以圖繪思，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

摘要：數(shù)學(xué)是一門與實(shí)際生活聯(lián)系非常密切的基礎(chǔ)性學(xué)科，因其抽象性、邏輯性極強(qiáng)的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)起來難度比較大。圖示作為溝通數(shù)學(xué)與學(xué)生心靈世界的橋梁，通過圖文互補(bǔ)、數(shù)形結(jié)合的形式，可以讓抽象的問題具象化、讓復(fù)雜的問題簡單化、讓困難的問題容易化，從而最大程度激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。“一題多畫”“一畫多題”等訓(xùn)練可以讓學(xué)生掌握作圖方法，在經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：圖示" 圖文互補(bǔ)" 數(shù)形結(jié)合" 思維品質(zhì)

引言

在關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的當(dāng)下，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的能力顯得尤為重要。小學(xué)階段的學(xué)生受年齡和思維水平的限制，認(rèn)識(shí)概念、理解計(jì)算、解決問題的時(shí)候都離不開直觀形象的圖示。圖示不僅具有直接、簡潔、利于思考的特點(diǎn)，而且信息量大，概括性強(qiáng)，是幫助學(xué)生思考、提升學(xué)生思維品質(zhì)非常好的工具。由于小學(xué)生正處在以形象思維為主向抽象思維過渡的階段，所以教學(xué)中，可以多讓學(xué)生自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助線段圖、示意圖、思維導(dǎo)圖或?qū)嵨飯D把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，讓學(xué)生的思維外顯，促進(jìn)解決問題能力提高的同時(shí)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)課上有不同層次的發(fā)展。

一、區(qū)分圖示類型，思維外顯可視

新課標(biāo)指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形，如線段圖、示意圖、思路圖、思維導(dǎo)圖等，這些圖示把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，讓學(xué)生的思維外顯可視。

（一）線段圖

將抽象的文字轉(zhuǎn)化為直觀的線段圖，可以表示問題中的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解題意、解決問題。

（二）示意圖

示意圖多見于幾何領(lǐng)域的問題，如面積、周長等。低年級(jí)以簡單示意圖（如以圓圈表示排隊(duì)問題）為主，高年級(jí)則是對復(fù)雜的面積模型示意圖等進(jìn)行深入研究。

（三）思路圖

畫思路圖能幫助學(xué)生將問題解決過程中的算法與步驟清晰地呈現(xiàn)出來，厘清問題與條件的同時(shí)審視解題思路與過程。

（四）思維導(dǎo)圖

高年級(jí)學(xué)生腦海中儲(chǔ)存了較多事物及圖形的表象，知識(shí)梳理及關(guān)聯(lián)能力也比低年級(jí)學(xué)生有較大提升，因此，高年級(jí)學(xué)生可以借助思維導(dǎo)圖這樣的圖解形式儲(chǔ)存、組織和優(yōu)化知識(shí)系統(tǒng)，使?jié)摿Φ玫阶畲笙薅鹊拈_發(fā)，使知識(shí)體系得以順利構(gòu)建。

這些圖示可以把抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，讓學(xué)生的思維外顯可視，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

二、理解圖示價(jià)值，提升思維品質(zhì)

（一）化抽象為具體，激發(fā)思維發(fā)散性

相較于小學(xué)數(shù)學(xué)低年級(jí)學(xué)習(xí)內(nèi)容，高年級(jí)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加復(fù)雜、難度更大。因此在不同階段，教師要采取不同的教學(xué)手段，以此來降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。而思維導(dǎo)圖作為思維的“地圖”，是一種可視化的思維工具，在小學(xué)高年級(jí)教學(xué)當(dāng)中作用非常大，一方面可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，另一方面可以幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，有利于思路的展開，充分激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維。繪制思維導(dǎo)圖既能讓學(xué)生對不同的知識(shí)進(jìn)行分類整理、歸納和交流，也能讓學(xué)生清楚同一知識(shí)點(diǎn)中不同層次知識(shí)間的聯(lián)系，加深對知識(shí)的理解，而且在整理信息時(shí)可以進(jìn)行發(fā)散思維的培養(yǎng)。以思為導(dǎo)，以圖為構(gòu)，通過畫思維導(dǎo)圖，不斷引導(dǎo)學(xué)生多思考、勤總結(jié)、善歸納，鍛煉學(xué)生的邏輯思維，激發(fā)思維的發(fā)散性。

例如，在學(xué)習(xí)完北師大版五年級(jí)上冊“倍數(shù)與因數(shù)”這一單元時(shí)，讓學(xué)生畫“倍數(shù)與因數(shù)”的思維導(dǎo)圖。通過繪制思維導(dǎo)圖，學(xué)生對腦海里關(guān)于倍數(shù)與因數(shù)的知識(shí)進(jìn)行提取，然后對提取到的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理并分析歸類，真正掌握倍數(shù)與因數(shù)間的區(qū)別和聯(lián)系。學(xué)生用“看得見的思維”對有關(guān)知識(shí)簡單有序地進(jìn)行梳理，使數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀、明了，使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加形象具體，而且在梳理知識(shí)時(shí)可以進(jìn)行發(fā)散思維的培養(yǎng)。

（二）化繁雜為簡單，厘清題意，提高思維條理性

解決問題一直是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“攔路虎”，主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)問題一般是從生活中提取出的問題，對學(xué)生而言文字繁雜且具有很強(qiáng)的抽象性。圖示作為理解抽象數(shù)量關(guān)系的形象化、視覺化工具，能幫學(xué)生沉下心來在繁雜的文字中抽絲剝繭，提取關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，把文字轉(zhuǎn)化成簡單的、通俗易懂的圖畫，使復(fù)雜問題簡單化，形成問題情境的直觀表象。在分析問題、解決問題的過程中，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，厘清題意，化繁為簡，能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，更有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性。

例如，在“少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共134棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹棵數(shù)的3倍多14棵。兩種樹各種多少棵？”這一和倍問題中，面對楊樹和柳樹的棵數(shù)兩個(gè)未知量時(shí)學(xué)生會(huì)產(chǎn)生畏難情緒。學(xué)生知道兩者之間的倍數(shù)關(guān)系及它們的和，卻無從下手，給解決問題帶來了一定的難度，降低解決問題的自信心。而借助圖示可以將兩者之間的關(guān)系表達(dá)得清晰明了，“畫”簡意賅，讓學(xué)生在充分了解兩者關(guān)系的基礎(chǔ)上，正確列式解決問題。

和倍問題的關(guān)鍵在于確定把誰看成“1份”，根據(jù)“楊樹的棵數(shù)比柳樹棵數(shù)的3倍多14棵”這句話可以看出把柳樹棵數(shù)看成“1份”，畫圖更加簡單一些。通過觀察線段圖發(fā)現(xiàn)，把多的14棵去掉后，楊樹的棵數(shù)就剛好是柳樹棵數(shù)的3倍，可以湊成整倍數(shù)，從而求出柳樹棵數(shù)［120÷（1+3）=30（棵）］和楊樹棵數(shù)［30×3+14=104（棵）］，進(jìn)而正確解決這一復(fù)雜問題。

與上面例題相對應(yīng)的是“差倍問題”，例如：甲桶有水200升，乙桶有水160升，現(xiàn)在從兩個(gè)桶中取出相同體積的水，甲桶剩的水正好是乙桶的5倍。甲、乙兩桶剩下的水各是多少升？

從文字?jǐn)⑹錾蟻砜矗鎸ι项}中兩個(gè)未知量，學(xué)生不知哪里是突破口。但根據(jù)題意畫出線段圖后，從圖上可以看出，甲桶比乙桶多40升，兩桶取出的水同樣多，顯然剩下的水甲桶仍然比較多，比乙桶多40升。多的40升，也就是乙桶所剩水的4倍。整理出這個(gè)關(guān)系后，甲、乙兩桶各剩多少升水就一目了然了。

正所謂“授人以魚不如授人以漁”，教師要教會(huì)學(xué)生畫線段圖這一方法。解答時(shí)按照題意畫出示意圖，抽取有用的數(shù)量關(guān)系，再把應(yīng)用題“畫”出來。學(xué)生梳理數(shù)學(xué)信息，分析題目中的數(shù)量關(guān)系，然后把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的圖示。學(xué)生抓住數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解析，化繁為簡、化難為易，從而可以整體把握題意，找出解決問題的方法，在構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，提升思維的條理性。

（三）化困難為容易，突破難點(diǎn)，提升思維敏捷性

圖示是最樸實(shí)、最簡潔的數(shù)學(xué)語言，有時(shí)是一條線段圖，有時(shí)是一條線段，甚至可能是一些小點(diǎn)點(diǎn)。但是就是這樣不起眼的表征，在解決問題中卻能收到“一語驚醒夢中人”的神奇效果。經(jīng)過多年的教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)寥寥數(shù)語的題目基本都暗藏玄機(jī)，對學(xué)生而言有一定的挑戰(zhàn)性，因此教師在教學(xué)中可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況適當(dāng)?shù)爻鍪疽恍┧季S題，讓學(xué)生“跳一跳”才能摘到果子，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。

例如：時(shí)鐘敲兩下需要2秒，敲10下需要幾秒？

學(xué)生初識(shí)題目會(huì)理所當(dāng)然地認(rèn)為敲兩下需要2秒，平均敲一下需要1秒的時(shí)間，敲10下就需要10秒。很顯然，這種想法過于“天真”。那如何讓學(xué)生正確理解敲的次數(shù)與所用時(shí)間之間的關(guān)系呢？圖示可以讓學(xué)生清晰直觀地了解兩者之間的關(guān)系。

根據(jù)題意畫圖，學(xué)生看到圖示紛紛驚嘆：原來如此！敲鐘是瞬間完成的動(dòng)作，真正耗時(shí)的是中間的間隔。從圖上可以看出敲兩下也就是一個(gè)間隔，因此一個(gè)間隔是2秒鐘，而題目中問敲10下需要多久，實(shí)際是有9個(gè)間隔，所用時(shí)間也就是9個(gè)2秒。

簡單的點(diǎn)、線如同登山杖，幫助學(xué)生攀登“數(shù)學(xué)”這座高山。圖示助力學(xué)生撥開眼前的迷霧，從而化難為易，突破教學(xué)難點(diǎn)，解決問題。學(xué)生長久受到“畫圖”的熏陶，養(yǎng)成運(yùn)用圖示解決問題的意識(shí)，掌握圖示的方法，提升了思維的敏捷性。

（四）化逆向?yàn)轫樝颍山饬?xí)題，提升思維靈活性

小學(xué)生仍以順向思維為主，因此在小學(xué)階段出現(xiàn)的逆向思維習(xí)題對學(xué)生而言比較有難度，學(xué)生往往費(fèi)盡全力而不得其法。圖示則可以幫助學(xué)生另辟蹊徑，把逆向思維的題目轉(zhuǎn)化為順向思維的題目。反其道而行，將復(fù)雜的問題簡單化，從而事半功倍，助力學(xué)生提升思維的靈活性。

例如：一個(gè)數(shù)除以2，再除以13，再加上52后減35，結(jié)果為39，這個(gè)數(shù)是多少？

一些不得其法的學(xué)生可能會(huì)用舉例的“笨方法”，一些稍微有點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生可能會(huì)利用倒推的方法，但由于不清楚算式中各部分之間的關(guān)系，會(huì)出現(xiàn)五花八門的錯(cuò)誤。如果將上述題目轉(zhuǎn)化為下面的圖示，所有難題就迎刃而解了。

上面的流程圖將一個(gè)繁雜的逆推問題分解成了一個(gè)個(gè)順應(yīng)學(xué)生思維的小問題。學(xué)生很快就能整理清楚思路，利用倒推的方法，巧妙地解決問題，鍛煉學(xué)生思維的靈活性。

三、延伸教學(xué)內(nèi)容，拓展學(xué)生思維

運(yùn)用圖示解決問題，需要學(xué)生根據(jù)問題靈活地畫出合適的圖示，這要求學(xué)生具備轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。所以，教師要利用多種方式組織訓(xùn)練，如開展課堂示范、畫圖講圖、“一題多畫”“一畫多題”等教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在針對性訓(xùn)練中逐漸提高畫圖的能力。

（一）引領(lǐng)畫圖，鍛煉思維的邏輯性

教師在課堂上示范、引領(lǐng)畫圖的方法，并對學(xué)生進(jìn)行畫圖方法的專項(xiàng)指導(dǎo)。例如五年級(jí)教學(xué)長方體、正方體時(shí)，在認(rèn)識(shí)了長方體、正方體的特征后，指導(dǎo)學(xué)生用畫平行線或垂線的方法和美術(shù)課上學(xué)的透視圖原理，寬要畫得斜點(diǎn)兒，畫的長度比實(shí)際長度要短等，邊講解邊示范，再逐個(gè)檢查、指導(dǎo)。利用圖示引導(dǎo)學(xué)生分析題干中指出的條件，判斷圖形的類別。掌握技巧后，學(xué)生在遇到復(fù)雜的長方體或正方體的實(shí)際問題時(shí)，就能準(zhǔn)確地畫出草圖，分析后，順利解決問題。又如，教師還可以利用多媒體展示畫圖方法和技巧，如形體分解與組合畫法，可以將圖形投影到屏幕上，并展示將圖形分解成若干部分再組合成整個(gè)圖形的過程，便于學(xué)生理解和掌握。也可以制作動(dòng)畫，演示圖形的形成過程，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性和直觀性，以提高學(xué)生的畫圖技巧。這樣不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以讓學(xué)生通過這種方式來解決實(shí)際問題，提高思維的邏輯性和解決問題的能力。

（二）畫圖講圖，提升思維的深刻性

激發(fā)學(xué)生的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、創(chuàng)新畫法。在畫圖、講圖的訓(xùn)練中，合理利用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在直觀形象中理解算理，并在抽象概括中掌握算法，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，提升思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)造性。例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，往往要圖形結(jié)合，教師可以讓學(xué)生準(zhǔn)備兩張正方形的紙張，準(zhǔn)備幾支彩色筆。教師首先讓學(xué)生拿出一張正方形的紙張，提問“你能找到紙張的1/2嗎？用彩色筆畫出其中的1/2”。學(xué)生將正方形對折，并將其中一份涂上顏色。接著讓學(xué)生拿出第二張正方形紙張，詢問學(xué)生“你能找出其中的1/4和2/4嗎？用兩支彩色筆涂上顏色”。學(xué)生將正方形對折再對折，分成四份，其中一份涂上顏色，兩份涂上另外的顏色。通過這種方式，學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）一題多畫，延伸思維的廣度

學(xué)生的思考方式不一樣，面對同樣的問題，畫出來的圖示也不相同。在教學(xué)過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生用多種方式思考問題，嘗試用不同的圖示表達(dá)自己的思路。在激勵(lì)學(xué)生多畫的同時(shí)，對學(xué)生的作品進(jìn)行展示，讓學(xué)生在對比交流中掌握多種畫法，并對自己的畫法進(jìn)行優(yōu)化，逐漸熟練作圖。開展“一題多畫”的活動(dòng)，不僅可以鍛煉學(xué)生的作圖能力，還拓展了思維的廣度。如“搭配中的學(xué)問”圖示：

（四）一畫多題，拓展思維的深度

同樣的，一個(gè)圖示可以表示不同的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生在進(jìn)行一畫多題的訓(xùn)練時(shí)，能深切感受到雖然解決的問題不一樣，但是解決問題的方法是一樣的，進(jìn)而形成“數(shù)形結(jié)合”“變與不變”的數(shù)學(xué)思想，拓展了學(xué)生的思維。

根據(jù)上面這一圖示可以拓展出很多數(shù)學(xué)問題，比如“鋸木頭”問題、“植樹”問題等，充分利用一幅圖，實(shí)現(xiàn)一畫多題，拓展了思維的深度。例如，在教學(xué)“三角形面積”的內(nèi)容時(shí)，教師首先通過畫圖的方式，讓學(xué)生畫出一個(gè)平行四邊形，在這個(gè)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生一分為二，從而推導(dǎo)出三角形面積公式，明白三角形面積公式的推導(dǎo)原理。然后讓學(xué)生根據(jù)三角形的面積，畫出面積相同的不同形狀的三角形，從而加深對三角形面積公式的理解，提高學(xué)生的解題能力。

綜上所述，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是復(fù)雜抽象、靈活多變的，學(xué)生不可能掌握所有的題型，并熟記于心，教師能做的，就是遞給學(xué)生“工具”，讓他們自食其力。而圖示因其簡潔、直觀的特點(diǎn)，成為便于學(xué)生使用的有力“工具”。在教學(xué)過程中，教師要有目的地培養(yǎng)和引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意，畫出線段圖或示意圖，把復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題化抽象為具體、化繁雜為簡單、化困難為容易、化逆向?yàn)轫樝颍脭?shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想，巧妙地解決問題，提高學(xué)生解決問題的能力。在利用圖示解決問題的過程中，學(xué)生感受到符號(hào)美，豐富了解題策略，激發(fā)了思維的發(fā)散性，提高了思維的條理性，促進(jìn)了思維的敏捷性，提升了思維的靈活性，延伸了思維的廣度，拓展了思維的深度，進(jìn)而提升了自身的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展了自身的核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)上得到不同層次的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]江支慧，葉心宇.穩(wěn)抓線段圖教學(xué)，體會(huì)數(shù)形轉(zhuǎn)化之妙[J].安徽教育科研，2023（28）：4951.

[2]端美紅.四年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊）解決問題的策略（一）[J].數(shù)學(xué)大世界，2019（16）：4849.

[3]周麗萍.借助畫圖策略培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].廣西教育，2018（21）：134135.

責(zé)任編輯：丁 蔚