微元法在高中物理解題中的應用研究

摘" 要：物理解題能力是衡量學生物理綜合學習效果的關鍵，在物理解題中，靈活地運用各種方法可顯著提高學生解題能力.微元法是解決物理問題時最常見的思想方法，其可以借助微積分的思想，實現復雜問題的簡單化處理，對此下面就高中物理解題中微元法的應用展開詳細分析.

關鍵詞：微元法；高中物理；解題

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0114-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：黃東升（1984.10—），男，湖南省隆回人，本科，中學一級教師，從事高中物理教學研究.

在解決一些復雜的物理問題時，教師可以引領學生嘗試利用微元法，對復雜的研究對象、物理過程進行“化整為零”的處理，或者是“集零為整”的處理，從而獲得良好的解題效果.通過微元法的合理應用，可以在很大程度上簡化學生解題過程，提高學生解題準確性［1］.對此，高中物理教師需要引領學生充分把握微元法的特點，靈活應用微元法解題，以此促進學生物理學習效果的提升.

1" 微元法的內涵

微元法主要是指在開展物理過程分析時，可以先對物理過程進行細分，轉變成多個“元過程”，然后選擇任意一個“元過程”作為研究對象，進行分析，找出其中的物理規律，并通過相應的科學手段完成求解［2］.微元法的核心在于從研究對象的局部入手，通過局部過渡到整體，然后完成問題的處理.微元法能實現曲線向直線、變量向恒量、動態向靜態、運動向不變的轉變.具體來說，微元法的處理過程包含以下幾個過程.

一是對變化的物理過程、宏觀物理對象進行細分，形成多個“元過程、元對象”.“元過程及元對象”可以是一個長線段中任取的小線段、圓弧中任取的一個小圓弧、空間中任取的小體積元、物體中任取的小質量元等，并且“元過程及元對象”需要具備整體的基本特點［3］.

二是由于原來的變化過程、宏觀物理對象轉變成恒定、微小的“元過程及元對象”，因此需結合物理規律，通過相應的物理表達式將“元過程、元對象”表達出來.

三是通過數學積分求和的相關知識，完成對相應物理量的求解.

2" 高中物理涉及微元法的主要內容

高中物理涉及微元法的內容主要包括以下方面.

（1）時間微元.在整個時間范圍內，某物體的某物理量處于持續變化狀況，而選擇一個比較小的時間段，可以將該物體的這一物理量看成是恒定不變

.如推導向心加速度公式中，取足夠短的時間后，可以近似認為弦長等于圓弧長；在定義瞬時速度時，同樣取短時間后，平均速度與瞬時速度近似相同.

（2）軌跡及長度微元.從整體的角度看，物體的運動軌跡、某個長度都屬于曲線范圍，而將物體的運動軌跡、長度分成細小的元單位后，從中隨機選出一個片段的軌跡，或者是選出一個長度，都可以將其看成是一個直線段.如推導曲線運動速度方向時，假設物體運動軌跡極短，近似地將小軌跡當作直線段；分析重力做功與路徑的關系時，對物體運動軌跡進行細分后，則可以將運動軌跡看作是一個直線.

（3）面積微元.在特定的物理圖像中，借助微元法分析圖像與坐標軸形成的面積的物理特性［4］.面積微元的關鍵是先細分圖形，構建成細小的矩形，隨后借助物理公式將小矩形的面積求出來.同時矩形足夠小時，會認定縱坐標對應的物理量固定，從而完成圖像面積物理意義推導.例如電容器充放電過程中形成的電流圖像，面積表示電荷量；電場強度會隨著位置的改變而出現變化，借助面積微元的方式，可以推導出橫坐標軸與圖像構成的面積表示電勢差.

（4）對象微元.一些宏觀的物體無法進行整體研究時，可以嘗試對宏觀物體進行細分，隨后隨機選出一個小部分，將其看作主要研究對象進行處理.如關于動量連續體問題，對水流沖擊墻體的沖擊力進行計算時，如果對整個水流進行分析，會變得十分復雜，對此就可以選擇與墻體接觸時的一小段水流，通過動量定理處理問題.

高中物理教師在日常教學中引導學生采用微元法時，還應該注重相應數學思想的應用，如極限思想、定積分思想［5］.其中極限思想主要是通過極限概念對問題進行分析處理，在物理領域中，極限思想的合理運用可以很好地解決各種復雜物理問題，并且能更加精準定義物理概念，如瞬時功率中關于時間選取的問題.借助極限思維還能幫助學生深入推導物理規律，如曲線運動中瞬時速度的方向推導問題，教師指引學生通過微元法，當選取時間短時，曲線在該點的切線方向就是物體曲線運動方向.微元法實際上就是簡化定積分的過程，借助定積分的方法來完成物理問題求解.微積分與數學領域的定積分知識十分相近，教師在引領學生學習時，需要培養學生的跨學科思維，指引學生先進行整體向微元轉化，隨后借助微元求和，得出最終結果.

3" 高中物理解題中微元法的應用

3.1" 在運動學解題中應用

以勻變速直線運動部分內容為例，在教材中，總位移是指v-t圖像中的陰影部分面積，部分學生在學習這部分知識時，有時會出現理解不到位的情況，從而在解題中經常出錯.因此教師在教學環節就可以從微元法的視角入手，引領學生運用微元法來優化解題思維，便于學生對運動學知識有深層次的感知.

例1" 已知某物體在做加速直線運動，已知運動時間、初速度、加速度分別是t、v0、a，試推出物體的位移x與時間之間的關系為：x=v0t+12at2.

教師可以引領學生從微元法入手，將物體的整個運動過程細分成多個部分，隨后利用平面直角坐標系進行作圖.借助圖形分析可以發現，微元是以t為高，縱軸上的高度是梯形的上、下底，t無限縮小時，對應的梯形也會無限接近長方形，其陰影面積代表著位移.陰影面積可以近似通過三角形、長方形面積相加所得，結合下圖1可以得出陰影面積是x=v0t+12at2.

圖1" v-t陰影面積計算圖

本題屬于典型的位移問題，通過使用微元法，可以讓學生更加有規律地對速度、時間變化關系進行分析，也能做到模型理想化.同時數形結合的運用也可以方便學生直觀理解位移內涵，這對于學生公式推導有極大幫助.

3.2" 在功與能解題中應用

針對做功與能量的轉化問題，教師可以引入微元法，嘗試利用函數方面的知識進行處理，完成高效作答.

例2" 某人以初速度v0豎直向上拋出一個質量是m的小球，若小球在運動過程中，受到的空氣阻力大小與速率成正比，小球的速率隨時間的變化關系如下圖2.小球在t1時刻處于最高點，落地之前以速率v1做勻速運動，已知重力加速度為g.求小球能達到的最大高度.

圖2" 小球的速率隨時間的關系圖

結合牛頓第二定律知道小球上升過程中的加速度a=-（g+kvm），對時間t進行微元處理為Δt，速度變量是Δv，即Δv=a·Δt=-（g+kvm）·Δt，而vΔt=Δh，公式兩邊對等求和，整理可以得出小球上升的最大高度是H=（v0-gt1）v1g.

3.3" 在動量問題中應用

動量是一個經典的力學概念，高中物理解題中，很容易碰到變速沖擊的題型，可以利用微元法，化變為恒，取時間微元，把變速沖擊的問題轉變成恒定速度沖擊問題，實現順利解題.

例3" 有一根長度為L、質量為M的豎直懸掛鐵鏈，鐵鏈的另一端與水平地面相連，鐵鏈懸掛的一端突然斷開，鐵鏈開始自由下落，當鐵鏈上端下落x距離后，求鐵鏈對地面的壓力.

在解決本題時，學生需要考慮到鐵鏈對地面的壓力包含了兩個方面，一是已經落到地面部分鐵鏈的重力，二是鐵鏈運動對地面造成的沖擊力.在解題過程中，教師可以引領學生通過微元法，對時間進行微元處理，構建模型.

鐵鏈開始下落時t=0，t時刻鐵鏈下落到地面的長度是x時，未掉到地面的鏈條速度是v，假設ρ為鐵鏈的線密度，則ρ=ML.經分析可以得出鐵鏈在落地后的速度是0，從t時刻起，取時間微元Δt，那么Δt內落到地面鐵鏈的質量為ΔM=ρ·Δx，設地面對ΔM的沖擊力F，由動量定理得（F-ΔMg）Δt=ΔM·v=ρΔx·v，由于ΔMg·Δt≈0，所以F·Δt=ρΔx·v，F=ρvΔxΔt，由于ΔxΔt就是t時刻鐵鏈的速度v，故F=ρv2，鐵鏈在t時刻的速度v就是鐵鏈下落長度是x時的速度，所以v2=2gx，t時刻鐵鏈對地面的壓力為N=ρxg+F，聯立解得N=3MgxL.

3.4" 在電磁學問題中應用

在高中物理學習中，電磁學是一個難度比較高的知識點，教師在教學環節也可以利用經典案例，結合微元法，引領學生進行思考，促進其解題能力的提高.

如對電流微觀表達式進行推導，在這一問題中，教師先指引學生嘗試從導線中取一個小截面S及一段時間Δt，其長度為Δl=v·Δt，該長度內所有自由電荷均通過截面S，若導體單位體積中的自由電荷數量是n，每個自由電荷的電荷量為q，可以得出Δt時間內，該截面通過的總電荷量為Δq=nqSΔl=nqSv·Δt，電流I=ΔqΔt=nqSv.

這個問題相對比較簡單，但是求解過程比較復雜抽象，學生會出現知識不貫通的情況.對此教師利用微元法，引領學生假設條件，構建模型，實現作答.

4" 結束語

總而言之，在高中物理解題中，通過微元法的應用，不僅能讓學生更加快速、便捷地解決物理問題，

還能增強學生的物理學習興趣，強化其物理思考能力.通過微元法，學生能夠從特殊的角度進行問題思考、解決，降低了解題難度，促進了學生有效學習，這對于學生物理學習信心的提升有極大幫助.

參考文獻：［1］

賴鷺傳.高中物理解題中微元法的有效應用［J］.數理化解題研究，2021（19）：81-82.

［2］ 孫芬芬.高中物理學習中應用微元法進行解題的實踐探討［J］.教育科學，2021（7）：54.

［3］ 亞娟.微元法在物理解題教學中的使用［J］.數理化解題研究，2023（6）：91-93.

［4］ 陳世福.高中物理解題中微元法的應用研究［J］.數理化解題研究，2021（25）：81-82.

［5］ 黃傳艷，李培友.微元法在中學物理教學中的應用探析［J］.中學物理教學參考，2021（5）：48-49.

［責任編輯：李" 璟］