回歸教材 一題多解

摘 要：以2024年新高考Ⅰ卷第17題立體幾何試題為切入點，探究了該題的不同解題方法并給出了教學啟示，促進教師對高中立體幾何教學的思考.

關鍵詞：高考數學；立體幾何；一題多解；教學啟示

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0056-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：周璐娜（2000—），女，安徽省黃山人，碩士，從事中學數學教學研究;張新全（1968—），男，安徽省壽縣人，教授，從事數學課程與教學論研究.

基金項目：合肥基礎教育研究院2022年度研究項目（項目編號：2022YJY47）；合肥師范學院2024年研究生創新基金項目“新課標下跨學科融合在初中數學教學中的實踐研究”（項目編號：2024yjs041）.

高中立體幾何的內容主要包括線線、線面、面面的位置關系，特別是平行和垂直關系的判定與證明、空間角與距離的計算，以及幾何體的表面積與體積的計算等，在高考中對于學生的數學思維要求較高.教師在教學中應該做到結合教材，教會學生一題多解，這樣才能發展學生數學思維的靈活性、深刻性，提高學生的數學核心素養.

1 試題呈現

題目 （2024年新高考數學Ⅰ卷第17題）四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3.

（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；

（2）若AD⊥CD，且二面角A-CP-D的正弦值為427，求AD.

本題以常見的四棱錐為載體，題干簡潔，考查了立體幾何的重點內容.第（1）問設置了線面平行關系的證明，較為簡單;第（2）問以二面角的大小為已知條件，設置了求線段長度問題，這與以往高考直接求二面角的大小正好相反，對學生的應變能力和探究能力要求較高.試題源于課本，是由高一數學必修第二冊（人教A版）第158頁例8演變而來，主要考查了學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學素養，需要學生對空間點線面位置關系能熟練掌握.

2 解法探究

2.1 第（1）問的證法

證法1 因為PA⊥底面ABCD，AD底面ABCD，所以PA⊥AD.

又AD⊥PB，PA∩PB=P，PA，PB面PAB，所以AD⊥面PAB.

又AB面PAB，可得AD⊥AB.

因為BC=1，AB= 3，AC=2，

即AB2+BC2=AC2.

所以AB⊥BC.

因為AD，AB，BC底面ABCD，

所以AD∥BC.

又BC面PBC，AD面PBC，

所以AD∥面PBC.

證法2 因為PA⊥底面ABCD，AD底面ABCD，所以PA⊥AD.

又AD⊥PB，PA∩PB=P，PA，PB面PAB，所以AD⊥面PAB.

因為BC=1，AB=3，AC=2，

即AB2+BC2=AC2.

所以AB⊥BC.

又因為BC⊥PA，AB∩PB=B，AB，PA面PAB，所以BC⊥面PAB.

因為AD∥BC，BC面PBC，AD面PBC，所以AD∥面PBC.

證法3 因為PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，

BC=1，AB=3，所以PC=22，PB=7.

因為PB2+BC2=PC2，所以PB⊥BC.

因為AD⊥PB，且PB不垂直底面ABCD，

所以AD∥BC.

又BC面PBC，AD面PBC，

所以AD∥面PBC.

2.2 第（2）問的解法

解法1" 以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC為x軸，y軸建立空間直角坐標系，設DA= m，DC=n，其中m2+n2=4，則A（m，0，0），C（0，n，0），P（m，0，2）.

所以AP=（0，0，2），CP=（m，-n，2），DC=（0，n，0）.

設平面APC的法向量為μ=（x，y，z），

則2z=0，mx-ny+2z=0.

令x=n，則y=m，μ=（n，m，0）.

設平面DPC的法向量為ν=（x，y，z），同理可取ν=（2，0，-m），因為二面角A-PC-D為銳二面角，所以其余弦值為77.

即cos|〈μ，ν〉|=2nm2+n2·4+m2=77.

解得m=3，即AD=3.

本題不同建系的方法還有以下方式：（1）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系；（2）以AC中點為原點建立空間直角坐標系；（3）以點B為坐標原點建立空間直角坐標系.

解法2 因為PA ⊥平面ABCD，所以DC⊥PA.

圖1 解法2示意圖

又AD⊥DC，則DC⊥平面PAD.

如圖1，作AH⊥PD于點H，則DC⊥AH.

所以AH⊥平面PCD.

所以AH⊥PC.

取PC的中點K，由PA=AC得AK⊥PC.

所以PC⊥平面AHK.

則∠AKH即為二面角A-CP-D的平面角.

所以sin∠AKH=AHAK=AH2=427.

所以AH=2217.

設AD=t，則PA·AD=AH·PD.

所以2t=2217·t2+4，解得t=3.

即AD=3.

解法3 如圖2，DG⊥AC，AP∩AC=A，

所以DG⊥面PAC.

又DG⊥PC，GE⊥PC，DG∩GE=G，

圖2 解法3示意圖

所以PC⊥面DEG.

故DE⊥PC.

所以∠DEG為二面角A-CP-D的平面角.

設AD=x， 因為tan∠DEG=DGGE=DGGC·GCGE=ADCD·PCPA=x4-x2·222=6，

解得x=3，所以AD=3.

解法4 如圖2，DG⊥AC，AP∩AC=A，

所以DG⊥面PAC.

又DG⊥PC，GE⊥PC，DG∩GE=G，

所以PC⊥面DEG.

故DE⊥PC.

所以∠DEG為二面角A-CP-D的平面角.

設AD=x， 則有

DG=x4-x22，DE=4+x2·4-x222.

所以sin∠DEG=DGDE=2x4+x2=427，

解得x=3.

所以AD=3.

解法5 因為DG⊥AC，AC∩AP=A，

所以DG⊥面PAC.

故△PCD在平面PAC的投影為△PCG.

設AD=x，則

CD=4-x2，PD=4+x2，CG=4-x22.

所以S△PCD=124-x2·4+x2，S△PGC=4-x22.

所以cos∠DEG=S△PGCS△PCD=4-x24+x2=77，

解得x=3.

所以AD=3.

3 教學啟示

3.1 改進學習方式，發展學生思維

思維能力的培養，有助于學生更好地理解和應用數學知識.數學解題不僅僅是機械地套用公式和算法，更需要學生有一定的邏輯思維和問題解決能力.通過培養思維能力，學生能夠更深入地理解數學概念和原理，把握數學的本質和內在聯系

^[1]，因此，無論在解題教學的哪個階段，都要引導學生按照波利亞的解題理論進行自主探究.通過數學探究培養數學思維的深度，通過課外學習增加數學思維的寬度，通過合作討論提升數學思維的靈活性

3.2 回歸教材，把握數學本質

本題的第（1）問需要我們證明線面平行，有些同學對于線面平行判定與性質并沒有充分理解，在解答過程中以面面垂直直接得到線線垂直，不清楚如何通過垂直得到線線平行.這些問題都是由于學生在學習中只知定理，并沒有深入地思考與探究.因此，教師在教學的過程中應當以教材為主，注重讓學生通過教材例題去感悟原理，從更深層面去思考問題，這樣才能做到真正的“知行合一”.

3.3 注重教學過程，以學生為中心

高中教學以傳統的教學模式為主，沒有按照新課標以學生為中心、以新教材為思考進行學習，教師在教學中沒有給足學生

足夠的時間去探究數學問題.立體幾何解題具有多種解題技巧，應當在掌握相關原理的基礎之上，設置適宜的參數，構建平面化模型，更好地梳理解題思維，實現對不同難度題目的順利解題^[2].

3.4 落實核心素養，培養空間想象能力

高中立體幾何類試題主要考查的重點就是學生的空間想象能力、數學運算能力、數學推理能力，這與課標中要培養學生的核心素養是相契合的.在空間立體幾何中，空間想象能力發揮著至關重要的作用，使學生能夠在心中構建和理解三維幾何圖形，幫助他們更好地理解和解決立體幾何問題，因此教師在教學時要注重學生空間想象能力的培養.

參考文獻：

［1］李鴻昌.點在面內的多視角證明與高觀點審視：一道2020年立體幾何高考題引發的探究[J].數理化解題研究，2023（22）：101-104.

［2］ 趙榮濤.高中數學立體幾何的解題技巧[J].數理化解題研究，2024（03）：24-26.

［責任編輯：李 璟］