比例法巧解機械波和機械振動的綜合圖像問題

摘" 要：近年來，高中物理的機械波和機械振動是高考中的高頻考點.常規解法通常需要運用三角函數知識和波動方程來解答問題.然而，如果題目中的波形圖像或振動圖像不是關于原點對稱或關于y軸對稱的正余弦函數圖像，使用常規數學方法解題會增加解題的難度，并且在授課過程和高考復習中，學生很難掌握.為了解決這個問題，本文結合了三角函數和力學知識，創造出了一種新的解題方法——比例法.

關鍵詞：高中物理；波動圖像；振動圖像；比例法

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0108-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：董康（1991.1—），男，云南省隴川人，碩士，中學一級教師，從事高中物理教學研究.

高中物理中關于機械波和機械振動的知識，涉及力學中的波動方程和三角函數［1］.我們發現，

一些題目中的波形圖像或振動圖像，并非都是關于原點對稱或關于y軸對稱的正余弦函數圖像.我們必須首先推導出波動方程，并結合已知條件來解題.

這樣的解題方式會增加學生解題步驟和時間，同時降低解題的準確性.

本文以學生已學習的三角函數為基礎，結合大學物理力學中的波動方程，提出了一種新的解題方法——比例法.此方法不僅適用于解決常規的機械波和機械振動問題，還能夠應用于解決非對稱波動圖像或振動圖像問題，其計算步驟簡潔，耗時短.

1" 比例法建立和應用

比例法的主要思想是通過運用角度，來實現質點偏離平衡位置的位移與波傳播的時間和兩質點距離之間的相互轉換.我們可以通過波形圖像來理解這種轉換方法，如圖1所示.在波的傳播過程中，P、Q、M和N是波在傳播過程中的四個圖1" 波形圖像和振動圖像的轉化原理圖質點，該時刻四個質點偏離平衡位置的位移分別為：A2，22A，32A和A.通過運用y=Asin2πλx+φ計算，我們得到四個質點與坐標原點O的相位差分別為：30°，45°，60°和90°.假設ON距離為λ4，我們可以建立ON的距離與角度建立關系式，從而得到OP=13ON，OQ=12ON，OM=23ON.同樣的方法也可以應用于振動圖像的轉換，如圖1所示.綜合考慮波形圖像和振動圖像的轉換方法，我們可以得到表1.

表1" 將長度和時間間隔轉化為角度的關系

OPOQOMON

角度30°45°60°90°

距離13·λ4

12·λ4

23·λ4

λ4

時間間隔13·T4

12·T4

23·T4

T4

接下來給出運用比例法解題的例題.

例1" 如圖2甲所示，為一列簡諧橫波在t=0時刻的波形，其中質點P坐標為（0，0.2 m），質點Q坐標為（10 m，-0.2 m），圖2乙為質點Q的振動圖像，圖中M點坐標為（0.5 s，0），則關于波的傳播和質點的振動，下列判斷正確的是（" ）.

A.該簡諧橫波的傳播方向沿x軸負方向

B.由波動圖像可得該簡諧橫波的波長為λ=12 m

C.結合波動圖像和振動圖像可得該簡諧橫波的傳播速度為v=2 m/s

D.結合波動圖像和振圖像可得點P的振動方程為y=0.4sinπ3t-π6m

圖2" 例1波形圖（甲）和振動圖（乙）

解析" 根據質點Q的振動圖像可知，在t=0時刻Q向上振動，根據同側法可知該簡諧波沿x軸負方向傳播，故A正確；在波形圖像t=0時刻，質點P的位移yP=0.2 m，對應的角度為30°，說明質點P距離最近波峰的距離為23·λ4，同理可得質點Q距離最近波谷的距離為23·λ4且xPQ=10 m，得2×23·λ4+λ2=10 m，λ=12 m，故B正確；在振動圖像t=0時刻，Q點的yQ=-0.2 m，說明質點Q從t=0時刻位置到達平衡位置的時間間隔為13·T4，得13·T4=0.5 s，T=6 s，v=λT=12 m6 s=2 m/s，故C正確；在波形圖像t=0時刻，質點P的振動方程與y=0.4sinπ3t相比，相位超前了π6，故yP=0.4sinπ3t+π6，故D錯.

2" 運用比例法巧解高考題

2.1" 對稱波動圖像或振動圖像

例2" （2021·山東）一列簡諧橫波沿x軸傳播，如圖3所示，實線為t1=2 s時的波形圖，虛線為t2=5 s時的波形圖.在圖4中，關于平衡位置在O處質點的振動圖像，可能正確的是（" ）.

圖3" 例2波形圖（a）

圖4" 例2波形圖（b）

解析" 機械波的傳播方向不確定，所以需要考慮機械波傳播方向的多解性.在x=3 m處的質點，對應實線波的位置處于波峰.若機械波沿x軸正方向傳播，在x軸正方向距離最近的虛線波峰為x=6 m處的質點，得Δx=3 m，Δx=34λ，Δt=3 s，故Δt=34T+nTn=0，1，2…，當n=0時，T=4 s.在t1=2 s時，O處質點位于平衡位置且向y軸正方向振動，故A選項正確；若機械波沿x軸負方向傳播，在x軸負方向距離最近的虛線波峰為x=2 m處的質點，得Δx=1 m，Δx=14λ，Δt=3 s，故Δt=14T+nTn=0，1，2…，當n=0時，T=12 s.在t1=2 s時，O處質點位于平衡位置且向y軸負方向振動，故C選項正確.

2.2" 非對稱波動圖像或振動圖像

例3" （2022年全國甲卷）一平面簡諧橫波以速度v=2 m/s沿x軸正方向傳播，t=0時刻的波形圖像如圖5所示，介質中平衡位置在坐標原點的質點A在t=0時刻的位移y=2 cm，該波的波長為m，頻率為

Hz，t=2 s時刻，質點A（填“向上運動”“速度為零”“向下運動”）.

圖5" 例3波形圖

解析" 在波形圖像t=0時刻，質點A的位移yA=2cm=2A2，對應的角度為45°，說明質點A距離最近波峰的距離為12·λ4且12·λ4+λ4=1.5 m，得λ=4 m，T=λv=2 s，f=1T=0.5 Hz.由于題圖為t=0時刻的波形圖像，則t=2 s時刻振動形式和零時刻相同，根據同側法可知質點A向下運動.

例4" （2022年山東）一列簡諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標原點O的質點振動圖像如圖6所示.當t=7 s時，在圖7中簡諧波的波動圖像可能正確的是（" ）.

圖6" 例4振動圖

圖7" 例4選項波形圖

解析" 由振動圖像可知t=0時刻，O點的偏離平衡位置的位移y=10 cm=A2，對應的角度為30°，說明質點O運動到最近的位移最大處所用時間為23·T4且23·T4+T4=5 s，得T=12 s.在振動圖像t=7 s時刻，質點O沿y軸負向向下振動且質點O運動到最近的位移最大處所用時間為1 s，說明質點O從平衡位置運動到t=7 s時刻的位置所用時間為2 s，23·T4=2 s，此時質點O偏離平衡位置的位移y=-3A2，并結合“同側法”可判斷，若波沿x軸正向傳播，選C；若波沿x軸負向傳播，選A.

3" 結束語

隨著新教材和新高考改革的推進，學生所面臨的要求也日益提升［2］.因此，教師有必要持續不斷地革新自身的教學方式.相比于常規的方法，比例法避開了復雜的波動方程和多解性問題，減少了計算過程的復雜性，提高了解題的速度和準確性.為了驗證比例法的有效性，在同等層次的不同班級進行了對比實驗.實驗表明，通過引入相位差的概念來幫助學生理解和掌握比例法的班級，學生能夠快速解答常規題型和非對稱題型，班級的解題得分率最高.

參考文獻：［1］

漆安慎，杜蟬英.普通物理學教程：力學［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［責任編輯：李" 璟］