例析數形結合解答圓錐曲線習題

摘 要：圓錐曲線習題的解答，方法因題而異.其中，數形結合法通過“數”與“形”的相互對照可以簡化運算過程，提高運算正確率.文章結合具體例題，展示數形結合在圓錐曲線習題中的應用.

關鍵詞：數形結合；圓錐曲線；習題；解析

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0088-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：陳金華（1981.2—），女，江蘇省南京人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

圓錐曲線是平面截取圓錐面形成的曲線，根據截取角度的不同可以獲得圓、橢圓、雙曲線、拋物線.在高中階段，學習圓錐曲線要求從代數角度進行分析、計算，解決與之相關的問題，側重運算.事實上，圓錐曲線本質上屬于幾何圖形，從幾何視角出發，通過數形結合解答相關習題不失為一種有效的方法.

1 求長度

求線段長度類的圓錐曲線習題可以運用數形結合構建已知與未知線段之間的聯系，借助幾何圖形的性質、定理等進行突破.教學中，教師可以預留空白時間由學生進行自主思考，結合題干描述畫出對應的圖形，將題干中的隱含信息直觀地展現出來，避免不必要的計算，通過靈活應用幾何圖形性質求出結果^[1].

1.1 求線段長度

例1 已知F1，F2分別為雙曲線x23-y2=1的左、右焦點.過點F1的直線和雙曲線的左、右兩支分別交于點A，B，若|F2A|=|F2B|，則|F1A|的值為.

解析 由x23-y2=1，易解得a=3，b=1，c=2.

根據題意過點F2作F2C⊥AB交AB于點C，如圖1所示，因為|F2A|=|F2B|，由等腰三角形的性質可得點C為AB的中點.

設|F2A|=|F2B|=t，由雙曲線的定義可得

|F1A|=t-23，|F1B|=t+23.

則|AB|=|F1B|-|F1A|=43.

在Rt△F2CB和△F1BF2中，由余弦定義以及余弦定理可得

cos∠F1BF2=|CB||F2B|=23t=（t+23）2+t2-162t（t+23），

解得t=14.

則|F1A|=t-23=14-23.

1.2 求點到線段的距離

例2 已知拋物線y=14（x-2）2+3的焦點為點F，點P為拋物線上的一點，若|PF|=5，則點P到x軸的距離為.

解析

將拋物線y=14（x-2）2+3分別向左平移2個單位，向下平移3個單位得到拋物線y=14x2，即x2=4y.

畫出兩個拋物線的圖象，如圖2所示，設點F，P平移后對應的點分別為F′，P′，x2=4y的準線為y=-1.

由拋物線的定義可知點P′到x軸的距離為4，由平移可知點P到x軸的距離為4+3=7.

2 求范圍

圓錐曲線習題中求范圍的習題類型較多，包括求離心率的范圍、求線段長度的范圍以及求某一表達式的范圍.解答該類問題，為避免陷入煩瑣的運算，提高解題效率，可以通過數形結合，運用幾何圖形中的角、邊關系，建立相等或不等關系，實現對問題的順利求解^[2].

2.1 求離心率的范圍

例3 已知F1，F2是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點.若橢圓上存在不在x軸上的兩點A，B，滿足F1A+F1B=F1F2，sin∠F1AB=2sin∠F2AB，則橢圓離心率e的取值范圍為.

解析

根據題意畫出如圖3所示的圖形，因為F1A+F1B=F1F2，則四邊形AF1BF2為平行四邊形，則∠F2AB=∠F1BA.

又由sin∠F1AB=2sin∠F2AB，

可得sin∠F1AB=2sin∠F1BA.

在△AF1B中，由正弦定理得

|BF1|=2|AF1|=|F2A|.

由橢圓性質可得

|AF1|=23a，|AF2|=43a.

又由|AF2|-|AF1|lt;|F1F2|，

即23alt;2c，即e=cagt;13.

則橢圓離心率e的取值范圍為（13，1）.

2.2 求線段長度范圍

例4 拋物線具備重要的光學性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點發射后，反射光線平行于對稱軸射出.反射面為拋物線在該點的切線.已知拋物線x2=8y上存在異于原點O的點P，過點P作拋物線的切線l，過點O作l的平行線交PF于點Q，其中F為拋物線的焦點，則|OQ|的取值范圍為.

解析 如圖3，由已知條件可知m∥y軸，則∠1=∠2.

由OQ∥l，則∠1=∠FQO.

由m∥y軸，OQ∥l，則∠2=∠QQ′P=∠FOQ.

則∠FQO=∠FOQ，|OF|=|FQ|.

又由|OF|=2，則|OF|=|FQ|=2.

在△FOQ中，|OF|-|FQ|＜OQ＜|OF|+|FQ|，

即|OQ|的取值范圍為（0，4）.

3 求值

圓錐曲線中求角度、三角函數值以及代數式具體的值統稱為求值問題.解答求值問題的思路多種多樣，需要結合習題創設的情境靈活選取.教學中，教師需要結合具體習題做好通法通解，幫助學生夯實基礎，積累經驗.

3.1 求確定的值

例5 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，A1，A2為左、右頂點，F為右焦點，B，C是雙曲線E上位于第一象限的兩點，A2B∥CF，若|CF|=4a，則tan∠A1BA2=.

解析

設雙曲線的焦距為2c，左焦點為F1，由

e=ca=2，易得|F1F|=2c=4a.

由|CF|=4a，則|F1C|=6a.

由余弦定理可得

cos∠CFF1=（4a）2+（4a）2-（6a）22×4a×4a=-18.

則tan∠CFF1=-37.

由A2B∥CF，則tan∠BA2F=37.

設點B（x0，y0），則tan∠BA1F=y0x0+a，

tan∠BA2F=y0x0-a，

tan∠BA1F×tan∠BA2F=y20x20-a2=b2a2=e2-1=3，

則tan∠BA1F=17，

tan∠A1BA2=tan（∠BA2F-∠BA1F）

=577.3.2 求最值

例6 已知直線l過圓（x-1）2+y2=1的圓心且和圓相交于A，B兩點，P在橢圓x29+y28=1上運動，則PA·PB的最大值和最小值之和為.

解析

由（x-1）2+y2=1可知圓的半徑為1，圓心O1（1，0），由題可知O1B=-O1A.又由x29+y28=1可得a=3，c=1，右焦點為（1，0）.

故PA·PB=（PO1+O1A）·（PO1+O1B）

=（PO1+O1A）·（PO1-O1A）

=PO12-O1A2

=|PO1|2-1.

又由a-c≤|PO1|≤a+c，

即2≤|PO1|≤4.

則PA·PB的最大值為

42-1=15，最小值為22-1=3，兩者之和為18.

4 結束語

數形結合解答圓錐曲線習題可以簡化計算，提高解題效率，因此，教學中教師應做好常用幾何知識的梳理與總結，構建系統知識網絡，提高運用數形結合解答圓錐曲線習題的意識.運用數形結合解答圓錐曲線習題常用的幾何知識有：平行線的性質、三角形內角和、三邊關系、三角形外角定理、正弦定理、余弦定理等，部分習題還需要運用向量的加減運算.教學中教師應通過展示運用這些幾何知識解答圓錐曲線習題的過程，使學生把握運用時的相關細節以及注意事項.數形結合既是一種數學思想也是一種解題方法.教師既要注重通法通解的灌輸，又要引導學生具體問題具體分析，定期進行解題總結、解題反思，尋找解題的最佳方法，積累應用經驗，提高解題技能.

參考文獻：

［1］聞君.以“圓錐曲線”教學為例談數形結合思想的滲透[J].中學數學，2024（07）：24-25.

[2] 蘇雅雅.數形結合解答圓錐曲線難題[J].數理化解題研究，2023（13）：59-61.

［責任編輯：李 璟］