基于數據分解與NARX優化的滇池CODMn時間序列預測

摘要：高錳酸鹽指數（CODMn）是衡量水體受還原性物質污染程度的重要指標之一。為提高CODMn預測精度，結合小波包變換（WPT）、成功歷史智能優化（SHIO）算法和非線性自回歸神經網絡（NARX），提出WPT-SHIO-NARX CODMn時間序列預測模型。首先利用WPT將CODMn時間序列分解為1個周期項分量和3個波動項分量；然后簡要介紹SHIO原理，利用SHIO對NARX輸入延時階數等超參數進行調優；最后基于調優獲得的超參數建立WPT-SHIO-NARX模型對CODMn周期項及波動項分量進行預測，重構后得到最終預測結果，并構建WPT-粒子群優化算法（PSO）-NARX、WPT-遺傳算法（GA）-NARX、WPT-NARX、SHIO-NARX、WPT-SHIO-極限學習機（ELM）、WPT-SHIO-BP神經網絡模型作對比分析，并以滇池西苑隧道斷面、觀音山斷面2004—2015年逐周CODMn監測數據對各模型進行驗證。結果表明：WPT-SHIO-NARX模型具有較好的預測性能，西苑隧道、觀音山在未來1周、未來2周（半月）CODMn預測的平均絕對百分比誤差MAPE分別為0.108%和0.045%、0.151%和0.165%，對未來4周（1月）CODMn預測的MAPE分別為1.383%、0.809%，對未來8周（2月）CODMn預測的MAPE分別為6.180%、4.573%，預測精度優于其他對比模型；WPT能將CODMn時序數據分解為更具規律的子序列分量，提高模型預測精度；SHIO能有效優化NARX超參數，顯著提升NARX性能，優化效果優于GA、PSO；NARX網絡具有延時和反饋機制，更適用于時間序列預測，其預測效果優于ELM、BP網絡。

關鍵詞：CODMn預測；非線性自回歸神經網絡；成功歷史智能優化算法；小波包變換；滇池

中圖分類號：TV211.1文獻標識碼：A文章編號：1001-9235（2024）07-0092-09

王永順，崔東文.基于數據分解與NARX優化的滇池CODMn時間序列預測［J］.人民珠江，2024，45（7）：92-100.

Time Series Prediction of CODMn in Dianchi Lake Based on Data Decomposition and NARX Optimization

WANG Yongshun1，CUI Dongwen2*

（1.Wenshan Branch of Yunnan Hydrology and Water Resources Bureau，Wenshan 661100，China;2.Yunnan Province WenshanWater Bureau，Wenshan 663000，China）

Abstract：The permanganate index（CODMn）is one of the important indicators for measuring the degree of pollution of water bodies by reducing substances.To improve the prediction accuracy of CODMn，a WPT-SHIO-NARX CODMn time series prediction model is proposed，which combines wavelet packet transform（WPT），success history intelligent optimization（SHIO）algorithm，and nonlinear autoregressive neural network（NARX）.Firstly，WPT is used to decompose the CODMn time series into one periodic component and three fluctuation components;Then，the principle of SHIO is briefly introduced，and it is used to optimize hyperparameters such asNARX input delay order;Finally，based on the hyperparameters obtained through optimization，the WPT-SHIO-NARX model is established to predict the periodic and fluctuation components of CODMn.After reconstruction，the final prediction results are obtained.Comparative analyses are made with WPT-particle swarm optimization（PSO）-NARX，WPT-genetic algorithm（GA）-NARX，WPT-NARX，SHIO-NARX，WPT-SHIO extreme learning machine（ELM），and WPT-SHIO-BP neural network models.The models are validated using weekly CODMn monitoring data from 2004 to 2015 at the Xiyuan Tunnel and Guanyin Mountain sections of Dianchi Lake.The results show that the WPT-SHIO-NARX model has good predictive performance，with mean absolute percentage error（MAPE）of 0.108%and 0.045%，0.151%and 0.165%for the next 1 week and 2 weeks（half a month）of CODMn prediction at Xiyuan Tunnel and Guanyin Mountain，respectively.The MAPE for the next 4 weeks（January）of CODMn prediction is 1.383%and 0.809%，and the MAPE for the next 8 weeks（February）of CODMn prediction is 6.180%and 4.573%，respectively.The prediction accuracy is higher than other comparative models;WPT can decompose CODMn time series data into more regular subsequence components，improving the model′s prediction accuracy;SHIO can effectively optimize NARX hyperparameters，significantly improving NARX performance，with optimization effects superior to GA and PSO;the NARX network has delay and feedback mechanisms，making it more suitable for time series prediction，and its predictive performance is better than that of ELM and BP networks.

Keywords：CODMn forecast;nonlinear autoregressive neural network;success history intelligent optimization algorithm;wavelet packet transform;Dianchi Lake

高錳酸鹽指數（CODMn）能有效反映水體受還原性物質污染的程度，是衡量水體受還原性物質污染程度的重要指標之一，提高CODMn預測精度對于水生態修復、湖泊污染防治具有重要意義。近年來，隨著計算機技術的快速發展，機器學習模型作為一種新型數據驅動方法，因較強的非線性映射能力，已在CODMn或化學需氧量（COD）預測研究中得到應用，如BP神經網絡［1］、雙向長短時記憶神經網絡（BILSTM）［2-3］、徑向基神經網絡（RBF）［4］、自適應神經模糊推理系統（ANFIS）［5］、最小二乘支持向量機（LSSVM）［6］、量子加權最小門限單元（QWMGU）［7］、支持向量機（SVM）［8］等。在上述預測方法中，BP神經網絡存在隱層節點數或權值閾值選取困難等缺點；BILSTM/QWMGU存在內部參數多、收斂速度慢、系統消耗資源大等缺點；RBF能以任意精度逼近非線性函數，具有較好的全局逼近能力，但在實際應用中，RBF存在“過擬合”和超參數難以確定等不足；ANFIS具有較強的學習能力和表達能力，但在實際應用中，ANFIS參數的更新和訓練都是提高ANFIS性能的重要難題；LSSVM具有計算速度快、預測精度高、推廣性能好的優點，適用于非線性、高維度、小樣本的預測研究，但懲罰因子和核函數寬度參數的選取制約了其應用；SVM存在懲罰因子、核函數寬度、不敏感損失系數等超參數選取困難。非線性自回歸神經網絡（Nonlinear Autoregressive with Exogeneous Inputs Neural Network，NARX）是一種具有反饋和記憶能力的動態神經網絡，較傳統BP神經網絡有著明顯優勢［9］。NARX因加入了延時和反饋機制，因此增強了對歷史數據的記憶能力，更適用于時間序列預測，目前已在水位［10］、徑流［11］、溶解氧［12］、大壩變形［13］等預測研究中得到應用。在實際應用中，輸入延時階數d1、輸出延時階數d2、隱層神經元數h（簡稱為超參數）主要通過人工試湊方法確定，不但費時費力，而且預測精度并不理想。目前，群體智能算法已廣泛應用于NARX超參數調優，不但克服了人工試湊的繁瑣，而且提升了NARX預測性能，如粒子群優化算法［14］、天牛須搜索算法［15］、人工魚群算法［16］等。

CODMn時間序列預測是CODMn預測研究領域的熱點和難點，實踐證明，“分解-預測-重構”組合模型已成為當前解決時間序列預測問題最直接、最有效的方法，目前已在CODMn時間序列預測研究中得到應用。如文獻［2］結合經驗小波變換（EWT）和雙向長短期記憶（BLSTM）神經網絡，提出EWT-BLSTM預測模型，并通過鄱陽湖CODMn監測數據對模型性能進行驗證，結果表明EWT-BLSTM模型具有良好的預測性能和較好的穩健性。文獻［3］采用改進的完全集合經驗模式分解（ICEEMDAN）、變分模式分解（VMD）相結合的雙層數據分解算法，并基于雙向長短期記憶神經網絡，提出了一種混合模型IVB對鄱陽湖CODMn進行預測研究，結果表明IVB模型具有良好的預測性能，該模型可以用作水資源管理的有效分析與決策工具。文獻［17］基于小波包變換（WPT）、變色龍優化算法（CSA）、獵豹優化（CO）算法、山瞪羚優化（MGO）算法、門限循環控制單元（GRU）、長短期記憶神經網絡（LSTM），提出WPT-CSA-GRU、WPT-CO-GRU、WPT-MGO-GRU、WPT-CSA-LSTM、WPT-CO-LSTM、WPT-MGO-LSTM預測模型，并通過滇池觀音山斷面CODMn預測實例進行驗證，結果表明所提出的6種模型均具有較好的預測效果。文獻［18］引入小波包分解（WPD）對CODMn時序數據進行分解處理，提出WPD-人工蜂鳥算法（AHA）-極限學習機（ELM）預測模型，通過西苑隧道斷面CODMn多步預測實例進行驗證，結果驗證了該模型具有較好的多步預測精度。

為提高CODMn時間序列預測精度，基于小波包變換（Wavelet Packet Transform，WPT）、成功歷史智能優化算法（Success History Intelligent Optimisation，SHIO）和NARX網絡，提出WPT-SHIO-NARX CODMn時間序列預測模型，并構建WPT-遺傳算法（GA）-NARX、WPT-粒子群優化算法（PSO）-NARX、WPT-NARX、SHIO-NARX模型，以及基于極限學習機（ELM）的WPT-SHIO-ELM模型、基于BP神經網絡的WPT-SHIO-BP模型作對比分析，通過云南省滇池流域西苑隧道斷面、觀音山斷面2004—2015年逐周CODMn監測數據為研究對象對模型性能進行檢驗，旨在驗證WPT-SHIO-NARX模型用于滇池CODMn未來1周、未來半月（2周）、未來1月（4周）、未來2月（8周）預測的可行性。

1數據來源與研究方法

1.1數據來源

滇池位于昆明市西南，為云貴高原水面面積最大的天然淡水湖。滇池流域為長江干流金沙江一級支流普渡河上游，流域面積2 920 km2，流域內水系發育旺盛，河網復雜，主要河流有盤龍江、寶象河等。滇池流域是云南省政治、經濟、文化中心，區域內人口密度高，工農業經濟十分發達，一度造成滇池流域水環境壓力巨大，水質從20世紀50年代的Ⅱ類水，退化到70年代的Ⅲ類，80年代進一步惡化到劣Ⅴ類。自滇池保護治理工作實施以來，水質持續改善，從2016年前的劣Ⅴ類水質提升至目前的Ⅳ類，甚至Ⅲ類水質。因此提高CODMn時間序列預測精度對于滇池流域持續治理保護、水生態修復等具有重要意義。

本文滇池西苑隧道斷面、觀音山斷面CODMn數據來源于中國環境監測總站2004—2015年實時監測值，按周統計，共得624組CODMn數據值，對于個別缺失數據采用線性法進行插補，見圖1原序列。本文選取西苑隧道、觀音山斷面CODMn時序數據的70%作為訓練集，剩余時序數據作為預測集。

1.2研究方法

1.2.1成功歷史智能優化（SHIO）算法

SHIO是Fakhouri等［19］于2022年受粒子群優化算法中粒子運動啟發而提出一種新型元啟發式優化算法。SHIO算法通過3個最優粒子位置Δ1、Δ2、Δ3來控制粒子運動，并利用平均值進行位置更新求解待優化問題［19］，目前已在函數優化等方面得到應用。SHIO算法數學簡述如下。

a）初始化。設在d維搜索空間中，種群為N的SHIO粒子初始化位置描述為：

Ci=lb+rand×（ub-lb），i=1，2，...，N（1）

式中：Ci為第i個粒子空間位置；ub、lb分別為搜索空間閾值；rand為［0，1］內的隨機數；Ｎ為種群規模。

b）位置更新。SHIO通過計算所有粒子適應度值，并將其存儲在適應度數組中，同時按升序進行排序。每次迭代中，SHIO利用前3個最佳粒子位置Δ1、Δ2、Δ3來確定下一個粒子位置以及在搜索空間中的移動方向。描述為：

式中：Δ1i、Δ2i、Δ3i為按升序排序的第一、第二、第三粒子位置；Ci為當前粒子位置；Mi為第i個粒子的平均位置；A為粒子的搜索區域；r為介于0和1之間的隨機數。

c）移動步長SV。SHIO中，SV對于算法的收斂以及在勘探和開發之間取得平衡至關重要。較大的SV有助于全局勘探，較小的SV則利于本地開發。SV過小，粒子將無法在更大搜索空間進行充分探索，并隨著迭代的增加而陷入局部最優；SV太大則會丟失搜索空間中的最佳區域。SV數學描述為：

SV=1.5-l·[2（Max_iter/2）]（6）

式中：SV為粒子移動步長；l為當前迭代次數；Max_iter為最大迭代次數。

1.2.2非線性自回歸神經網絡（NARX）

NARX網絡結構包含輸入層、隱含層和輸出層，結構見圖2，輸出y（t）描述為［20］：

y（t）=f｛x（t?Dx），…，x（t?2），x（t?1），x（t），y（t?Dy），…，y（t?1）｝（7）

式中：x（t）為該網絡在t時刻的輸入；y（t）為該網絡在t時刻的輸出；Dx為輸入時延的最大階數；Dy為輸出時延的最大階數；u（t?Dx），…，u（t-1）為相對于t時刻的歷史輸入；y（t?Dy），…，y（t?1）為相對于t時刻的歷史輸出；f為網絡擬合得到的非線性函數。

實踐表明，NARX輸入延時階數d1、輸出延時階數d2、隱層神經元數h（超參數）對NARX預測性有著重要影響，d1、d2、h設置過大，不但增加計算規模和運行時間，而且易導致網絡“過擬合”而降低預測精度；設置過小，模型因得不到充分訓練而達不到預測精度要求。為提高NARX預測性能，本文利用SHIO算法及PSO、GA算法調優NARX超參數，以期提高NARX預測性能。

1.3建模流程

步驟一基于WPT將西苑隧道、觀音山斷面CODMn時序數據進行分解，得到3個波動項分量［2，1］～［2，3］和1個周期項分量［2，4］，見圖1。

WPT對CODMn原始信號進行分解的公式為［21-23］：

重構算法為：

式中：d，2n、d，2n+1為小波包系數；j為尺度參數，j∈{i，i-1，…，1}；l、k為平移參數；n為頻率參數，n∈{2j-1，2j-2，…，0}；hk-2l、gk-2l為小波包分解中的低通、高通濾波器組；，n為小波包重構后小波包系數；l-2k、l-2k為小波包重構的低通、高通濾波器組。

步驟二采用Cao方法［24］確定圖1中周期項分量和波動項分量的輸入步長a，并利用前a周CODMn來預測未來1周（當周）、未來半月（未來2周）、未來1月（未來4周）、未來2月（未來8周）的CODMn。輸入步長計算結果見表1。

式中：M為樣本數量；a為輸入步長；l′為未來周數。

步驟三利用各分量訓練集預測值與實際值構建均方誤差（MSE）作為優化NARX超參數的目標函數：

式中：ODi為實測值；CODi為預測值；c為訓練集數量；d1為輸入延時階數；d2為輸出延時階數；h為隱層神經元數。

步驟四設置SHIO最大迭代次數為100，種群規模為30，其他采用算法默認值（GA、PSO種群規模、最大迭代次數與SHIO相同）；設置NARX超參數d1、d2、h搜索范圍均為［2，10］；最小性能梯度為0.000 01，訓練次數為200，訓練函數選用trainbr（設置未經優化的NARX初始輸入延時階數d1、輸出延時階數d2、隱層神經元數h分別為10、1、10，最小性能梯度為10-6，訓練次數為200，訓練函數選用trainbr）。初始化粒子空間位置。

ELM和BP神經網絡均選用含有一個隱含層的3層網絡結構，隱含層節點數均設置為a，超參數搜索空間均設置為［-1，1］。其中，ELM網絡激活函數選擇sigmoid函數；BP神經網絡激活函數選用tansig函數和purelin函數，訓練函數選用traingdx函數。

步驟五基于式（11）計算所有粒子目標函數值，并按升序進行排序，選取當前具有最優位置的3個粒子，確定下一個位置及粒子移動方向。

步驟六基于式（2）—（4）更新粒子位置。

步驟七計算位置更新后所有粒子的目標函數值，并按升序進行排序。選取當前具有最優位置的3個粒子與前代最優粒子位置進行比較，并保存迄今為止全局最優粒子位置。

步驟八重復直至滿足終止條件。輸出最優粒子位置，該位置即為最佳NARX超參數向量。利用該向量建立WPT-SHIO-NARX模型對各分量進行預測和重構。

步驟九利用平均絕對百分比誤差MAPE、平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、決定系數DC對模型進行評估。

式中：u為第u個CODMn實測值；Qu為第u個CODMn預測值；R為樣本數量；u為實測CODMn平均值。

2預測結果及對比

2.1預測結果及分析

構建WPT-SHIO-NARX、WPT-PSO-NARX、WPT-GA-NARX模型對西苑隧道、觀音山斷面CODMn各分量進行訓練、預測，并將預測結果加和重構后得到最終結果，見圖3、4；相對誤差見圖5。

依據圖3—5可以得出以下結論。

a）WPT-SHIO-NARX模型對西苑隧道、觀音山斷面未來1周CODMn預測的MAPE、MAE、RMSE分別為0.108%和0.045%、0.011 mg/L和0.005 mg/L、0.016 mg/L和0.007 mg/L，DC均為1.000 0；未來2周（半月）CODMn預測的MAPE、MAE、RMSE分別為0.151%和0.165%、0.014 mg/L和0.020 mg/L、0.019 mg/L和0.027 mg/L，DC均為0.999 9，具有理想的預測效果；未來4周（1月）具有較小的預測誤差和較好的預測效果，其預測的MAPE≤1.383%、MAE≤0.134 mg/L、RMSE≤0.171 mg/L、DC≥0.99；未來8周（2月）具有良好的預測效果，能滿足CODMn預測精度要求，其預測的MAPE≤6.180%、MAE≤0.614 mg/L、RMSE≤0.843 mg/L、DC≥0.87。在相同預見期情形下，WPT-SHIO-NARX模型的預測誤差小于WPT-PSO-NARX、WPT-GA-NARX模型，具有更高的預測精度，其預測誤差隨著預見期的增長而增大。可見，將WPT-SHIO-NARX模型用于滇池CODMn預測是可行的，在長達8周的預見期內，WPT-SHIO-NARX模型同樣具有較高的精度和穩健性能。

b）WPT-SHIO-NARX模型對西苑隧道、觀音山斷面CODMn未來1周、未來2周（半月）、未來4周（1月）、未來8周（2月）預測的MAPE分別較WPT-PSO-NARX、WPT-GA-NARX模型提高了38.3%、11.3%、10.9%、4.6%以上，具有更高的預測精度，表明SHIO能有效優化NARX網絡超參數，顯著提高NARX網絡性能，SHIO優化效果優于PSO、GA。

2.2模型對比

為驗證WPT-SHIO-NARX模型性能，以未來1周（單步）預測為例，構建未經SHIO優化的WPT-NARX模型、未經WPT分析的SHIO-NARX模型及WPT-SHIO-ELM、WPT-SHIO-BP作對比分析模型，預測結果見表2。依據表2可以得出以下結論。

a）WPT-SHIO-NARX模型對西苑隧道、觀音山斷面CODMn單步預測的MAPE分別為0.108%和0.045%，MAE分別為0.011、0.005 mg/L，RMSE分別為0.016、0.007 mg/L，DC均為1.000 0，預測精度優于WPT-SHIO-ELM模型，遠優于其他對比模型。

b）WPT-SHIO-NARX模型預測的MAPE、MAE、RMSE、DC較SHIO-NARX模型分別提高了99.0%、99.0%、99.0%、0.416 6以上，表明WPT能將原始CODMn時序數據分解成更具規律的周期項分量和波動項分量，提高模型預測精度。由于原始CODMn時序數據受人類活動等多重因素影響，表現出多尺度、非線性等特征，未經分解直接預測效果最差。

c）WPT-SHIO-NARX模型預測的MAPE、MAE、RMSE、DC較WPT-NARX模型分別提高了51.1%、50.0%、46.7%、0.000 2以上，表明SHIO能有效尋優NARX超參數，提高NARX預測性能。

d）WPT-SHIO-NARX模型預測MAPE、MAE、RMSE、DC較WPT-SHIO-ELM、WPT-SHIO-BP模型分別提高了21.2%、21.4%、15.8%、0.000 1以上，表明NARX網絡因引入了延時和反饋機制，增強了對歷史數據的記憶能力，更適用于時間序列預測，其預測效果優于ELM、BP網絡。

3結論

提出WPT-SHIO-NARX模型，并構建WPT-GA-NARX、WPT-PSO-NARX、WPT-NARX、SHIO-NARX、WPT-SHIO-ELM、WPT-SHIO-BP模型作對比，并通過滇池流域西苑隧道斷面、觀音山斷面CODMn時間序列預測為例對模型進行檢驗，得出以下結論。

a）WPT-SHIO-NARX模型對西苑隧道、觀音山斷面未來1周、未來2周（半月）的CODMn具有理想的預測精度，未來4周（1月）的CODMn具有較小的預測誤差，未來8周（2月）的CODMn具有良好的預測效果。在相同預見期情形下，WPT-SHIO-NARX模型的預測效果最好、精度最高，預測誤差隨著預見期的增長而增大，將WPT-SHIO-NARX模型用于滇池CODMn預測是可行和可靠的。

b）利用WPT對CODMn時序數據進行分解處理，可獲得更具規律和更易建模預測的周期項分量和波動項分量，顯著提高CODMn的預測精度。

c）SHIO能有效優化NARX網絡超參數，顯著提高NARX網絡性能，SHIO優化效果優于PSO、GA。

d）與WPT-SHIO-ELM、WPT-SHIO-BP模型相比，NARX網絡因引入了延時和反饋機制，增強了對歷史數據的記憶能力，更適用于時間序列預測，其預測效果優于ELM、BP網絡。

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（責任編輯：高天揚）