(jié)束語

2023年高考物理全國乙卷的這道選考題目，編者巧妙設(shè)置物理模型，重點(diǎn)考查了學(xué)生對理想氣體狀態(tài)方程的掌握和應(yīng)用情況［4］.改變題設(shè)給出的物理模型容器的形狀，可以得到與原高考題目背景材料類似的變式，通過對該變式的深入剖析，能夠提高學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決復(fù)雜物理問題的能力.

參考文獻(xiàn)：［1］

李偉.基于母題情境的習(xí)題變式教學(xué)初探：以勻變速直線運(yùn)動中位移的求解為例［J］.數(shù)理化解題研究，2023（10）：107-109.

［2］ 方盛，朱海英.基于持久深入學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計：以“氣體的等溫變化”教學(xué)為例［J］.物理教學(xué)，2023（3）：26-30.

［3］ 王智，岳巍巍.“用傳感器探究氣體等溫變化的規(guī)律”實(shí)驗(yàn)中的誤差分析［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2022（10）：52-54.

［4］ 卞志榮，宋海峰.基于學(xué)科核心素養(yǎng)的課堂演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)：以“氣體的等溫變化”教學(xué)為例［J］.物理教師，2021（10）：29-32.

［責(zé)任編輯：李" 璟］