類比法巧解一道物理難題

摘" 要：質點在復雜作用力下所做的運動，通常的分析方法是根據牛頓運動定律等寫出動力學方程，求解此類動力學方程通常須運用大量微積分相關知識.對點電荷在庫侖力作用下所做的運動，教師可引導學生通過與行星繞太陽運動規律進行“類比”，從而求解運動時間等特定問題，最后針對類比法在教學中的運用進行思考總結.

關鍵詞：類比法；開普勒第三定律；點電荷；學科素養

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0100-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：韓楊（1990.9—），男，安徽省長豐人，中學二級教師，從事高中物理教學研究.

《物理學難題集萃》（以下簡稱《集萃》）是高中生參與物理競賽的重要參考書之一，其收錄的不少經典問題，能很好地激發師生探究熱情，引起深度思考.同時，該書中大量物理問題的求解需要用到矢量分析、微分方程等較深層次的高等數學知識，可以說對高中生來說很不友好，《集萃》第三部分【題1】即是一例.本文嘗試通過類比法，運用中學數學知識，對一類復雜運動學問題進行求解，并思考對日常教學的啟示.

1" 問題提出

例1" 真空中有兩個點電荷q1和q2，它們的質量分別為m1和m2，位置矢量分別為r1和r2，只考慮其間的庫侖相互作用.

（1）引入相對位矢r=r2-r1，試建立r（t）的微分方程.

（2）設t=0時刻，兩點電荷均靜止，相互間距為r0.若兩點電荷電量異號，試問：它們何時相碰［1］？

2" 問題求解

《集萃》通過建立相對位矢r關于t的微分方程r（t），并令r（t）=0，即可求解出兩點電荷相碰時刻.現將《集萃》給出的求解過程摘錄如下.

（1）如圖1所示，q1和q2的運動方程分別為：

m1r1··=-q1q24πε0r3r

m2r2··=q1q24πε0r3r

圖1" 相距為r的點電荷q1和q2

由于q1、q2帶異種電荷，r1··與r同向，故r前面的系數應為正，q1q2前應為負.兩式相減，得：

r··=r2··-r1··=（1m1+1m2）q1q24πε0r3r

即

mr··=q1q24πε0r3r.①

式中：m為約化質量，即m=m1m2m1+m2.

（2）因t=0時，q1和q2靜止，而后兩點電荷將沿其連線做直線運動.r··與r反向，于是，式（1）可簡化為

mr··=q1q24πε0r3r②

利用r··=dr·dt=dr·drdrdt=r·dr·dr代入（2）式，得

mr·dr·=q1q24πε0r2dr.

結合初始條件：t=0時，r=r0，r·=0得：

r·2=-q1q22πε0m（1r-1r0），因q1與q2異號，-q1q2gt;0，據題意知，r·lt;0，故：

r·=--q1q22πε0mr0-rr0r.③

把r·=drdt代入式（3），積分得：

∫rr0-rr0r0-rdr=∫t0-q1q22πε0mdt.④

做變量替換，令u=rr0，有 dr=2r0udu

則得r0∫rr0-rr01-rr0dr=r0∫u1-u·2r0udu1-u2

=r320（u1-u2+π2-arcsinu）. ⑤

聯立④⑤得：

t=r3202πε0m-q1q2（rr01-rr0+π2-arcsinrr0）.

取r=0，得：

t=πr022πε0mr0-q1q2.

本題第（1）問“建立r（t）的微分方程”難度不大，接觸過物理競賽的同學一般都能順利得到答案，并且為第（2）的解決作出了提示.同時該問題啟發我們，對于兩質點相遇問題可以通過建立質點的相對位矢關于時間的微分方程加以解決.

3" 問題的其他求解思路

本題（2）問也可利用變換參考系來求解，現將解法展示如下.由于q1、q2帶異種電荷，q1q2前應為負.當q1和q2距離為r時，q1具有的加速度為a1=-q1q2m14πε0r3r，r為q2相對q1位移，如圖1所示.選取相對q1靜止的平動參考系，對q2有：

q1q24πε0r3r+m2q1q2m14πε0r3r=m2r··

整理即得到①式，下同.

4" “類比法”求解

以上的兩種解題方案，在參考系的選取、模型建構的方式上有所不同，但基本思路都是建立點電荷的動力學方程，進而求解微分方程，這是求解動力學問題的常規思路.但不論哪一種方法，在求解時都要用到大量微積分相關知識，對普通中學生來說要求過高.接下來本文利用動量守恒定律以及“開普勒第三定律”等高中物理知識對本題第（2）問進行求解.

兩點電荷q1和q2，只考慮其間的庫侖相互作用，故q1和q2系統動量守恒：

m1v1-m2v2=0

v1、v2分別為q1、q2的速度大小，并規定q1的速度方向為正.則相遇時，q1和q2的位移大小x1、x2滿足：

m1x1-m2x2=0⑥

x1+x2=r0⑦

得：x1=m2m1+m2r0，x2=m1m1+m2r0.

如圖2所示，O點為相遇位置，也即q1和q2的質心，這是高中常見的“人船模型”問題.q1與O點相距x時，設此時q2距O點x′，q1加速度：a1=-q1q24πε0m1（x+x′）2.

圖2" q1、q2與質心O

設在O點存在一點電荷Q，使得：

-q1q24πε0m1（x+x′）2=q1Q4πε0m1x2成立.

由動量守恒定律和上述對x1和x2的討論不難得出：

m1x=m2x′.

于是：Q=-（m2m1+m2）2q2 與x和x′均無關，故點電荷q1的運動與其在固定點電荷Q的電場中運動等效.

現考慮q1在點電荷Q作用下的運動規律.我們已知在萬有引力作用下，環繞天體繞中心天體沿圓軌道或橢圓軌道運動，并遵循開普勒第三定律：a3T2=k ，而 k=GM4π2，G為萬有引力常量，M為中心天體質量.庫侖力和萬有引力都遵循平方反比定律，因而點電荷q1在固定點電荷Q的電場中也可沿圓周或橢圓運動.設q1繞Q做勻速圓周運動：

14πε0Qq1r2=m14π2T2r

得：r3T2=Qq116π3m1ε0.⑧

⑧式雖然是在點電荷勻速圓周運動時得到，通過與天體運動類比可以確定，當點電荷q1沿橢圓運動運動時也有類似結論，現總結如下.

點電荷q1在固定點電荷Q的電場中沿橢圓運動運動時，Q位于橢圓的一個焦點上，且點電荷q1在不同橢圓軌道上運動時均有：

a3T2=c ，c=Qq116π3m1ε0⑨

在本題中，點電荷q1是在Q的電場中由靜止開始運動，軌跡是直線，在此我們需要做進一步的極限處理.如圖3所示，隨著橢圓離心率的增大，橢圓越來越“扁”，直至最終演變為直線段，“壓扁”橢圓的長軸即為q1與Q的初始距離x1，q1運動至Q所在位置所用時間為其沿“壓扁”橢圓運動周期T1的一半.據以上分析：

圖3" 橢圓“壓扁”為直線段

（x12）3T12=c=Qq116π3m1ε0.⑩

將x1=m2m1+m2r0，Q=-（m2m1+m2）2q2

代入⑩式得：

T1=πr02πε0mr0-q1q2.

故q1與q2所用時間：

t=T12=πr022πε0mr0-q1q2，

與動力學方程求解結果一致.

5" “類比法”對日常教學的啟示

類比法是指在現有學習經驗的基礎上，通過比較兩個對象發現對象間相似性，從而推理得出對象其他方面相似性的科學推理方法［2］.我們在運用類比法時，不僅關注對象間的相似屬性，還關注對象間的差異；不僅要分析已知信息，還要對未知信息進行猜測、推理.挖掘教材、習題中應用類比法的案例，在課堂中建構類比法應用情境，是落實培養學生科學素養，尤其是訓練科學思維能力的重要路徑.

在物理概念、規律的學習過程中，以及物理學史中，類比法的應用不勝枚舉.例如，學習靜電場的相關概念時，首先將靜電場與“重力場”類比，可以得到勻強電場電場力做功特點，進而得到靜電場中電勢能、電勢的概念.再如學習描述電學元件特性的相關物理量——電阻、電容、電動勢等，可以將概念引入的方法進行類比：通過導體的電流、電容器存儲電荷量、電源非靜電力做的功，分別與導體兩端電壓、電容器極板間電壓、電源搬運的電荷量成正比，而比例系數取決于電學元件自身性質，從而提出描述電學元件自身屬性的物理量.在物理規律的學習中，我們類比萬有引力和庫侖力表達式，由于萬有引力和庫侖力都遵循平方反比規律，最后推導得出相似規律：質量均勻分布球殼對其內部任一質點引力為零；電荷均勻分布球殼內部場強處處為零.而在物理學史中，類比法應用最成功的例子莫過于德布羅意對物質波粒二象性的闡釋.

在教學實施過程中，教師應注意啟發學生應用類比法，不能止于講授類比對象之間的相似和區別，要圍繞培養學生科學思維能力這一目標，有計劃地設計教學活動［3］.例如若以本題作為習題課例題講解，不妨設計下列教學環節：

表1" “類比法”教學活動設計

活動序列活動內容

活動1" 讀題審題，問題聚焦

庫侖力遵循平方反比定律，點電荷的運動不是此前學習的勻速、勻變速等任何一種特殊的直線運動.

活動2" 啟發設問，層層推進

問題鏈：①什么力也遵循平方反比定律？②萬有引力作用下質點運動的軌跡？

③點電荷在庫侖力下可能的運動性質？

活動3" 深度類比，遷移創新問題鏈：①本題中，點電荷的運動能否等效成一個點電荷向某固定點電荷的運動？②點電荷運動軌跡為直線，該直線軌跡能否與橢圓軌道建立聯系？③若將直線看成“壓扁”的橢圓，固定點電荷的位置在哪？活動4" 獨立探究，動手實踐

指導學生完成等效固定點電荷電荷量、橢圓軌道半長軸三次方與周期平方比值等的計算.

活動5" 自評互評，應用反思

學生匯報分析運算結果，并將點電荷運動規律與開普勒第三定律比較.

只有通過多次的師生互動、生生互動，讓學生深度參與到教學活動中，學科素養的培養才能有效落實.

值得一提的是，在運用類比法理解新概念、規律以及求解新問題的過程中，應特別注意類比對象之間的差異，這些差異往往導致推理得出的結論有所差異.僅僅 “比較”，而無“推理”，這樣的類比是不合格的.例如在本題中，我們不能將電荷繞固定點電荷的運動規律與天體運動規律完全等同.開普勒第三定律中，k=4π2GM僅有中心天體決定，而⑨式表明，c與固定、環繞點電荷電荷量及質量均有關.于是我們不能得出“不同環繞電荷繞固定點電荷沿橢圓軌道運動的半長軸三次方與周期平方比值為定值”的結論，而只能說“同一環繞電荷在不同橢圓軌道運動時半長軸三次方與周期平方比值為定值”.歸結起來，這是由于引力與兩質點質量成正比，而庫侖力與點電荷電荷量乘積成正比導致的.

6" 結束語

綜上，在教學中挖掘類比法運用案例并設計符合學生需求的教學模式以達到培養學生科學素養的目標，符合新課程理念，更是契合了新高考對于關鍵能力考查的需求.

參考文獻：［1］

舒幼生，胡望雨，陳秉乾.物理學難題集萃：上冊［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2014：430-431.

［2］ 邵華. “類比+”教學方法在中學物理教學中的探究和實踐［D］.青島：青島大學物理科學學院，2022：13.

［3］ 李林祖. 基于類比推理的高中物理觀念構建研究［D］.上海：華東師范大學教師教育學院，2022：9.

［責任編輯：李" 璟］