基于GERT網絡的建設項目完工概率分析方法

摘要：建設項目進度管理面臨高度不確定性的挑戰，但傳統的建設項目進度管理方法未充分考慮不確定性帶來的影響。因此，為準確評估建設項目進度管理的不確定程度，采用GERT網絡方法進行建設項目完工概率定量分析?；贕ERT網絡理論，提出建設項目實施過程的GERT網絡模型結構的構建方法及網絡參數的獲取途徑，進一步建立完工概率計算方法，并結合典型算例對該方法進行驗證。研究結果表明，GERT網絡模型可以更準確地估計建設項目的完工概率，與傳統的關鍵路徑法相比，GERT網絡能夠更好地反映進度管理的不確定性，包括工序時間及工序依賴關系的變化，提高建設項目進度管理水平。

關鍵詞：進度風險；建設項目；完工概率；GERT網絡；進度管理；不確定性

0 引言

進度管理是建設項目管理工作的主線，建設項目進度受環境、技術、資金、管理等因素的影響，具有高度的不確定性，且面臨很高的風險。建設項目進度風險評估能夠為進度管理提供決策依據，而完工概率是定量描述進度風險的核心指標，對于提高建設項目進度管理水平具有重要指導價值。

近年來，學者們圍繞進度風險評估方法開展了大量研究。曹吉鳴等^［1］提出基于風險鏈的進度風險評估方法，將風險鏈與蒙特卡洛仿真分析相結合進行進度風險評估。黃建文等^［2］ 采用貝葉斯網絡方法對建設項目施工進度完工概率進行分析。劉志清等^［3］以關鍵鏈方法為基礎進行完工概率分析，在此基礎上開展進度優化研究。陳瑞^［4］建立了PERT網絡與蒙特卡洛方法相結合的工期風險分析模型，對建設項目完工概率進行分析。劉兵等^［5］ 利用蒙特卡洛方法預測工程項目完成的時間，并識別項目實施過程中的主要風險階段。王家等^［6］基于PERT網絡模型，采用數值模擬算法進行完工概率評估。以上方法的應用大大提高了進度風險定量評估水平，為建設項目進度管理提供了重要的方法支撐。然而，建設項目進度風險的來源不僅體現為工序時間的不確定性，而且還受到質量檢驗及工序返工因素的制約?，F有研究能夠較好地實現關鍵線路上完工概率的計算，而對于工序返工對完工概率的影響考慮不足。

圖示評審技術（GERT）可以表達系統中要素間的邏輯關系，且能定量描述各事件的依存關系及發生概率^［7］，不僅能夠考慮單個事件的不確定性，還可以描述獨立事件對整個系統的影響^［8］，因此被廣泛應用于風險評估領域，但該方法在建設項目進度風險管理領域的應用還較少。基于此，針對建設項目進度風險評估研究中存在的不足，構建建設項目施工進度GERT網絡模型，并對完工概率進行推算，為建設項目進度管理提供決策依據。

1 基于GERT網絡模型的仿真與完工概率求解

1.1 GERT網絡的基本構成

GERT網絡模型的基本要素包括三個：節點、箭線和流。節點由輸入、輸出兩端構成，輸入包含三種類型，分別為互斥型、兼有型及匯合型；輸出包含兩種類型，分別為肯定型和概率型，其中每一個節點輸出的所有支路實現概率之和必須等于1^［9］。箭線代表特定活動，并

對特定活動各參數發揮傳遞作用，箭線通常包含多個參數（P_ij，T_ij），其中，P_ij為活動在兩個節點i和j之間實現時的傳遞概率， T_ij為完成活動所需資源T。GERT 網絡要素如圖1所示。隨機變量T_ij服從特定概率分布。流則反映GERT網絡中各種參數間的相互制約關系， 如費用、時間、資源消耗及實現概率等。

GERT網絡包含三種基本結構：串聯結構、并聯結構及自環結構。GERT網絡的基本結構如圖2所示。在串聯結構中，網絡總時間等于串行各任務完工時間之和；在并聯結構中，并行任務實現概率取決于平行支路實現概率并行運算的結果；在自環結構中，節點的輸出由自環和此節點的輸出任務共同構成，節點 i 可能需經多次反饋后才能到達節點j^［10］。

1.2 建設項目進度GERT網絡模型構建

建設項目進度GERT網絡模型可視為資源排隊系統與工序搭接系統的復合體，工作流之間的先后關系遵循工序搭接關系，而資源的分配與工序實現概率則按照資源排隊的方式進行。因此，在建設項目進度GERT網絡模型構建過程中，首先要進行工作分解及工序先后關系分析。工序先后邏輯關系與建設項目的雙代號網絡計劃基本一致。建設項目GERT網絡模型結構的構建包含三個主要步驟：

（1）工作分解。復雜項目的工作分解重點在于劃分獨立的工作任務，工作分解按照系統分解的原則自上而下進行，基本原則包括兩個：①以滿足工作分派為原則，最低層的工作包應該可以由一個基層組織完成；②工作劃分應以便于清晰地界定工作包的實現概率及在該項工作中所需消耗的資源與工期為原則。

（2）工作間的邏輯關系。在工作分解完成后需要進一步識別工作間的邏輯關系，工作間邏輯關系的梳理包括緊前緊后關系、搭接關系、并行關系、重疊關系等多種類型。此外，根據GERT網絡的性質，還有存在節點自環的邏輯類型。

（3）工作資源量

分析。在建立GERT網絡各項活動間的邏輯關系的基礎上，還需要進一步分析不同活動所需資源類型與數量，一般各項工作涉及的資源主要包括資金和時間兩大類。

GERT網絡模型需要獲取的參數主要包含兩個方面：一方面是各項工作的實現概率參數；另一方面，是活動的消耗資源參數。獲取GERT網絡參數的主要方法包括數據分析法、專家估測法、歷史經驗類比法、蒙特卡洛仿真分析等方法。在復雜建設項目領域，項目實施單位通常積累了大量的工序數據及資料。因此，GERT網絡模型參數獲取以數據分析法為主，當數據不足時可輔以專家估測法進行參數估計，對于工作間存在復雜關系的系統，也可采用蒙特卡洛仿真分析方法進行參數仿真。

1.3 GERT網絡模型解析

若GERT網絡模型各節點可通過矩母函數及概率參數來表征，則X_i、X_j分別節點i、j的變量值，P_ij為兩個節點之間的傳遞概率，X_i和X_j之間的關系為：X_j=P_ij×X_i^［11］。

設活動（i，j）的傳遞概率為p_ij，傳遞參數為t_ij，f（t_ij）為傳遞參數的概率密度函數，則傳遞參數的矩母函數為

定義W_ij（s）為活動（i，j）的傳遞函數，則有

基于矩母函數理論與信號流圖理論，可求得GERT網絡不同結構的等價傳遞函數。在串聯結構中，等價傳遞參數為各串聯傳遞參數之和，各隨機變量總和的矩母函數等于各隨機變量矩母函數之積，因此其傳遞函數為

W_iz（s）=W_ij（s）W_jk（s）W_yz（s）（3）

在并聯結構中，其傳遞函數為

在自環結構中，總有一個正概率引回i節點本身，自環可以被執行n次，故自環結構可等效為一組并聯結構進行求解，由此可求得其等價傳遞函數為

進一步可推得等價概率pE為等價傳遞函數W_E（s）在s=0時的數值，即

pE=W_E（s）|_s=0（6）

利用梅森公式求解出GERT 網絡的等價傳遞函數W_E（s），相應的等價矩母函數即M_E（s）為

根據矩母函數的性質，S各階導數在s=0處的值等于隨機變量的各階原點矩，即

綜上，對于 GERT 網絡模型的解析，首先需定義網絡模型中每個活動的傳遞函數和傳遞概率，然后再求解任意兩個節點之間的等價傳遞函數，最后利用矩母函數求解網絡參數。

1.4 基于GEERT網絡模型的完工概率求解

建設項目管理受到進度目標的約束，通常而言，進度目標的約束作用主要體現為符合性原則，即工期小于或等于預定工期目標即為符合，而不是工期越短越好，但在建設項目管理實踐中，工期目標的達成具有較高的不確定性，而在GERT網絡模型中，基于矩母函數的傳導可以求得工期的期望值E與標準差σ，因此可根據工期目標與E、σ，對完工概率進行求解，當工期和成本函數服從正態分布時，達成工期目標的求解公式如下

式中，T₀為工期控制目標；E（T）為工期的期望值；σ_T為工期的標準差。

2 案例分析

2.1 案例背景

某制造企業生產廠房，共6棟，占地2萬m²，廠房全部采用樁基礎，全廠區共有樁基礎320個，樁徑1.8m，平均樁長23m，地基巖層為粘性土夾砂土，下伏石英砂巖，設計采用旋挖施工工藝進行樁基成孔，樁基本體采用現澆工藝施工。樁基工程的合同工期為180d，由于業主對工期要求極為嚴格，在合同中設定了超期處罰措施，合同約定工期每超期1d罰款20萬元，承包商在指定施工組織計劃時，對于完工概率提出了很高的要求，要求240d內完工概率不低于90%。為保證工程能夠按時完工，承包商擬投入4個樁基施工班組，4個班組采用平行施工方案組織施工。

2.2 案例模型構建

2.2.1 案例模型結構

按照工藝的先后銜接關系，旋挖樁施工進度GERT網絡模型主要包含15個節點及15項主要工作流：（1—2）樁位測量放樣；（2—3）護筒埋設；（3—4）鉆機就位；（4—5）鉆機鉆進成孔；（4—B）廢孔；（5—6）吊放鋼筋籠；（6—7）導管拼接及安放；（7—8）清孔；（8—9）混凝土生產及運輸；（9—10）灌注混凝土，成樁；（10—C）質檢不合格加固；（10—A）質檢合格；（C—D）加固不合格廢樁；（C—11） 加固合格；（11—A）樁基檢驗合格。樁基施工GERT網絡模型如圖3所示。

2.2.2 GERT網絡模型參數

本文采用數據分析法與專家估測法相結合的方法進行GERT網絡模型參數的估計，承包商前期積累了大量經驗與數據，以此數據為基礎，對GERT網絡模型參數進行測算。參數估計表明，該GERT網絡模型的參數均服從正態分布，樁基施工GERT網絡模型參數估計見表1。

2.3 求解過程

根據梅森公式W_E（s）=1H∑nK=1W_k（s）H_k，H為GERT網絡的特征式，得到節點1到節點A的等價傳遞函數

式中，W_k（s）表示由i到j第k條路徑上的傳遞系數；H_k表示消去與第k條路徑有關的全部節點和箭頭后剩余子圖的特征式。每項活動的時間和成本參數為正態分布，則相應的矩母函數為M（s）=e^us+12δ2s2， 計算得到等價傳遞概率p_（1，A），則

同理，可依次求出節點1到終節點A和D的各項參數，孔底沉渣檢測技術鉆孔灌注樁施工GERT 網絡時間參數結果見表2。

2.4 完工概率計算與分析

由于從1—A的實現概率高度接近與100%，而從1—D的概率極小，因此在完工概率計算時，只需要考慮路徑1—A。而本文建立的GERT網絡模型，各參數均服從正態分布，因此GERT網絡的工期與成本均服從正態分布。根據正態分布的概率計算公式，將計算得到的工期參數E（T）和σ_T分別代入式（11），求得兩種施工方案下的完工概率分別為

P_樁基（Tlt;180）=P（Zlt;1.21）=88.69%

計算結果表明，盡管該方案完工工期的期望值為109.47d，低于合同工期180d，但由于施工方案存在較高的不確定性，總工期的標準偏差達到57.93d，因此，在180d內的完工概率為88.69%，低于預期的90%完工概率。

3 結語

本文旨在探討并應用GERT網絡作為建設項目進度管理工具，以更準確地估算項目完工概率。結果表明，采用GERT網絡模型可以更好地處理建設項目進度管理中的不確定性和復雜性，為項目管理者的進度管理決策提供依據。本研究的主要結論如下：

（1）GERT網絡分析能夠更全面地考慮建設項目進度管理中的不確定性因素，包括活動時間的概率分布、依賴關系和事件之間的相關性等，因此，能夠更精確地估算項目的完工概率，從而提高決策的準確性。

（2）通過基于GERT網絡的完工概率計算，項目管理者可以更好地了解項目完工時間的風險，并在決策制定過程中加以考慮，有助于更好地制定進度風險管理策略，以應對可能出現的進度延遲。

（3）GERT網絡不僅適用于建設項目，還適用于復雜項目，如研發項目和新產品開發項目。該方法可以根據項目的特點進行調整，以滿足不同領域的需求。

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收稿日期：2023-12-05

作者簡介：

郭小雄（1985—），男，副研究員，研究方向：隧道與地下工程。

常凱 （1990—），男，助理研究員，研究方向：隧道工程、建設管理。

龔加有（通信作者）（1993—），男，講師，研究方向：工程管理、創新管理。

謝洪濤（1974—），男，博士，教授，研究方向：工程管理、創新管理。