例談二次曲線系方程解圓錐曲線問題

摘" 要：圓錐曲線中經常出現定點、定值和定直線問題，常規方法計算量很大，如果利用二次曲線系方程解決此類問題，則可以減少運算量，簡化解題過程，提高正確率.

關鍵詞：圓錐曲線；定點；定值和定直線；二次曲線系

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0070-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：葉顯斌（1973.10—），男，湖北省孝感人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

在多次解題實踐中發現，圓錐曲線中涉及兩條或兩條以上直線相交等問題，都可以利用曲線系方程完成，深入理解曲線系方程的本質，發現這類問題核心就是一個對比系數的問題.

1" 理論知識

結論1" 若直線li：Aix+Biy+Ci=0，（i=1，2，3，4）與曲線C：f（x，y）=0有四個不同的交點，則過這四個交點的曲線系方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λ（A3x+B3y+C3）（A4x+B4y+C4）=μf（x，y），其中λ，μ為參數.

結論2" 若直線li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）與曲線C：f（x，y）=0有三個不同的交點，其中l1與l2相交于點A，曲線C在點A處的切線方程為f1（x，y）=0，則過這三個交點的曲線系方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λf1（x，y）（A4x+B4y+C4）=μf（x，y），其中λ，μ為參數.

2" 解題實踐

例1" （2023年全國乙卷理第20題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為53，點A（-2，0）在C上.

（1） 求C的方程;

（2） 過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N.證明：線段MN的中點為定點.

解析" （1）橢圓C的方程為y29+x24=1.

為了方便敘述，本文約定：lAM：A1x+B1y+C1=0表示直線AM的方程，lA：A2x+B2y+C2=0表示曲線C在點A處的切線方程.

（2）如圖1，設lAM：k1x-y+2k1=0，lAN：k2x-y+2k2=0，lA：x+2=0，lPQ：kx-y+3+2k=0，則M（0，2k1），N（0，2k2），線段MN的中點坐標為（0，k1+k2）.

圖1" 例1解析圖

設過三點A，P，Q的曲線系方程為

（k1x-y+2k1）（k2x-y+2k2）+λ（x+2）（kx-y+3+2k）=μ（y29+x24-1），

對比系數可得：

x2項：k1k2+λk=μ4，①

常數項：4k1k2+2λ（3+2k）=-μ，②

xy項：-k1-k2-λ=0，③

y2項：1=μ9.④

由①②可得μ=-3λ.

又由④可得μ=9，所以λ=-3.

代入，得 k1+k2=3.

所以線段MN的中點為定點（0，3）［1］.

例2" （2023年新高考Ⅱ卷第21題） 已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-25，0），離心率為5.

（1）求C的方程;

（2）如圖2，記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點

（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，點M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上.

解析" （1）雙曲線C的方程為x24-y216=1.

（2）如圖2，設lMN：k1x-y+4k1=0，lMA1：k2x-y+2k2=0，lA1A2：y=0，lA2N：k3x-y-2k3=0，

圖2" 例2解析圖

由k2x-y+2k2=0，k3x-y-2k3=0，解得xp=2（k2+k3）k3-k2.

設過M，A1，A2，N四點的曲線系方程為

（k2x-y+2k2）（k3x-y-2k3）+λy（k1x-y+4k1）=μ（x24-y216-1）.

對比系數可得

xy項：-k2-k3+λk1=0，得λk1=k3+k2，

y項：2k3-2k2+4λk1=0，得2λk1=k2-k3.

所以2（k3+k2）=k2-k3.

所以xP=2（k2+k3）k3-k2=-1［2］.

即點P在定直線上.

例3" （2020年山東卷第22題）如圖3，已知橢圓C：x2a2+

y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為22，且過點A（2，1）." 圖3" 例3解析圖

（1） 求C的方程;

（2） 點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，點D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

解析" （1）橢圓C的方程為x26+y23=1.

（2）

設lAM：k1x-y+1-2k1=0，lAN：k2x-y+1-2k2=0，lA：x+y-3=0，lMN：kx-y+m=0，且k1k2=-1，設過A，M，N三點的曲線系方程為

（k1x-y+1-2k1）（k2x-y+1-2k2）+λ（x+y-3）（kx-y+m）=μ（x26+y23-1）.

對比系數可得

y2項：1-λ=μ3，得μ=3-3λ ，⑤

xy項：-k1-k2+λ（-1+k）=0，得

k1+k2=λ（k-1），⑥

常數項：（1-2k1）（1-2k2）-3λm=-μ，得

-3-2（k1+k2）-3λm=-μ. ⑦

由⑥⑦可得-2（k1+k2）=3λ（m+1）.

代入⑥式可得m=-33k-13.

所以直線MN的方程為

y=k（x-23）-13.

所以直線MN過定點（23，-13）.

后面解答略.

例4" （2022年新高考Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（agt;1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為 0 ，求l的斜率.

解析" 易得雙曲線C的方程為x22-y2=1.

圖4" 例4解析圖

如圖4，設lPQ：kx-y+m=0，lAP：k1x-y+1-2k1=0，lA：x-y-1=0，lAQ：-k1x-y+1+2k1=0，

設過A，P，Q三點的曲線系方程為

（k1x-y+1-2k1）（-k1x-y+1+2k1）+λ（x-y-1）（kx-y+m）=μ（x22-y2-1），

對比系數可得

xy項：-k1+k1+λ（-1-k）=0，得k=-1.

所以直線l的斜率為-1.

例5" （2020年北京卷第20題）如圖5，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（-2，-1），且a=2b.圖5" 例5題圖

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點B（-4，0）的直線l交橢圓C于M，N兩點，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P，Q，求|PB||BQ|的值.

解析" "（1）橢圓C的方程為x28+y22=1.

（2）

設lMN：k1x-y+4k1=0，lAN：k2x-y-1+2k2=0，lA：x+2y+4=0，lAM：k3x-y-1+2k3=0，

則yQ=-1-2k2，yP=-1-2k3.

設過A，M，N三點的曲線系方程為

（k2x-y-1+2k2）（k3x-y-1+2k3）+λ（x+2y+4）（k1x-y+4k1）=μ（x28+y22-1）.

對比系數可得

xy項：-k2-k3+λ（2k1-1）=0，得

λ（2k1-1）=k2+k3，

y項：1-2k3+1-2k2+λ（8k1-4）=0，得

2λ（2k1-1）=k2+k3-1.

所以2（k2+k3）=k2+k3-1.

所以k2+k3=-1.

則yQ=-1-2k2=-1-2（-k3-1）=2k3+1.

所以|PB||BQ|=yPyQ=|-1-2k3||1+2k3|=1.

3" 結束語

通過解題實踐可以發現，對于圓錐曲線上的三條或者四條直線的相交問題，基本都可以考慮用二次曲線系方程來解答，主要是簡化了運算，也突破了學生心理上“難算”的障礙，增強了拿下解析幾何這道解答題的信心.

參考文獻：

［1］

魏德果.再談曲線系方程解圓錐曲線問題［J］.高中數理化，2023（21）：1-3.

［2］ 李鴻昌.二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應用［J］.數理化解題研究，2022（07）：92-94.

［責任編輯：李" 璟］