利用質心概念巧解“人船模型”中的移動距離

摘" 要：中學物理中的“人船模型”兩體系統問題，涉及求解一個物體的移動距離，因問題中有半橢圓凹槽、半圓凹槽或彈簧等模塊，導致系統中物體運動的速率變化復雜，增加了求解移動距離的難度.若了解質點系的質心基本概念，已知初始時刻各質點的位置坐標，并根據末狀態各質點的相對位置關系，就可以順利解答此類距離問題.

關鍵詞：人船模型；動量守恒；質心；高考試題

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0124-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：趙春然（1980—），女，安徽省淮北人，碩士，副教授，碩士生導師，從事物理課程教學論研究.

高中物理中“動量守恒”是一個非常重要的知識點，每年的高考對該知識點的考查幾乎是確定性的.因為要保證試題的新穎性，所以問題考查的表現形式也在逐年演進，對考生學科素養和綜合能力要求日漸提高，如湖南省2023年高考物理真題第15題、2022年全國乙卷第25題等，就是涉及動量守恒知識點的題目，題中需要計算“人船模型”兩體［1-4］中的一個物體運動距離.問題中半橢圓凹槽、半圓凹槽或彈簧等模塊的設定，致使運動中物塊的速率變化復雜，求解移動距離難度有所提升，故這類題目解答的完整率偏低.若同學們了解兩體系統的質心概念，列出初始時刻各質點的位置坐標，并知曉末狀態它們的相對位置關系，就可以輕松解答此類運動距離問題.

1" 物理系統中的質心概念

對質心的概念有所了解，將有助于理解“人船模型”的物理題中復雜的移動距離關系.若將兩個質點組成的系統看成一個整體，系統所有的質量集中于某一個點，稱該點為系統的質心，其位置坐標：

xc=m1x1+m2x2m1+m2，

yc=m1y1+m2y2m1+m2，

zc=m1z1+m2z2m1+m2（★）

其中rn=xni+ynj+znk，n=1，2，c分別表示質點m1、質點m2和質心在三維空間中的位置坐標.因已將系統看成一個質點（就是質心），若系統受到的合外力為零或系統受到的合外力在某個方向上為零，則系統的質心保持狀態靜止或勻速直線運動狀態，系統的動量守恒或系統在某方向上動量守恒.該結論與曾經學過的牛頓第一定律和動量守恒定律類似.

2" 利用質心概念求移動距離舉例

例1" （2023·湖南真題 節選）如圖1所示，質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道，橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b，長軸水平，短軸豎直.質量為m的小球，初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑.以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點，在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy，橢圓長軸位于x軸上.整個過程凹槽不翻轉，重力加速度為g.（1）小球第一次運動到軌道最低點時，求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離；（2）在平面直角坐標系xOy中，求出小球運動的軌跡方程.

圖1" 模型示意圖

解" 由題意知，初始時刻均靜止，勻質凹槽M和小球m組成的系統在水平方向上不受外力作用，故在該方向上系統動量守恒；對系統只有

重力做功，故系統的機械能守恒.

（1）小球從右端最高點第一次運動到軌道最低點時，設小球的速度為v1，勻質凹槽的速度為v2，根據動量守恒定律和機械能守恒定律：

mv1+Mv2=0①

12mv21+12Mv22=mgb

②

得：v1=-2gb1+m/M，v2=mM2gb1+m/M，說明末狀態小球的速度沿著x軸反方向、凹槽沿著x軸正方向運動.初始系統中的小球位置x10=a、凹槽位置x20=0，故初始系統質心水平方向位置為：

xc0=mm+Ma， ③

小球第一次運動到軌道最低點時，設小球的坐標為x2，此刻凹槽的坐標也為x2，利用質心計算公式xc=m1x1+m2x2m1+m2=x2.系統在水平方向上受到的合外力為零，初始系統各個質點均靜止的，系統初始總動量為零，即質心初始動量為零：（m+M）vc=mv10+Mv20=0，質心是靜止的，將一直維持靜止狀態，所以x2=mm+Ma，即凹槽相對于初始時刻移動的距離為mm+Ma.

（2）假設t時刻小球在如圖2所示的直角坐標系xOy中位置坐標為（x， y）、凹槽的橢圓圓心O′點在x軸上位置坐標為x′2待求，代入質心公式xc=mx+Mx′2m+M≡xc0，解得：

x′2=mM（a-x）， ④

圖2" 小球第一次從最高點下滾的中間某時刻

已知初始時刻在如圖1中直角坐標系xOy下橢圓曲線方程為：x2a2+y2b2=1（y∈［-b，0］）

如圖2所示，時刻t凹槽的橢圓曲線相對于初始時刻向右平移了x′2段距離，根據中學數學中函數圖像的平移知識，平移后的凹槽對應的橢圓曲線方程：

（x-x′2）2a2+y2b2=1⑤

而且時刻t小球質點m恰好處于平移后的橢圓上，即起初假設的小球位置坐標為（x， y）滿足方程⑤式，將④式代入⑤式，化簡得：

［（m+M）x-maMa］2+y2b2=1⑥

方程⑥式就是小球運動后相對地面參考系的運動軌跡方程，其定義域為y∈［-b，0］.

小球和放置在水平地面上半橢球凹槽組成了“人船模型”的兩體系統，僅需考慮小球的重力做功，故系統的機械能守恒；水平方向上不受外力，故系統在該方向上的動量守恒；系統初始總動量為零，故質心始終維持靜止狀態.小球沿曲面向下滾動時，小球和凹槽的速率均是不斷變化的，說成速度乘以這段時間得到了位移關系顯然是不嚴謹的，不利于同學們正確理解物理基本概念.

例2" （2022·全國乙卷真題 節選）如圖3

，一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接，靜止在光滑水平面上，物塊B向A運動，t=0時與彈簧接觸，到t=2t0時與彈簧分離，第一次碰撞結束，A、B的v-t圖像如圖4所示.已知從t=0到t=t0時間內，物塊A運動的距離為0.36v0t0.A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運動的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，達到的最高點與前一次相同.斜面傾角為θ（sinθ=0.6），與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內.求（2）第一次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

圖3" 碰撞模型 """"""""""圖4" v-t圖像

解" 根據圖4，可見從t=0到t=t0時間內，物塊B的速率vB逐漸減小，物塊A的速率vA逐漸增大，速率vB大于vA直到t=t0時刻二者相等，說明彈簧被壓縮程度不斷加大直至t=t0時刻二者速率相等，彈簧被壓縮到最大程度.并由題意知，物塊B與彈簧分離這個物理瞬間也是在光滑的水平地面上發生的，即連有輕質彈簧物塊A和B所組成的系統在水平方向上不受外力，系統的總動量守恒，質心保持勻速直線運動.

結合圖4考慮t=0、t=t0兩個物理瞬間系統的總動量不變，mB·1.2v0=（m+mB）v0，故得：mB=5 m.

質心在水平方向的動量就等于系統在該方向的初始動量：（m+mB）vc=mB·1.2v0，所以vc=v0，質心以該速度做勻速直線運動.

設t=0時刻，物塊B的初始位置xB0=0、物塊A的初始位置記為xA0；t=t0時刻，物塊A、B的位置坐標分別標記為xA、xB，且知：

xA=xA0+0.36v0t0⑦

xc0=mxA0+5m·0m+5m=xA06⑧

xc=mxA+5m·xBm+5m ⑨

xc=xc0+v0t0 ⑩

聯立⑦⑧⑨⑩式，得：

xB=1.128v0t0

故彈簧的最大壓縮量：

ΔLmax=（xA0-xB0）-（xA-xB）=0.768v0t0.

由題意“A、B分離后，A滑上粗糙斜面”知物塊B與彈簧分離這個物理瞬間是在光滑的水平地面上發生的，本題第（2）小問對應的物理環境明確了.初始系統物塊B具有動量，水平方向動量守恒，質心一直保持勻速直線運動狀態.

3" 結束語

通過上面兩道題目例析，利用質點系的質心基本概念，列出已知初始時刻各質點的位置坐標，并根據末狀態各質點的相對位置關系，就可以順利解答“人船模型”兩體系統中物塊運動距離問題.思路清楚，方法簡便，不僅豐富了同學們的解題方法和解題技巧，還提高了解題效率，增強應試能力.

參考文獻：［1］

杜志建.試題調研：高考超重點2物理（第2輯）［M］.烏魯木齊：新疆青少年出版社，2023.

［2］ 陳新學.例談質心和質心系在解題中的應用［J］.數理化解題研究， 2023（19）：123-125.

［3］ 趙生武.“人船模型”的理解及其應用［J］.數理化解題研究，2023（16）：109-111.

［4］ 洪英蘭，王偉民.光滑水平圓形管道內兩球碰撞的速度規律剖析［J］.物理教師，2022，43（01）：61-64.

［責任編輯：李" 璟］